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1、第五節(jié) 數列的綜合應用
1. 《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數列，且使最大的三份之和的是較少的兩份之和，則最小的一份的量為( )
A. B. C. D.
2. 某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個又死去1個，3小時后分裂成10個又死去1個，…，按這種規(guī)律進行下去，6小時后細胞的存活數為( )
A. 33個 B. 65個 C. 66個 D. 129個
3. 小正方形按照如圖的規(guī)律排列：
每個圖中的小正方形的個數就構成一個數列{an}
2、，有以下結論：
①a5＝15；
②數列{an}是一個等差數列；
③數列{an}是一個等比數列；
④數列的遞推公式為：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)．
其中正確的命題序號為( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①
4. (2020·黃岡中學月考)在數列{an}中，對任意n∈N*，都有＝k(k為常數)，則稱{an}為“等差比數列”．下面對“等差比數列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數列一定是等差比數列；
③等比數列一定是等差比數列；
④通項公式為an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的數列一定是等差比數列．
其中正確的判斷為(
3、 )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
5. 數列{an}的通項公式an＝，其前n項和為，則在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為( )
A. －10 B. －9 C. 10 D. 9
6. (2020·湖南雅禮中學月考)已知x＞1，y＞1，且ln x，，ln y成等比數列，則xy( )
A. 有最大值e B. 有最小值e
C. 有最大值 D. 有最小值
7. 定義運算符號“∏”這個符號表示若干個數相乘．例如：可將1×2×3×…×n，記作(n∈N*)．記作Tn＝i，其中ai為數列{an}(n∈N*)中的第i項．
(1)
4、若an＝2n－1，則T4＝________；
(2)若Tn＝n2(n∈N*)，則an＝________.
8. (教材改編題)某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半加一千元，第二名得剩下的一半加一千元，以名次類推都得到剩下的一半加一千元，到第10名恰好資金分完，求此科研單位共拿出________千元資金進行獎勵．
9. 某人按如圖所示的規(guī)則練習數數，記在數數過程中對應中指的數依次排列所構成的數列為{an}，則數到2 011時對應的指頭是________，數列{an}的通項公式an＝________.(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小
5、指)
10. 某企業(yè)投資1 000萬元在一個高科技項目，每年可獲利25%.由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經過多少年后，該項目資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(取lg 2≈0.3)
答案
8. 2 046 解析：設單位共拿出x千元資金，第1名到第10名所得資金構成數列{an}，前n項和為Sn，則a1＝＋1，an＝(x－Sn－1)＋1(n≥2)，
6、∴2an＝x－Sn－1＋2,2an＋1＝x－Sn＋2，兩式相減得2an＋1－2an＝－an，
∴2an＋1＝an.∴{an}是首項為＋1，公比為的等比數列，∴S10＝＝x，解得x＝2 046.
故單位共拿出2 046千元資金進行獎勵．
9. 中指 4n－1 解析：對應中指的數列：3,7,11,15,19，…，其通項公式an＝4n－1.而2 011＝4×503－1，故2 011對應中指．
10. 設該企業(yè)逐年的項目資金數依次為a1，a2，a3，…，an，則由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝an－200，
令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－x，由＝200，得x＝800，
∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N*)，
故{an－800}是以a1－800為首項，為公比的等比數列．
∵a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050，
∴a1－800＝250，
∴an－800＝250n－1，
∴an＝800＋250n－1(n∈N*)．
由題意an≥4 000，∴800＋250n－1≥4 000，即n≥16，
∴nlg ≥lg 16，即n(1－3lg 2)≥4lg 2，
∵lg 2≈0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12.
∴經過12年后，該項目資金可以達到或超過翻兩番的目標
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