高中數(shù)學(xué) 2、1-3-1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)同步檢測(cè) 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 一、選擇題 1.設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是(  ) A.b2-4ac>0       B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0 [答案] D [解析] ∵a>0,f(x)為增函數(shù), ∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立, ∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.(2020·廣東文,8)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,

2、4) D.(2,+∞) [答案] D [解析] 考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令f′(x)>0,解得x>2,故選D. 3.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率k=(x0-2)(x0+1)2,則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(  ) A.[-1,+∞) B.(-∞,2] C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞) [答案] B [解析] 令k≤0得x0≤2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,2]. 4.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如圖(1)

3、所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中,y=f(x)的圖象大致是(  ) [答案] C [解析] 當(dāng)01時(shí)xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),因此否定A、B、D故選C. 5.函數(shù)y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的單調(diào)增區(qū)間是(  ) A.和 B.和 C.和 D.和 [答案] A [解析] y′=xcosx,當(dāng)-π0, 當(dāng)00,∴y

4、′=xcosx>0. 6.下列命題成立的是(  ) A.若f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù),則對(duì)任何x∈(a,b),都有f′(x)>0 B.若在(a,b)內(nèi)對(duì)任何x都有f′(x)>0,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù) C.若f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則f′(x)必存在 D.若f′(x)在(a,b)上都存在,則f(x)必為單調(diào)函數(shù) [答案] B [解析] 若f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù),則f′(x)≥0,故A錯(cuò);f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f′(x)是否存在無(wú)必然聯(lián)系,故C錯(cuò);f(x)=2在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=0存在,但f(x)無(wú)單調(diào)性,故D錯(cuò). 7.(

5、2020·福建理,11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí)(  ) A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 [答案] B [解析] f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同(反),∴x<0時(shí),f′(x)>0,g′(x)<0. 8.f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0,對(duì)任意正數(shù)a、b,若a

6、(  ) A.a(chǎn)f(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a) C.a(chǎn)f(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b) [答案] C [解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且x>0,f(x)≥0, ∴f′(x)≤-,即f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù), 又0<a<b,∴af(b)≤bf(a). 9.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有(  ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) [答案] C [解

7、析] 由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,1]上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù), 故f(0)+f(2)≥2f(1).故應(yīng)選C. 10.(2020·江西理,12)如圖,一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面,記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0),則導(dǎo)函數(shù)y=S′(t)的圖像大致為 (  ) [答案] A [解析] 由圖象知,五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減,其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù),故選A. 二、填空題 11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是單調(diào)增函數(shù),則b的范圍為_(kāi)__

8、_____. [答案] b<-1或b>2 [解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,則Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2, 由題意b<-1或b>2. 12.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. [答案] a≥1 [解析] 由已知a>在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立. 設(shè)g(x)=,則g′(x)=-<0 (x>1), ∴g(x)=在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減, ∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴<1在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立, ∴a≥1. 13.函數(shù)y=ln(x2-x-2)的

9、單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函數(shù)y=ln(x2-x-2)的定義域?yàn)?2,+∞)∪(-∞,-1), 令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<, ∴函數(shù)y=ln(x2-x-2)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1). 14.若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由題意知3x2-2ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立, 即a>x在區(qū)間(0,2)上恒成立,∴a≥3. 三、解答題 15.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3

10、bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11). (1)求a、b的值; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. [解析] (1)求導(dǎo)得f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于f(x)的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12, 即, 解得a=1,b=-3. (2)由a=1,b=-3得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1

11、f(x)也是增函數(shù); 當(dāng)x∈(-1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù). 16.求證:方程x-sinx=0只有一個(gè)根x=0. [證明] 設(shè)f(x)=x-sinx,x∈(-∞,+∞), 則f′(x)=1-cosx>0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). 而當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0, ∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0. 17.已知函數(shù)y=ax與y=-在(0,+∞)上都是減函數(shù),試確定函數(shù)y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間. [分析] 可先由函數(shù)y=ax與y=-的單調(diào)性確定a、b的取值范圍,再根據(jù)a、b的取值范圍去確定y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間. [解析] ∵函數(shù)y=

12、ax與y=-在(0,+∞)上都是減函數(shù),∴a<0,b<0. 由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx. 令y′>0,得3ax2+2bx>0,∴-<x<0. ∴當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)為增函數(shù). 令y′<0,即3ax2+2bx<0, ∴x<-,或x>0. ∴在,(0,+∞)上時(shí),函數(shù)為減函數(shù). 18.(2020·新課標(biāo)全國(guó)文,21)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2. (1)若a=,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍. [解析] (1)a=時(shí),f(x)=x(ex-1)-x2, f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

13、 當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0. 故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a. 若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0,即f(x)≥0. 當(dāng)a>1,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x∈(0,lna)時(shí)g(x)<0,即f(x)<0. 綜合得a的取值范圍為(-∞,1].

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