廣東省廉江市第三中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí) 高考中常用函數(shù)模型歸納及應(yīng)用
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1、廣東省廉江市第三中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí) 高考中常用函數(shù)模型歸納及應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)是重點(diǎn)內(nèi)容,函數(shù)思想貫穿于數(shù)學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域,函數(shù)圖象是數(shù)形結(jié)合的常用工具。復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題也是有簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)組合而成,熟練掌握常見(jiàn)的函數(shù)模型對(duì)解決函數(shù)綜合問(wèn)題大有裨益。高考試題中,函數(shù)問(wèn)題是“大塊頭”,各套試題所占比重在30%以上。現(xiàn)歸納常用的函數(shù)模型及其常見(jiàn)應(yīng)用如下: 一. 常數(shù)函數(shù)y=a 判斷函數(shù)奇偶性最常用的模型,a=0時(shí),既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),a≠0時(shí)只是偶函數(shù)。關(guān)于方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用。 例1.已知x∈(0, ],關(guān)于方程2sin(x+)=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的
2、取植范圍是( ) A.[-2,2] B.[,2] C.( ,2] D.( ,2) 解析;令y=2sin(x+), y=a 畫(huà)出函數(shù)y=2sin(x+),y=a圖象如圖所示,若方程有兩個(gè)不同的解,則兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由圖象知( ,2),選D 二. 一次函數(shù)y=kx+b (k≠0) 函數(shù)圖象是一條直線,易畫(huà)易分析性質(zhì)變化。常用于數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題,及利用“變?cè)被颉皳Q元”化歸為一次函數(shù)問(wèn)題。有定義域限制時(shí),要考慮區(qū)間的端點(diǎn)值。 例2.不等式2x+1≤m(x-1)對(duì)一切│m│≤2恒成立,則x的范圍是( ) A.-2≤x≤2
3、 B. ≤x≤0 C.0≤x≤ D. ≤x≤ 解析:不等式可化為m(x-1)- 2x+1≥0 設(shè)f(m)= m(x-1)- 2x+1 若x=1, f(m)=-3<0 (舍) 則x≠1 則f(m)是關(guān)于m的一次函數(shù),要使不等式在│m│≤2條件下恒成立,只需,解之可得答案D 三. 二次函數(shù)y=ax+bx+c (a≠0) 二次函數(shù)是應(yīng)用最廣泛的的函數(shù),是連接一元二次不等式和一元二次方程的紐帶。很多問(wèn)題都可以化歸和轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問(wèn)題。比如有關(guān)三次函數(shù)的最值問(wèn)題,因其導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),最后的落腳點(diǎn)仍是二次函數(shù)問(wèn)題。 例3.(1).若關(guān)于x的方程x+ax+a-1=0有一個(gè)正根和
4、一個(gè)負(fù)根,則a的取值范圍是( ) 解析:令f(x)= x+ax+a-1 由題意得f(0)= a-1 <0,即-1<a<1即可。 一元二次方程的根分布問(wèn)題可借助二次函數(shù)圖象解決,通??紤]二次函數(shù)的開(kāi)口方向,判別式對(duì)稱軸與根的位置關(guān)系,端點(diǎn)函數(shù)值四個(gè)方面。也可借助韋達(dá)定理。 例4.函數(shù)f(x)= x-4x-4在閉區(qū)間[t,t+1] t∈R上的最小值記為g(t),試求g(t)的表達(dá)式。 解:f(x)=(x-2)-8 當(dāng)t>2時(shí),f(x)在[t,t+1]上是增函數(shù) ∴g(t)= f(t)=t-4t-4 當(dāng)t≤2≤t+1即1≤t≤2時(shí), g(t)= f(2)=-8 當(dāng)t+1<
5、2即t<1時(shí) f(x)在[t,t+1]上是減函數(shù) g(t)= f(t+1)= t-2t-7,從而g(t)= 評(píng):二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn),它的對(duì)稱軸能確定二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合性題目是??嫉慕粎R點(diǎn)之一。該題中,對(duì)稱軸x=2確定,而區(qū)間[t,t+1]不確定即“定軸不定區(qū)間”,二者的位置關(guān)系有三種情況。類似問(wèn)題還有“定區(qū)間不定軸”、“不定軸不定區(qū)間”問(wèn)題,但方法都一樣,“討論對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系”。 例5.①如果函數(shù)y=a+2a-1(a>0且a≠1) 在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,求a的值。 ②.f(x)=-sinx+sinx+a,若1≤
6、f(x) ≤對(duì)一切x∈R恒成立,求a的取值范圍。 以上兩個(gè)問(wèn)題都可以利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決,換元過(guò)程中注意──等價(jià)性,即保證“舊元”和“新元”取值范圍的統(tǒng)一。解題過(guò)程略。 答案:①.a=3或 ②3≤a≤4 例6.已知a,b為常數(shù),且a>0,f(x)=x+(1-a)x-3ax+b (1).若函數(shù)f(x)的極大值是2,求a和b的關(guān)系式 (2).若函數(shù)f(x)的極大值是2,且在區(qū)間[0,3]上的最小值是-,求a和b的值。 解答過(guò)程略。答案:(1).3a+2b=3 (2).a=2,b=- 四. 絕對(duì)值函數(shù)y=│x│ 例7.畫(huà)出函數(shù)y=︱︱︱x︱-1︱-1│ 按照以
7、下的變換的方式即可:y=│x│ y=│x│-1 y=︱︱x︱-1︱ y=︱︱x︱-1︱-1 y=︱︱︱x︱-1︱-1│︳, 答案如上圖所示。 例8.函數(shù)y=a│x│和y=x+a圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是( ) A.(1,+∞) B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:(?。┤鬭=0, y=a│x│=0與y=x只有一個(gè)交點(diǎn); (ⅱ) 若0<a≤1,則y=a│x│和y=x+a只有一個(gè)交點(diǎn); (ⅲ)若a>1, 則y=a│x│和y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn);
8、 (ⅳ)若-1≤a<0,則y=a│x│和y=x+a只有一個(gè)交點(diǎn); (ⅴ)若a<-1,則y=a│x│和y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn); 選D 五. 折線函數(shù)y=︱x-a︱+︱x-b︱和y=︱x-a︱-︱x-b︱ (a<b) 根據(jù)絕對(duì)值的定義可以先把這兩個(gè)函數(shù)可以化成分段函數(shù)的形式,比如y=︱x-a︱+ ︱x-b︱=然后再畫(huà)函數(shù)圖象。它們的圖象分別是 也可根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步把握,y=︱x-a︱+︱x-b︱表示數(shù)軸上任意一點(diǎn)x到a和b的距離的和。 例9.若不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a有解,求a的取值范圍 解析:方法Ⅰ:︱x+3︱-︱x-2︱表示數(shù)軸上的點(diǎn)(x,0
9、)到點(diǎn)(-3,0)和(2,0)的距離的差的最大植是5,所以,要使不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a有解,只需a<5。 方法二;圖象法,略 六.函數(shù)y=ax+ (a≠0,b≠0) 當(dāng)a>0,b>0時(shí),函數(shù)圖象如下圖所示,從圖象可以知道它的單調(diào)性,在(-∞,-)和(,+∞)單調(diào)遞增,在(-,0)和(0,)單調(diào)遞減;這種情形下的圖象最好記住,在平常練習(xí)題中常用。 當(dāng)a>0,b<0時(shí),函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)單調(diào)遞增; 當(dāng)a<0,b>0時(shí),函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)單調(diào)遞減; 當(dāng)a<0,b<0時(shí),函數(shù)在(-∞,-)和(,+∞)單調(diào)遞減,在(-,0)和(0,)單調(diào)
10、遞增。其中最簡(jiǎn)單最常用的函數(shù)是y=x+,能利用均值不等式求最值的,可利用均值不等式,不能利用的常借助于函數(shù)的單調(diào)性解決。 函數(shù)y=ax+的漸進(jìn)線是y=ax,可以輔助做圖。 例10.某大型企業(yè)的員工每天的用餐需要消耗大米4000kg,該企業(yè)采購(gòu)大米的市場(chǎng)價(jià)格是每千克3元,企業(yè)倉(cāng)庫(kù)最多儲(chǔ)存56000kg的大米,一次采購(gòu)大米超過(guò)32000kg,而不超過(guò)56000kg,需付運(yùn)費(fèi)256元,大米的保管費(fèi)用是每1000kg每天2元,(該企業(yè)規(guī)定不使用當(dāng)天的采購(gòu)的大米)設(shè)企業(yè)一次采購(gòu)的大米可供員工用餐的天數(shù)為x,企業(yè)平均每天所付的大米費(fèi)用(包括買(mǎi)米費(fèi),運(yùn)費(fèi),保管費(fèi))之和為y元。 (1) 試寫(xiě)出y與x
11、的函數(shù)關(guān)系式。 (2) 該企業(yè)一次采購(gòu)多少天所需的大米,使每天所付的大米費(fèi)用最少? 解:企業(yè)x天所需大米4000xkg,其保管費(fèi)用為(x+x-1+……+2+1)=4x(x+1) (1) Ⅰ當(dāng)0<x≤8, x∈N時(shí), y=[4x(x+1) +196]+3*4000 =+4x+12020 Ⅱ當(dāng)9≤x≤14 x∈N,時(shí), y=[4x(x+1) +256]+3*4000 =+4x+12020 所以y= x∈N (
12、2) Ⅰ.當(dāng)0<x≤8, x∈N時(shí), y=+4x+12020≥2+12020=12060(元) 當(dāng)且僅當(dāng)=4x即 x=7時(shí)取等號(hào),y的最小值為12060元。 Ⅱ.當(dāng)9≤x≤14 x∈N,時(shí), y=+4x+12020 利用函數(shù)的單調(diào)性定義易證函數(shù)在[9,14]上為增函數(shù),當(dāng)x=9時(shí),函數(shù)有最小值12068元。 因?yàn)?2060<12068,故該企業(yè)一次采購(gòu)7天所需的大米,能使平均每天所付的費(fèi)用最少。 七. 指數(shù)函數(shù)y=a(a>0且a≠1) 對(duì)數(shù)函數(shù)y= logx (a>0且a≠1) 類似于指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)該熟記y=logx和y=logx的函數(shù)圖象和性質(zhì),二
13、者圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。與指數(shù)函數(shù)不同的是定義域(0,+∞),這一點(diǎn)極易忽略。熟記函數(shù)值的分布,有利于比較數(shù)的大小及判斷對(duì)數(shù)值的正負(fù)
例12.函數(shù)y=log(2-ax)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解:要使函數(shù)有意義需滿足2-ax>0,有ax<2
∵a>0,a≠1
∴x<
∴函數(shù)的定義域是(-∞, )
∵函數(shù)的遞減區(qū)間[0,1]必在定義域內(nèi)
故2-a>0, 即a<2
若1
14、gu單減,從而函數(shù)y=log(2-ax) 在[0,1]上單增。
∴a的取值范圍是(1,2)
解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式,常用“同底法”,常用以下代換1=a、0=log1、1=loga 。
八. 冪函數(shù)
熟記以下函數(shù)的圖象和性質(zhì):y= y=x,y=x,y=即可應(yīng)付,高考試題和平時(shí)練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn),y=x是冪函數(shù)>0中圖象上凸或下凸的分水嶺。冪函數(shù)在中學(xué)教材中反復(fù)出現(xiàn)和刪除,但前面的y= y=x,y=一直應(yīng)用著。
例13.函數(shù)y= 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
解析:分離常數(shù):y==-1+,結(jié)合函數(shù)y=的對(duì)稱中心是(0,0),函數(shù)y=的圖象可由y=向右向下各平移一個(gè)單位得到 15、,故y=的對(duì)稱中心是(1,-1)
再如求
下列函數(shù)的值域:y= y= ,通過(guò)變形處理,換元,可以利用函數(shù)模型y=求值域。答案:[-,1] [,1)
十.正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)
熟記y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象和性質(zhì)(包括:周期性,單調(diào)性,奇偶性,符號(hào)區(qū)間,對(duì)稱軸和對(duì)稱中心),是推知y=Asin()+b、y=Acos()+b、y=Atan()+b (其中A,>0,,b∈R)這三大類函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)。運(yùn)用整體思想,把作為整體,進(jìn)行處理該類問(wèn)題是通法。
三角換元中常利用這三類函數(shù),一定要恰到好處地選擇角的范圍,常取[-,]、[0,]、[0,]。
例14.(2 16、020年全國(guó)高考卷Ⅰ)設(shè)f(x)=sin(2x+)(-<<0),y= f(x) 一條對(duì)稱軸是直線x=。
⑴求的值。
⑵求函數(shù)y= f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。
解:⑴∵直線x=是函數(shù)y= f(x)的對(duì)稱軸
∴sin(2*+)=±1,則+=k+ k∈Z
∵-<<0
∴=-,
⑵由⑴知=-,因此y= sin(2x-)
由題意得,2k-≤2x-≤2 k+ k∈Z
解之可得:k+ ≤x≤k+ k∈Z
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[k+ ,k+ ] k∈Z
例15.求函數(shù)y=x+值域
解:令x=5sin(-)得y=sin+cos=sin(+),
∵-≤≤,于是-≤s 17、in(+)≤1,-≤sin(+)≤
∴函數(shù)的值域是[-,]
評(píng)析:該題也可以令x=cos, 的取值范圍相應(yīng)地改為[0,]
高考銜接:
1. (2020年遼寧·文科9.)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為( )
A. B. C. D.
2.(2020年江蘇·文科9.).已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,,對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有,則的最小值為
A. B. C. D.
3.(2020年山東·文科11.).設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為,
則所在的區(qū)間是( )
A. B. C. D.
4.(2020年山東·文科6).給 18、出下列三個(gè)等式:,.下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是( )
A. B. C. D.
5.(2020年福建·理科11).已知對(duì)任意實(shí)數(shù),有,且時(shí),,則時(shí)( )
A. B.
C. D.
6(2020年福建·文科5).已知函數(shù)的最小正周期為,則該函數(shù)的圖象( )
A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱
C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱
7.(2020年四川·文科7).已知為上的減函數(shù),則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
8.(2020年北京·理科8)對(duì)于函數(shù)①,②,③,判斷如下三個(gè)命題的真假:
命題甲:是偶函 19、數(shù);
命題乙:在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
命題丙:在上是增函數(shù).
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是( )
A.①③ B.①② C.③ D.②
答案:1.D 2.C 3. B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D
分段函數(shù)和抽象函數(shù)是當(dāng)前高考考查的熱點(diǎn),由于分段函數(shù)能將不同的函數(shù)揉和在一起,因此對(duì)于考查函數(shù)性質(zhì)方面可以有一定的覆蓋面,且可以考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法,因此被受關(guān)注。抽象函數(shù)由于只給出函數(shù)的某些性質(zhì),卻不給具體解析式,因而成為函數(shù)問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn),,但這類問(wèn)題能較好地考查學(xué)生的思維能力。解決抽象函數(shù)問(wèn)題,要全面應(yīng)用其所具有的性質(zhì)展開(kāi)解題思路,通常的方法是賦值法,,并善于根據(jù)題目條件尋找該函數(shù)的一個(gè)原型,幫助探求結(jié)論。
復(fù)合函數(shù),應(yīng)該搞清楚有幾層復(fù)合而成,若是有兩層,明確其內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)各是什么,每一層都是以上簡(jiǎn)單的初等函數(shù),常用的解題方法是換元法,代入法等。
只要熟練掌握了以上十類常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì),應(yīng)對(duì)函數(shù)的綜合問(wèn)題就會(huì)游刃有余。
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