【步步高】2020屆高考數(shù)學二輪復習 專題七 第1講幾何證明選講

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1、專題七　選修系列4第1講　幾何證明選講 (推薦時間：60分鐘) 一、填空題 1. (2020·陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 2．(2020·湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________． 二、解答題 3.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于點F，∠ECA＝∠D.求證：AC·BE＝CE·AD. 4．(2020·江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)

2、切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值． 5．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點，求EF的長． 6．如圖所示，點P是圓O直徑AB延長線上的一點，PC切圓O于點C，直線PQ平分∠APC，分別交AC、BC于點M、N.求證：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN. 7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝.過A點的切線交CB的延長線于E點．求證：AB2＝BE·CD. 8．如圖

3、，PA切⊙O于點A，割線PBC經(jīng)過圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°到OD，求PD的長． 9. 如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于點H，∠ABC＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF. 求證：(1)B、D、H、E四點共圓； (2)CE平分∠DEF. 10．如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB，F(xiàn)C. (1)求證：FB＝FC； (2)求證：FB2＝FA·FD； (3)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的長

4、． 答 案 1．4 2. 3．證明　因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AF∥BC，所以＝. 又因為AE∥CD，所以△AFE∽△DFC， 所以＝，即＝＝. 又因為∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC， 所以△AFC∽△ACD，所以＝， 所以＝， 所以AC·BE＝CE·AD. 4. 證明　如圖，連結(jié)AO1并延長，分別交兩圓于點E和點D. 連結(jié)BD，CE. 因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑． 從而∠ABD＝∠ACE＝. 所以BD∥CE， 于是＝＝＝. 所以AB∶AC為定值． 5．解　連結(jié)DE，由于E是AB的

5、中點，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB， ∴四邊形EBCD是矩形． 在Rt△AED中，AD＝a，F(xiàn)是AD的中點，故EF＝. 6．證明　(1)∵PC切圓O于點C， ∴∠PCB＝∠PAC， 又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN， ∴CM＝CN. (2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM， ∴△PCN∽△PAM，∴＝，① 同理△PNB∽△PMC，∴＝.② 又∵PC2＝PA·PB，③ 由①②③可知CM·CN＝AM·BN， ∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN. ∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB＝90°. ∴MN2＝

6、2CM2，即MN2＝2AM·BN. 7．證明　連結(jié)AC. ∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB， ∵＝， ∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD. ∴∠EAB＝∠ACD. 又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， 所以∠ABE＝∠D. ∴△ABE∽△CDA. ∴＝，即AB·DA＝BE·CD. ∴AB2＝BE·CD. 8．解　方法一　連結(jié)AB， ∵PA切⊙O于點A，B為PO中點， ∴AB＝OB＝OA， ∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°. 在△POD中， 由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－)＝7.∴PD＝. 方法二　過D作D

7、E⊥PC，垂足為E， ∴∠POD＝120°， ∴∠DOE＝60°，可得OE＝，DE＝， 在Rt△PED中， PD＝＝＝. 9．證明　(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°. ∵AD，CE分別是△ABC的角平分線， ∴∠HAC＋∠HCA＝60°， ∴∠AHC＝120°. ∴∠EHD＝∠AHC＝120°. ∴∠EBD＋∠EHD＝180°. ∴B，D，H，E四點共圓． (2)連結(jié)BH，則BH為∠ABC的平分線， ∴∠EBH＝∠HBD＝30°. 由(1)知B，D，H，E四點共圓， ∴∠CED＝∠HBD＝30°， ∠HDE＝∠EBH＝

8、30°. ∴∠HED＝∠HDE＝30°. ∵AE＝AF，AD平分∠BAC， ∴EF⊥AD. ∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF. 10．(1)證明　因為AD平分∠EAC， 所以∠EAD＝∠DAC. 因為四邊形AFBC內(nèi)接于圓， 所以∠DAC＝∠FBC. 因為∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， 所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC. (2)證明　因為∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD， 所以△FBA∽△FDB.所以＝， 所以FB2＝FA·FD. (3)解　因為AB是圓的直徑，所以∠ACB＝90°. 又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°， ∠DAC＝∠EAC＝60°.因為BC＝6， 所以AC＝BCtan∠ABC＝2， 所以AD＝＝4(cm)．