6、為0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直線g(x)＝4(x－1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為4，數(shù)列{an}滿足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0 (n∈N*).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)設(shè)bn＝3f(an)－g(an＋1)，求數(shù)列{bn}的最值及相應的n.
題型三 數(shù)列與不等式的綜合應用
例3 已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝.
(1)求b1，b2，b3，b4；
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(3)設(shè)Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求實數(shù)a為何值時，4aS
7、n1及a<1三種情況進行分類討論，從而求得使不等式成立的a的取值范圍.
已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*，
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；
(3)令bn＝ (n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…
8、＋bn，若Sn<對一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m.
題型四 數(shù)列的實際應用
例4 某市2020年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，
(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2020年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？
(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
探究提高 解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實
9、際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過反復讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這恰好是數(shù)學實際應用的具體體現(xiàn).
從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某旅游縣區(qū)計劃投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2020年投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)有促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.
(1)設(shè)n年內(nèi)(2020年為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；
(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？
(參考數(shù)據(jù)：lg 2＝0.301 0)
15
10、.用構(gòu)造新數(shù)列的思想解題
試題：(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝，an＝－2Sn·Sn－1 (n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)求證：S＋S＋…＋S≤－.
審題視角 (1)從求證內(nèi)容來看，首先要求出Sn.(2)從Sn與Sn－1的遞推關(guān)系看，可考慮構(gòu)造新數(shù)列.(3)可考慮用放縮法證明.
規(guī)范解答
(1)解 ∵an＝－2Sn·Sn－1 (n≥2)，
∴Sn－Sn－1＝－2Sn·Sn－1.
兩邊同除以Sn·Sn－1，得－＝2 (n≥2)， [2分]
∴數(shù)列是以＝＝2為首項，以d＝2為公差的等差數(shù)列， [3分]
∴
11、＝＋(n－1)·d＝2＋2(n－1)＝2n，
∴Sn＝. [5分]
將Sn＝代入an＝－2Sn·Sn－1，
得an＝ [6分]
(2)證明 ∵S＝<＝ (n≥2)，S＝，
∴當n≥2時，S＋S＋…＋S
＝＋＋…＋
<＋＋…＋
＝－； [10分]
當n＝1時，S＝＝－.
綜上，S＋S＋…＋S≤－.[12分]
批閱筆記 (1)在數(shù)列的解題過程中，常常要構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列.構(gòu)造新數(shù)列可以使題目變得簡單，而構(gòu)造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形.
(2)本題首先要構(gòu)造新數(shù)列，其次應用放縮
12、法，并且發(fā)現(xiàn)只有應用放縮法才能用裂項相消法求和，從而把問題解決.事實上：<，也可以看成一個新構(gòu)造：bn＝.
(3)易錯分析：構(gòu)造不出新數(shù)列，從而使思維受阻.不會作不等式的放縮.
方法與技巧
1.深刻理解等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導過程是解題的關(guān)鍵.兩類數(shù)列性質(zhì)既有相似之處，又有區(qū)別，要在應用中加強記憶.同時，用好性質(zhì)也會降低解題的運算量，從而減少差錯.
2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程組時，仔細體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處.
3.數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.
13、解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)換”等.
4.在現(xiàn)實生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型，并用它解決實際問題.
失誤與防范
1.等比數(shù)列的前n項和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習.
2.數(shù)列的應用還包括實際問題，要學會建模，對應哪一類數(shù)列，進而求解.
專題四 數(shù)列的綜合應用
(時間：60分鐘)
14、A組 專項基礎(chǔ)訓練題組
一、選擇題
1.(2020·安徽)若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于( )
A.15 B.12 C.－12 D.－15
2.(2020·福建)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列 (n∈N*)的前n項和是( )
A. B.
C.
15、D.
二、填空題
4.(2020·江蘇)設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________.
5.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，則該數(shù)列前26項的和為_____________.
6.在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，若Sn取得最大值，則n＝________.
三、解答題
7.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若
16、bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小正整數(shù)n的值.
8.某人有人民幣1萬元，若存入銀行，年利率為6%；若購買某種股票，年分紅利為24%，每年儲蓄的利息和買股票所分的紅利都存入銀行.
(1)問買股票多少年后，所得紅利才能和原來的投資款相等？
(2)經(jīng)過多少年，買股票所得的紅利與儲蓄所擁有的人民幣相等？(精確到整年)
(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.06≈0.025 3)
B組 專項能力提升題組
一、選擇題
1.{an}是等差數(shù)列，a2＝8，S10＝185，從{an}中依次取出第3項，第
17、9項，第27項，…，第3n項，按原來的順序排成一個新數(shù)列{bn}，則bn等于 ( )
A.3n＋1＋2 B.3n＋1－2
C.3n＋2 D.3n－2
2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝log2 (n∈N*)，設(shè)其前n項和為Sn，則使Sn<－5成立的自然數(shù)n ( )
A.有最小值63 B.有最大值63
C.有最小值31 D.有最大值31
3.已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝4 (n∈N*)且a1＝9，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<的最小正整數(shù)n是
18、 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空題
4.(2020·陜西)植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為________米.
5.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
………………
按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為__________.
6.對正整數(shù)n，若曲線y＝xn (1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數(shù)列
19、的前n項和為____________.
三、解答題
7.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an－.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝nan·2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
8.已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝ (n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有Sn>總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.
答案
題型分類·深度剖析
例1 (1)證明 ∵bn＝log2an，
20、∴bn＋1－bn＝log2＝log2q為常數(shù)，
∴數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且公差d＝log2q.
(2)Sn＝ an＝25－n (n∈N*)
(3)解 顯然an＝25－n>0，
當n≥9時，Sn＝≤0，
∴n≥9時，an>Sn.
∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，
∴當n＝3,4,5,6,7,8時，anSn.
變式訓練1 (1)證明 由題設(shè)an＋1＝(1＋q)an－qan－1 (n≥2)，
得an＋1－an
21、＝q(an－an－1)，
即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，
所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.
(2)an＝
(3)解 由(2)，當q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.
由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，
由q≠0得q3－1＝1－q6， ①
整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去).于是q＝－.
另一方面，
an－an＋3＝＝(q3－1)，
an＋6－an＝＝(1－q6).
由①可得an－an＋3＝an＋6－an，
即2an＝an＋3＋an＋6，n∈N
22、*.
所以對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項.
例2 解 (1)由已知得log22an－＝2n，∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0.
∴an＝n±.
∵0an，
∴{an}是遞增數(shù)列.
變式訓練2 (1)f(x)＝(x－1)2
(2)an＝n－1＋1
(3)解 bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)，令bn＝y(tǒng)，u＝n－1，
則y＝3
＝32－.
∵n∈N*，∴u的值分別為1，，，，…，經(jīng)比較距最近，
∴當n＝3時，bn有最小值是－
23、，
當n＝1時，bn有最大值是0.
例3 (1)b1＝，b2＝，b3＝，b4＝
(2)bn＝
(3)解 an＝1－bn＝，
∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝－＝.
∴4aSn－bn＝－
＝.
由條件可知(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0在[1，＋∞)上恒成立即可滿足條件.
設(shè)f(x)＝(a－1)x2＋3(a－2)x－8，
則a＝1時，f(x)＝－3x－8<0，恒成立；
a>1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立；
a<1時，對稱軸x＝－·
＝－<0.
f(x)在[1，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù).
f(1)＝(a－1)＋(3a－
24、6)－8＝4a－15<0.
∴a<，∴a<1時，4aSn
25、列，其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400×(1.08)n－1.
由題意可知an>0.85bn，
有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.當n＝5時，a5<0.85b5，當n＝6時，a6>0.85b6，
∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.
∴到2020年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.
變式訓練4 (1)an＝4 000×
，bn＝1 600×
(2)解 設(shè)經(jīng)過n年，旅游業(yè)的總收入超過總投入，由此bn－an>0，
即1 600×－4 000×>0，
令x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0，
解此不等式
26、，得x<，或x>1(舍去)，
即n<，由此得n≥5.
答 至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.
課時規(guī)范訓練
A組
1.A 2.A 3.A 4. 5.－10 6.9
7.解 (1)設(shè)此等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0.
由題意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28， ①
a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2). ②
②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
∵等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴a1＝2，q＝2，
∴an＝2n.
(2)由
27、(1)得bn＝－n·2n，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n).
設(shè)Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， ③
則2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1. ④
由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
∴－Tn＝－(n－1)·2n＋1－2.
∴Sn＝－(n－1)·2n＋1－2.
要使Sn＋n·2n＋1>50成立，
即－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1>50，
即2n>26.
∵24＝16<26,25＝32>2
28、6，且y＝2x是單調(diào)遞增函數(shù)，∴滿足條件的n的最小值為5.
8.解 設(shè)該人將1萬元購買股票，x年后所得的總紅利為y萬元，則
y＝24%＋24%(1＋6%)＋24%(1＋6%)2＋…＋24%(1＋6%)x－1
＝24%(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06x－1)
＝4(1.06x－1).
(1)由題意，得4(1.06x－1)＝1，
∴1.06x＝.兩邊取常用對數(shù)，得
xlg 1.06＝lg ＝lg 5－lg 4＝1－3lg 2.
∴x＝≈≈4.
(2)由題意，得4(1.06x－1)＝(1＋6%)x，
∴1.06x＝.解得x≈5.
答 (1)買股票4年后所得的紅利才能和原
29、來的投資款相等；
(2)經(jīng)過大約5年，買股票所得的紅利與儲蓄所擁有的人民幣相等.
B組
1.A 2.A 3.C 4.2 000
5. 6.2n＋1－2
7.(1)an＝，n∈N* (2)Sn＝n·2n＋1
8.解 (1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.
∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍).
∴an＝2n－1 (n∈N*).
(2)bn＝＝
＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[＋＋]
＝＝.
假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn>總成立，
又Sn＋1－Sn＝－
＝>0，
∴數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的.
∴S1＝為Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴適合條件的t的最大值為8.
福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列的綜合應用教案 文
