【備戰(zhàn)2020】高考數(shù)學(xué) 歷屆真題專題04 數(shù)列 理

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1、最新模擬 【2020年高考試題】 1. (2020年高考四川卷理科8)數(shù)列的首項(xiàng)為， 為等差數(shù)列且 .若則，，則( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 答案：B 5. (2020年高考湖北卷理科13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升 答案： 解析：設(shè)從上往下的9節(jié)竹子的容積依次為a1,a2,，……，a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+

2、9d=4,聯(lián)立解得：.即第5節(jié)竹子的容積. 5.(2020年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）。 【答案】2000 【解析】設(shè)樹苗集中放置在第號(hào)坑旁邊，則20名同學(xué)返所走的路程總和為 =即時(shí). 6.(2020年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中，，則 解析：74. ，故 7.(2020年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最

3、小值是________ 9. (2020年高考山東卷理科20)（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 所以 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 綜上所述， 10.(2020年高考遼寧卷理科17)（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10 （I）求數(shù)列{an

4、}的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 所以. 綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和為. 11.(2020年高考浙江卷理科19)（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng) (),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（Ⅱ）記，，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小. 【解析】（Ⅰ） 則 ， （Ⅱ） 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)， 即； 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 12.(2020年高考安徽卷理科18)（本小題滿分13分） 在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命

5、題意圖】：本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力。 【解析】：（Ⅰ）構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，其中，，則 ① ② ①×②并利用等比數(shù)列性質(zhì)得 ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為 13. (2020年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分） 已知數(shù)列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)證明：． 【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和

6、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法. （Ⅰ）解:由,,可得, 又 當(dāng)n=1時(shí),,由,,得; 當(dāng)n=2時(shí),,可得. 當(dāng)n=3時(shí),,可得. （Ⅱ）證明:對(duì)任意, ,① ,② ,③ ②-③得 ④, 將④代入①,可得即(),又, 故,因此,所以是等比數(shù)列. （III）證明：由（II）可得， 于是，對(duì)任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得 從而 所以，對(duì)任意， 對(duì)于n=1，不等式顯然成立. 所以，對(duì)任意 14. (

7、2020年高考江西卷理科18)（本小題滿分12分） 已知兩個(gè)等比數(shù)列，，滿足，，，. （1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列唯一，求的值. 15. (2020年高考湖南卷理科16)對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，為或.記為上述表示中為的個(gè)數(shù)（例如：， ，故，），則（1） ；（2） . 答案：2; 1093 解析：（1）由題意知，所以2； 16. (2020年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足, (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, 【解析】（1）由 令， 當(dāng) ①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng) 1

8、7. (2020年高考湖北卷理科19)（本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足： (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的，且， 是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想. 解析： （Ⅰ）由已知，可得，兩式相減可得 即又，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為：； 當(dāng)時(shí)，由已知，所以 于是由，可得， 成等比數(shù)列， 當(dāng)時(shí)， 綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ）對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下： 當(dāng)r=0時(shí)，由（Ⅰ）知， ∴對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列； 當(dāng)時(shí)， 若存在，

9、使得成等差數(shù)列，則， 即， 由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是對(duì)于任意的，且，從而，， 即成等差數(shù)列. 綜上，對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列. 18.(2020年高考重慶卷理科21)（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）若成等比數(shù)列，求和 （Ⅱ）求證：對(duì)有。 解析：（Ⅰ）由題意，得， 由是等比中項(xiàng)知，因此， 由，解得， （Ⅱ）證明：有題設(shè)條件有， 19．(2020年高考四川卷理科20) (本小題共12分) 設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—

10、1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*). (I) 寫出a1,a2,a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由； (II)設(shè)bn=ndan (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn． 解析：（1） 20.(2020年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) 【解析】：（Ⅰ）由得， 前項(xiàng)為， （Ⅱ） 21.(2020年高考江蘇卷20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n>k時(shí)，都成立 （1）設(shè)M=｛1｝，，求的值； （2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

11、由（5）（6）得： 由（9）（10）得：成等差，設(shè)公差為d, 在（1）（2）中分別取n=4,n=5得： 22．(2020年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分） 設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中 （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求； （2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求 23．(2020年高考北京卷理科20)（本小題共13分） 若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=． （Ⅰ）寫出一個(gè)滿足，且〉0的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2020； （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在

12、，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列， 所以. 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足， 當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An， 使得 24．(2020年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分） 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=。 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）

13、的解析式。 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3，所以A=3。 因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值， 所以 又 所以函數(shù)的解析式為 25．(2020年高考上海卷理科22)（18分）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（），將集合 中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 。 （1）求； （2）求證：在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【2020年高考試題】 （2020浙江理數(shù)）（3）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 （A）11 （B）5 （C） （D） 解析：解析：通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D，

14、本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬中檔題 （2020全國卷2理數(shù)）（4）.如果等差數(shù)列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì). 【解析】 （2020遼寧理數(shù)）（6）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1, ,則 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了同學(xué)們解決問題的能力

15、。 【解析】由a2a4=1可得，因此，又因?yàn)椋?lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B。 （2020江西理數(shù)）5.等比數(shù)列中，，=4，函數(shù)，則（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法。考慮到求導(dǎo)中，含有x項(xiàng)均取0，則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān)；得：。 （2020江西理數(shù)）4. （ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識(shí).解法一：先求和，然后對(duì)和取極限。 （2020重慶理數(shù)）

16、（1）在等比數(shù)列中， ，則公比q的值為 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 （2020天津理數(shù)）（6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【答案】C 【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。 顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項(xiàng)和. 【溫馨提示】在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時(shí)也要注意基本量法的應(yīng)用。 （2020廣東理數(shù)）4. 已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和。若， 且與

17、2的等差中項(xiàng)為，則=w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 4．C．設(shè){}的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即。由與2的等差中項(xiàng)為知，，即． ∴，即．，即． 1.（2020安徽理數(shù)）10、設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【分析】取等比數(shù)列,令得代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng)D滿足。 【方法技巧】對(duì)于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗(yàn)證，若能排除3個(gè)選項(xiàng)，剩下唯一正確的就一定正確；若

18、不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗(yàn)證繼續(xù)排除.本題也可以首項(xiàng)、公比即項(xiàng)數(shù)n表示代入驗(yàn)證得結(jié)論. （2020湖北理數(shù)）7、如圖，在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設(shè)為前n個(gè)圓的面積之和，則= A． 2 B. C.4 D.6 （2020福建理數(shù)）3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得， 所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值。 【命題意圖】本題考查

19、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力。 （2020遼寧理數(shù)）（16）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________. 【答案】 【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。 又因?yàn)?，，所以，的最小值? （2020福建理數(shù)）11．在等比數(shù)列

20、中,若公比,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 ． 【答案】 【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。 證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對(duì)一切正整數(shù)a均能成立。 結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個(gè)可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。 證明：當(dāng)成等差數(shù)列，則， 分解得： 選取關(guān)于n的一個(gè)多項(xiàng)式，做兩種途徑的分解 對(duì)比目標(biāo)式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立， 考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。 下證

21、互不相似。 任取正整數(shù)m，n，若△m，△相似：則三邊對(duì)應(yīng)成比例， 由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。 （2020北京理數(shù)）（20）（本小題共13分） 已知集合對(duì)于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 （Ⅰ）證明：，且; （Ⅱ）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) (Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）≤. 證明：（I）設(shè)，， 因?yàn)椋?，所? 從而 又 由題意知，，. 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)， 所以 (II)設(shè)，， ，，.

22、 記，由（I）可知 所以中1的個(gè)數(shù)為，的1的 個(gè)數(shù)為。 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。 （III）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和，設(shè)種所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0 則= 由于 所以 從而 （2020四川理數(shù)）（21）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a

23、3，a5； （Ⅱ）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力. 解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分 (2)當(dāng)n∈N *時(shí)，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－

24、(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項(xiàng)為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數(shù)列 則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝-(n－1)2. 所以Sn＝2· 綜上所述，Sn＝…………………………12分 （2020天津理數(shù)）（22）（本小題滿分14分） 在數(shù)列中，，且對(duì)任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。 （Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（） （Ⅱ）若對(duì)任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。 【解析

25、】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。 （Ⅰ）證明：由題設(shè)，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比數(shù)列。 （Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得 當(dāng)≠1時(shí)，可知≠1，k 從而 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： （1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m() 若m=1,則. 若m≥2，則 + 所以

26、 (2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（） 所以從而··· 綜合（1）（2）可知，對(duì)任意,,有 證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （ii）證明：因?yàn)樗浴? 所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故。 從而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同證法一。 （2020全國卷1理數(shù)）（22）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效） 已知數(shù)列中， . （Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍 . （2020山東

27、理數(shù)）（18）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以? ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵。 （2020湖南理數(shù)）21．（本小題滿分13分） 數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點(diǎn) （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)； （Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若

28、不存在，請(qǐng)說明理由。 （2020湖北理數(shù)） （Ⅲ） 2. （2020安徽理數(shù)）20、（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0。 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有 。 （2020江蘇卷）19、（本小題滿分16分） 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）； （2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 （1

29、）由題意知：， ， 化簡，得： ， 當(dāng)時(shí)，，適合情形。 故所求 另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。 于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。 所以滿足條件的，從而。 因此的最大值為。 【2020年高考試題】 8．(2020·福建理3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 則公差d等于 A．1 B C 2 D 3 答案：C 解析：∵且.故選C 9．(2020·廣東理４)已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：C 答案： B

30、解析：，，。 3．(2020·遼寧理14)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則 答案： 解析：， =。 4．(2020·福建理15)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________. 答案：5 解析：由題意可設(shè)第次報(bào)數(shù)，第次報(bào)數(shù)，第次報(bào)數(shù)分別為，，，所以有，又由此可得在報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手5次。 5．(2

31、020·浙江理11)設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則___________. W 解析：這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于， 8．(2020·山東理20)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上。 (Ⅰ)求r的值。 (Ⅱ)當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立 解：:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為, (2)當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不

32、等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊= 所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式. 9．(2020·廣東理21)已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為． (１)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (２)證明： 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又， 則有，即. 10．(2020·江蘇17)設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，

33、滿足 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； (2)試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng).? [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。 (1)設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?所以的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)的和 (2) (方法一)=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù) 因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以可取的值為，當(dāng)時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，數(shù)列中的最小項(xiàng)是，不符合。所以滿足條件的正整數(shù) (方法二)因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)， 故為整數(shù)，又由(1)知：為奇數(shù)，所以 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 11．(2020·安徽理21) 首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)

34、列{}滿足. (Ⅰ)證明：若 為奇數(shù)，則對(duì)一切 ， 都是奇數(shù)； (Ⅱ)若對(duì)一切，都有，求的取值范圍。 解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。 因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號(hào)。 因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。 12．(2020·天津理22)已知等差數(shù)列{}的公差為d(d0)，等比數(shù)列{}的公比為q(q>1)。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (1)若== 1，d=2，q=3，求 的值； (2)

35、若=1，證明(1-q)-(1+q)=，n； (3) 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。 (Ⅰ)解：由題設(shè)，可得 所以， (Ⅱ)證明：由題設(shè)可得則 ① ② 式減去②式，得 式加上②式，得 ③ 式兩邊同乘q，得 所以，

36、 (Ⅲ)證明： 因?yàn)樗? 若，取i=n 若，取i滿足且 由(1),(2)及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，得 即，…， 又所以 因此 當(dāng)同理可得，因此 綜上， 【2020年高考試題】 4.(2020·廣東卷理2)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則( ) A．16 B．24 C．36 D．48 答案：D 解析：，，故 7.(2020·廣東理2)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，

37、若，，則( ) A．16 B．24 C．36 D．48 答案：D 。 解析：， ，故。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。 1.(2020·江蘇10)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 ． 答案： 解析：前行共用了 個(gè)數(shù)，因此第行從左向右的第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中的第個(gè)，即為． 3.(2020·海南寧夏卷理17)已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，。 (1)求的通項(xiàng)； (2)求前

38、n項(xiàng)和的最大值。 解：(Ⅰ)設(shè)的公差為，由已知條件，，解出，． 所以． (Ⅱ)． 所以時(shí)，取到最大值． 4.(2020·山東理19文20)將數(shù)列｛an｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝,b1=a1=1. Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，且滿足＝1=(n≥2). (Ⅰ)證明數(shù)列｛｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同

39、一個(gè)正數(shù).當(dāng)時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)和的和. (Ⅰ)證明：由已知， ， (Ⅱ)解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q,且q＞0. 因?yàn)椤　　? 　所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列｛an｝的前78項(xiàng)， 　故 a82在表中第13行第三列，　因此 又　　 　所以 q=2. 記表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和為S， 則(k≥3). 點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查數(shù)列求和及推理運(yùn)算能力。 5.(2020·江蘇卷19).(Ⅰ)設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列()，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列： ①當(dāng)n =

40、4時(shí)，求的數(shù)值；②求的所有可能值； (Ⅱ)求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列． 化簡得3＝0，因?yàn)閐≠0，所以也不能刪去； 若刪去，則有＝，即．故得= 2 ． 當(dāng)n≥6 時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列．事實(shí)上，在數(shù)列，，，…，，， 中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有＝，這與d≠0 矛盾；同樣若刪去也有＝，這與d≠0 矛盾；若刪去，…， 中任意一個(gè)，則必有＝，這與d≠0 矛盾．綜上所述，n∈{4，5}． 點(diǎn)評(píng)：等差等比數(shù)列這部分內(nèi)容主要考查公式的靈活應(yīng)用，這是高考的熱點(diǎn)。 6.(2020·廣東卷

41、21)設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，，(…)．(1)證明：，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3)若，，求的前項(xiàng)和． 解析：(1)由求根公式，不妨設(shè)，得 ， (2)設(shè)，則，由得， 消去，得，是方程的根，由題意可知， ①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組的解記為 即、分別是公比為、的等比數(shù)列， 由等比數(shù)列性質(zhì)可得,, 兩式相減，得 ，， ， ，即， ②當(dāng)時(shí)，即方程有重根，， 即，得，不妨設(shè)，由①可知 ，， 即，等式兩邊同時(shí)除以，得，即 數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，, 綜上所述， (3)把，代入，得，解得 點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前

42、n項(xiàng)和等知識(shí)，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力。 【2020年高考試題】 1．(2020·寧夏、海南理4)已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和， 則其公差(　　) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：D 解析： 選D 2．(2020·寧夏、海南理7)已知，，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是(　　) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：D 解析： 選D。 3．(2020·廣東理5) 已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，第k項(xiàng)滿足５＜＜８，則= A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 驗(yàn)證時(shí)也滿足上式， (II) ， ， 2．(2020·山東理18) 設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知， 且構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列的等差數(shù)列． (2)令求數(shù)列的前項(xiàng)和． 故數(shù)列的通項(xiàng)為． (2)由于 由(1)得 又 是等差數(shù)列． 故．