廣東省廉江市第三中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí) 高考中常用函數(shù)模型歸納及應(yīng)用

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1、廣東省廉江市第三中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí) 高考中常用函數(shù)模型歸納及應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是重點內(nèi)容，函數(shù)思想貫穿于數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域，函數(shù)圖象是數(shù)形結(jié)合的常用工具。復(fù)雜的函數(shù)問題也是有簡單的基本初等函數(shù)組合而成，熟練掌握常見的函數(shù)模型對解決函數(shù)綜合問題大有裨益。高考試題中，函數(shù)問題是“大塊頭”，各套試題所占比重在30%以上。現(xiàn)歸納常用的函數(shù)模型及其常見應(yīng)用如下： 一． 常數(shù)函數(shù)y=a 判斷函數(shù)奇偶性最常用的模型，a=0時，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，a≠0時只是偶函數(shù)。關(guān)于方程解的個數(shù)問題時常用。 例1．已知x∈(0, ],關(guān)于方程2sin(x+)=a有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的

2、取植范圍是（ ） A．[-2，2] B.[,2] C.( ,2] D.( ,2) 解析；令y=2sin(x+), y=a 畫出函數(shù)y=2sin(x+)，y=a圖象如圖所示，若方程有兩個不同的解，則兩個函數(shù)圖象有兩個不同的交點，由圖象知( ,2)，選D 二． 一次函數(shù)y=kx+b (k≠0) 函數(shù)圖象是一條直線，易畫易分析性質(zhì)變化。常用于數(shù)形結(jié)合解決問題，及利用“變元”或“換元”化歸為一次函數(shù)問題。有定義域限制時，要考慮區(qū)間的端點值。 例2．不等式2x+1≤m(x-1)對一切│m│≤2恒成立，則x的范圍是（ ） A．-2≤x≤2

3、 B. ≤x≤0 C.0≤x≤ D. ≤x≤ 解析：不等式可化為m(x-1)- 2x+1≥0 設(shè)f(m)= m(x-1)- 2x+1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 則x≠1 則f(m)是關(guān)于m的一次函數(shù)，要使不等式在│m│≤2條件下恒成立，只需，解之可得答案D 三． 二次函數(shù)y=ax+bx+c (a≠0) 二次函數(shù)是應(yīng)用最廣泛的的函數(shù)，是連接一元二次不等式和一元二次方程的紐帶。很多問題都可以化歸和轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題。比如有關(guān)三次函數(shù)的最值問題，因其導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，最后的落腳點仍是二次函數(shù)問題。 例3．（1）.若關(guān)于x的方程x+ax+a-1=0有一個正根和

4、一個負(fù)根，則a的取值范圍是（ ） 解析：令f(x)= x+ax+a-1 由題意得f(0)= a-1 ＜0,即-1＜a＜1即可。 一元二次方程的根分布問題可借助二次函數(shù)圖象解決，通?？紤]二次函數(shù)的開口方向，判別式對稱軸與根的位置關(guān)系，端點函數(shù)值四個方面。也可借助韋達(dá)定理。 例4．函數(shù)f(x)= x-4x-4在閉區(qū)間[t,t+1] t∈R上的最小值記為g(t),試求g(t)的表達(dá)式。 解：f(x)=（x-2）-8 當(dāng)t＞2時，f(x)在[t,t+1]上是增函數(shù) ∴g(t)= f(t)=t-4t-4 當(dāng)t≤2≤t+1即1≤t≤2時， g(t)= f(2)=-8 當(dāng)t+1＜

5、2即t＜1時 f(x)在[t,t+1]上是減函數(shù) g(t)= f(t+1)= t-2t-7,從而g(t)= 評：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是歷年高考的熱點，它的對稱軸能確定二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合性題目是?？嫉慕粎R點之一。該題中，對稱軸x=2確定，而區(qū)間[t,t+1]不確定即“定軸不定區(qū)間”，二者的位置關(guān)系有三種情況。類似問題還有“定區(qū)間不定軸”、“不定軸不定區(qū)間”問題，但方法都一樣，“討論對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系”。 例5．①如果函數(shù)y=a+2a-1(a>0且a≠1) 在區(qū)間[-1，1]上的最大值是14，求a的值。 ②．f(x)=-sinx+sinx+a,若1≤

6、f(x) ≤對一切x∈R恒成立,求a的取值范圍。 以上兩個問題都可以利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決，換元過程中注意──等價性，即保證“舊元”和“新元”取值范圍的統(tǒng)一。解題過程略。 答案：①.a=3或 ②3≤a≤4 例6.已知a,b為常數(shù)，且a>0,f(x)=x+(1-a)x-3ax+b (1).若函數(shù)f(x)的極大值是2，求a和b的關(guān)系式 （2）.若函數(shù)f(x)的極大值是2，且在區(qū)間[0，3]上的最小值是-，求a和b的值。 解答過程略。答案：(1).3a+2b=3 （2）.a=2,b=- 四． 絕對值函數(shù)y=│x│ 例7．畫出函數(shù)y=︱︱︱x︱-1︱-1│ 按照以

7、下的變換的方式即可：y=│x│ y=│x│-1 y=︱︱x︱-1︱ y=︱︱x︱-1︱-1 y=︱︱︱x︱-1︱-1│︳， 答案如上圖所示。 例8．函數(shù)y=a│x│和y=x+a圖象恰有兩個交點，則a的取值范圍是（ ） A.(1,+∞) B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析：（?。┤鬭=0, y=a│x│=0與y=x只有一個交點； (ⅱ) 若0＜a≤1,則y=a│x│和y=x+a只有一個交點； （ⅲ）若a＞1, 則y=a│x│和y=x+a有兩個交點；

8、 （ⅳ）若-1≤a＜0,則y=a│x│和y=x+a只有一個交點； （ⅴ）若a＜-1,則y=a│x│和y=x+a有兩個交點； 選D 五． 折線函數(shù)y=︱x-a︱+︱x-b︱和y=︱x-a︱-︱x-b︱ (a＜b) 根據(jù)絕對值的定義可以先把這兩個函數(shù)可以化成分段函數(shù)的形式，比如y=︱x-a︱+ ︱x-b︱=然后再畫函數(shù)圖象。它們的圖象分別是 也可根據(jù)絕對值的意義進(jìn)一步把握，y=︱x-a︱+︱x-b︱表示數(shù)軸上任意一點x到a和b的距離的和。 例9．若不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a有解，求a的取值范圍 解析：方法Ⅰ：︱x+3︱-︱x-2︱表示數(shù)軸上的點（x，0

9、）到點（-3，0）和（2，0）的距離的差的最大植是5，所以，要使不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a有解，只需a<5。 方法二；圖象法，略 六．函數(shù)y=ax+ (a≠0,b≠0) 當(dāng)a＞0,b＞0時，函數(shù)圖象如下圖所示，從圖象可以知道它的單調(diào)性，在（-∞，-）和（，+∞）單調(diào)遞增，在（-，0）和（0，）單調(diào)遞減；這種情形下的圖象最好記住，在平常練習(xí)題中常用。 當(dāng)a＞0,b＜0時，函數(shù)在（-∞，0）和（0，+∞）單調(diào)遞增； 當(dāng)a＜0,b＞0時，函數(shù)在（-∞，0）和（0，+∞）單調(diào)遞減； 當(dāng)a＜0,b＜0時，函數(shù)在（-∞，-）和（，+∞）單調(diào)遞減，在（-，0）和（0，）單調(diào)

10、遞增。其中最簡單最常用的函數(shù)是y=x+，能利用均值不等式求最值的，可利用均值不等式，不能利用的常借助于函數(shù)的單調(diào)性解決。 函數(shù)y=ax+的漸進(jìn)線是y=ax，可以輔助做圖。 例10．某大型企業(yè)的員工每天的用餐需要消耗大米4000kg，該企業(yè)采購大米的市場價格是每千克3元，企業(yè)倉庫最多儲存56000kg的大米，一次采購大米超過32000kg，而不超過56000kg,需付運費256元，大米的保管費用是每1000kg每天2元，（該企業(yè)規(guī)定不使用當(dāng)天的采購的大米）設(shè)企業(yè)一次采購的大米可供員工用餐的天數(shù)為x，企業(yè)平均每天所付的大米費用（包括買米費，運費，保管費）之和為y元。 （1） 試寫出y與x

11、的函數(shù)關(guān)系式。 （2） 該企業(yè)一次采購多少天所需的大米，使每天所付的大米費用最少？ 解：企業(yè)x天所需大米4000xkg，其保管費用為（x+x-1+……+2+1）=4x(x+1) (1) Ⅰ當(dāng)0＜x≤8, x∈N時， y=[4x(x+1) +196]+3*4000 =+4x+12020 Ⅱ當(dāng)9≤x≤14 x∈N,時， y=[4x(x+1) +256]+3*4000 =+4x+12020 所以y= x∈N (

12、2) Ⅰ.當(dāng)0＜x≤8, x∈N時， y=+4x+12020≥2+12020=12060(元) 當(dāng)且僅當(dāng)=4x即 x=7時取等號，y的最小值為12060元。 Ⅱ.當(dāng)9≤x≤14 x∈N,時， y=+4x+12020 利用函數(shù)的單調(diào)性定義易證函數(shù)在[9,14]上為增函數(shù)，當(dāng)x=9時，函數(shù)有最小值12068元。 因為12060＜12068，故該企業(yè)一次采購7天所需的大米，能使平均每天所付的費用最少。 七． 指數(shù)函數(shù)y=a(a>0且a≠1) 對數(shù)函數(shù)y= logx (a>0且a≠1) 類似于指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)應(yīng)該熟記y=logx和y=logx的函數(shù)圖象和性質(zhì)，二

13、者圖象關(guān)于x軸對稱。與指數(shù)函數(shù)不同的是定義域（0，+∞），這一點極易忽略。熟記函數(shù)值的分布，有利于比較數(shù)的大小及判斷對數(shù)值的正負(fù) 例12．函數(shù)y=log(2-ax)在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。 解：要使函數(shù)有意義需滿足2-ax>0，有ax<2 ∵a>0,a≠1 ∴x< ∴函數(shù)的定義域是(-∞, ) ∵函數(shù)的遞減區(qū)間[0，1]必在定義域內(nèi) 故2-a>0, 即a<2 若1

14、gu單減，從而函數(shù)y=log(2-ax) 在[0，1]上單增。 ∴a的取值范圍是（1，2） 解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，常用“同底法”，常用以下代換1=a、0=log1、1=loga 。 八． 冪函數(shù) 熟記以下函數(shù)的圖象和性質(zhì)：y= y=x,y=x,y=即可應(yīng)付,高考試題和平時練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)，y=x是冪函數(shù)>0中圖象上凸或下凸的分水嶺。冪函數(shù)在中學(xué)教材中反復(fù)出現(xiàn)和刪除，但前面的y= y=x,y=一直應(yīng)用著。 例13．函數(shù)y= 的圖象關(guān)于點 對稱 解析：分離常數(shù)：y==-1+，結(jié)合函數(shù)y=的對稱中心是（0，0），函數(shù)y=的圖象可由y=向右向下各平移一個單位得到

15、，故y=的對稱中心是（1，-1） 再如求 下列函數(shù)的值域:y= y= ,通過變形處理，換元，可以利用函數(shù)模型y=求值域。答案：[-，1] [，1） 十．正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù) 熟記y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象和性質(zhì)（包括：周期性，單調(diào)性，奇偶性，符號區(qū)間，對稱軸和對稱中心），是推知y=Asin()+b、y=Acos()+b、y=Atan()+b (其中A，>0,,b∈R)這三大類函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)。運用整體思想，把作為整體，進(jìn)行處理該類問題是通法。 三角換元中常利用這三類函數(shù)，一定要恰到好處地選擇角的范圍，常取[-，]、[0，]、[0，]。 例14．（2

16、020年全國高考卷Ⅰ）設(shè)f(x)=sin(2x+)(-<<0),y= f(x) 一條對稱軸是直線x=。 ⑴求的值。 ⑵求函數(shù)y= f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。 解：⑴∵直線x=是函數(shù)y= f(x)的對稱軸 ∴sin(2*+)=±1，則+=k+ k∈Z ∵-<<0 ∴=-, ⑵由⑴知=-，因此y= sin(2x-) 由題意得，2k-≤2x-≤2 k+ k∈Z 解之可得：k+ ≤x≤k+ k∈Z 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[k+ ，k+ ] k∈Z 例15．求函數(shù)y=x+值域 解：令x=5sin(-)得y=sin+cos=sin(+), ∵-≤≤,于是-≤s

17、in(+)≤1，-≤sin(+)≤ ∴函數(shù)的值域是[-，] 評析：該題也可以令x=cos， 的取值范圍相應(yīng)地改為[0，] 高考銜接： 1. （2020年遼寧·文科9．）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 2．（2020年江蘇·文科9．）．已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實數(shù)都有，則的最小值為 A． B． C． D． 3.（2020年山東·文科11．）．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為， 則所在的區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 4.（2020年山東·文科6）.給

18、出下列三個等式：，．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（ ） A． B． C． D． 5．（2020年福建·理科11）.已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（ ） A． B． C． D． 6（2020年福建·文科5）．已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象（ ） A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱 C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于直線對稱 7．（2020年四川·文科7）．已知為上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8．（2020年北京·理科8）對于函數(shù)①，②，③，判斷如下三個命題的真假： 命題甲：是偶函

19、數(shù)； 命題乙：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； 命題丙：在上是增函數(shù)． 能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是（　?。? Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．② 答案：1.D 2.C 3. B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 分段函數(shù)和抽象函數(shù)是當(dāng)前高考考查的熱點，由于分段函數(shù)能將不同的函數(shù)揉和在一起，因此對于考查函數(shù)性質(zhì)方面可以有一定的覆蓋面，且可以考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法，因此被受關(guān)注。抽象函數(shù)由于只給出函數(shù)的某些性質(zhì)，卻不給具體解析式，因而成為函數(shù)問題中的一個難點，，但這類問題能較好地考查學(xué)生的思維能力。解決抽象函數(shù)問題，要全面應(yīng)用其所具有的性質(zhì)展開解題思路，通常的方法是賦值法，,并善于根據(jù)題目條件尋找該函數(shù)的一個原型，幫助探求結(jié)論。 復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該搞清楚有幾層復(fù)合而成，若是有兩層，明確其內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)各是什么，每一層都是以上簡單的初等函數(shù)，常用的解題方法是換元法，代入法等。 只要熟練掌握了以上十類常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)，應(yīng)對函數(shù)的綜合問題就會游刃有余。