云南省昭通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué)《第一章 解三角形》同步練習(xí) 新人教A必修5

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1、"云南省昭通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué)《第一章 解三角形》同步練習(xí) 新人教A必修5 " 一、選擇題 1．已知A，B兩地的距離為10 km，B，C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為( )． A．10 km B．10km C．10km D．10km 2．在△ABC中，若＝＝，則△ABC是( )． A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足關(guān)系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，則c邊的對(duì)角等于( )． A．15° B．45°

2、 C．60° D．120° 4．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，則sin A∶sin B∶sin C＝( )． A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶2 5．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則( )． A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 6．在△AB

3、C中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，則∠A為( )． A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30° 7．在△ABC中，關(guān)于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根，則A為( )． A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．不存在 8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則邊AC上的高為( )． A． B． C． D．3 9．在△ABC中，＝c2，sin A·sin B＝，則△ABC 一定是( )． A．等邊三角形 B．等腰三

4、角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10．根據(jù)下列條件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判斷正確的是( )． A．①只有一解，②也只有一解． B．①有兩解，②也有兩解． C．①有兩解，②只有一解． D．①只有一解，②有兩解． 二、填空題 11．在△ABC中，a，b分別是∠A和∠B所對(duì)的邊，若a＝，b＝1，∠B＝30°，則∠A的值是 ． 12．在△ABC中，已知sin Bsin C＝cos2，則此三角形是__________三角形． 13．已知a，b，c是△AB

5、C中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，S是△ABC的面積．若a＝4， b＝5，S＝5，求c的長(zhǎng)度 ． 14．△ABC中，a＋b＝10，而cos C是方程2x2－3x－2＝0的一個(gè)根，求△ABC周長(zhǎng)的最小值 ． 15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面積為，則△ABC的周長(zhǎng)為________________． 16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三邊之比為 ． 三、解答題 17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a

6、，b分別為∠A，∠B的對(duì)邊，且a＝4＝b，解此三角形． 18．如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)B，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45°，建筑物的高CD為50米．求此山對(duì)于地平面的傾斜角q． 19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B， (Ⅰ)求∠B的大?。? (Ⅱ)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積． 20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，求證：＝．

7、 參考答案 一、選擇題 1．D 解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700． AC＝10． 2．B 解析：由＝＝及正弦定理，得＝＝，由2倍角的正弦公式得＝＝，∠A＝∠B＝∠C． 3．C 解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 得 a2＋b2－c2＝ab． ∴ cos C＝＝． 故C＝60°． 4．D 解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2． 5．D 解析：△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形． 若△A2B

8、2C2不是鈍角三角形，由，得， 那么，A2＋B2＋C2＝－(A1＋B1＋C1)＝，與A2＋B2＋C2＝π矛盾． 所以△A2B2C2是鈍角三角形． 6．C 解析：由＝，得sin A＝＝＝， 而b＜a， ∴ 有兩解，即∠A＝60°或∠A＝120°． 7．A 解析：由方程可得(sin A－sin C)x2＋2xsin B＋sin A＋sin C＝0． ∵ 方程有兩個(gè)不等的實(shí)根， ∴ 4sin2 B－4(sin2 A－sin2 C)＞0． 由正弦定理＝＝，代入不等式中得 b2－a2＋c2＞0， 再由余弦定理，有2ac cos A＝b2＋c2－a2＞0． ∴ 0＜∠A＜90°．

9、 8．B 解析：由余弦定理得cos A＝，從而sin A＝，則AC邊上的高BD＝． 9．A 解析：由＝c2a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2a3＋b3－c2(a＋b)＝0 (a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0． ∵ a＋b＞0， ∴ a2＋b2－c2－ab＝0． (1) 由余弦定理(1)式可化為 a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0， 得cos C＝，∠C＝60°． 由正弦定理＝＝，得sin A＝，sin B＝， ∴ sin A·sin B＝＝， ∴ ＝1，ab＝c2．將ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2

10、＝0，a＝b． △ABC是等邊三角形． 10．D 解析：由正弦定理得sin A＝，①中sin A＝1，②中sin A＝．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有兩解，∠A可為銳角或鈍角． 二、填空題 11．60°或120°． 解析：由正弦定理＝計(jì)算可得sin A＝，∠A＝60°或120°． 12．等腰． 解析：由已知得2sin Bsin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)， 即2sin Bsin C＝1－(cos Bcos C－sin Bsin C)， ∴ cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13．或． 解：∵ S＝absin C，∴

11、 sin C＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°． 又c2＝a2＋b2－2abcos C， 當(dāng)∠C＝60°時(shí)，c2＝a2＋b2－ab，c＝； 當(dāng)∠C＝120°時(shí)，c2＝a2＋b2＋ab，c＝． ∴ c的長(zhǎng)度為或． 14．10＋5． 解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，然后運(yùn)用函數(shù)思想加以處理． ∵ 2x2－3x－2＝0， ∴ x1＝2，x2＝－． 又cos C是方程2x2－3x－2＝0的一個(gè)根， ∴ cos C＝－． 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－)＝(a＋b)2－ab， 則c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75， 當(dāng)a＝5

12、時(shí)，c最小，且c＝＝5， 此時(shí)a＋b＋c＝5＋5＋5＝10＋5， ∴ △ABC周長(zhǎng)的最小值為10＋5． 15．13． 解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可設(shè)a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得 cos B＝＝＝， ∴ sin B＝＝． 由面積公式S△ABC＝ac sin B，得 ·(2k)·(6k)·＝， ∴ k＝1，△ABC的周長(zhǎng)為2k＋5k＋6k＝13k＝13． 本題也可由三角形面積(海倫公式)得＝， 即k2＝，∴ k＝1． ∴ a＋b＋c＝13k＝13． 16．6∶5∶4． 解析

13、：本例主要考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用． 由正弦定理得＝＝＝2cos C，即cos C＝， 由余弦定理cos C＝＝． ∵ a＋c＝2b， ∴ cos C＝＝， ∴ ＝． 整理得2a2－5ac＋3c2＝0． 解得a＝c或a＝c． ∵∠A＝2∠C，∴ a＝c不成立，a＝c ∴ b＝＝＝， ∴ a∶b∶c＝c∶∶c＝6∶5∶4． 故此三角形三邊之比為6∶5∶4． 三、解答題 17．b＝4，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝4，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°． 解：由正弦定理知＝＝sin B＝，b＝4． ∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°

14、c＝8或c＝4． (第18題) 18．分析：設(shè)山對(duì)于地平面的傾斜角∠EAD＝q，這樣可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到關(guān)于q 的三角函數(shù)等式，進(jìn)而解出q 角． 解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米， ∠ACB＝45°－15°＝30°． 根據(jù)正弦定理有＝， ∴ BC＝． 又在△BCD中，∵ CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋q ， 根據(jù)正弦定理有＝． 解得cos q ＝－1，∴ q ≈42.94°． ∴ 山對(duì)于地平面的傾斜角約為42.94°． 19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2

15、sin Acos B－cos Bsin C， ∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)． 又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0， ∴ 2sin Acos B＝sin A，即cos B＝，B＝． (Ⅱ)∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴ 7＝a2＋c2－ac， 又 (a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ ac＝3，∴ S△ABC＝acsin B， 即S△ABC＝·3·＝． 20．分析：由于所證明的是三角形的邊角關(guān)系，很自然聯(lián)想到應(yīng)用正余弦定理． 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B得 a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， ∴ 2(a2－b2)＝－2bccos A＋2accos B， ＝． 由正弦定理得 a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C， ∴＝ ＝ ＝． 故命題成立．