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1、第三章綜合素質(zhì)檢測
時間120分鐘,滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.(2020·安徽文,2)已知i2=-1,則i(1-i)=( )
A.-i B.+i
C.--i D.-+i
[答案] B
[解析] 該題考查復數(shù)的四則運算
i(1-i)=-i2+i=+i,故選B.
2.復數(shù)z=+1在復平面內(nèi)所對應的點在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] A
[解析] z=+1=1+i,故復數(shù)z所對應的點為
2、(1,1),在第一象限.
3.復數(shù)10的值是( )
A.-1 B.1
C.-32 D.32
[答案] A
[解析] 本題主要考查復數(shù)的基本運算,=-i,(-i)10=-1,故選A.
4.若z1=(x-2)+yi與z2=3x+i(x、y∈R)互為共軛復數(shù),則z1對應的點在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] C
[解析] 由已知得∴
∴z1=-3-i,故選C.
5.對于復平面,下列命題中真命題的是( )
A.虛數(shù)集和各個象限內(nèi)的點的集合是一一對應的
B.實、虛部都是負數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限
3、的點的集合是一一對應的
C.實部是負數(shù)的復數(shù)的集合與第二、三象限的點的集合是一一對應的
D.實軸上側(cè)的點的集合與虛部為正數(shù)的復數(shù)的集合是一一對應的
[答案] D
[解析] 復數(shù)的幾何意義是平面內(nèi)的點與復數(shù)建立一一對應關(guān)系,其中實數(shù)對(a,b)對應復數(shù)的實部與虛部.
6.設(shè)復數(shù)z滿足z+||=2+i,那么z等于( )
A.-+i B.-i
C.--i D.+i
[答案] D
[解析] 方法一:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),
則x+yi+|x-yi|=2+i,
即x++yi=2+i,
∴
把y=1代入x+=2中,
得+x=2,
∴x=,∴z=+i
4、.
方法二:代入法驗證答案易得.
7.復數(shù)z滿足方程|z+|=4,那么復數(shù)z的對應點P組成的圖形為( )
A.以(1,-1)為圓心,4為半徑的圓
B.以(1,-1)為圓心,2為半徑的圓
C.以(-1,1)為圓心,4為半徑的圓
D.以(-1,1)為圓心,2為半徑的圓
[答案] C
[解析] |z+|=|z+(1-i)|
=|z-(-1+i)|=4,
設(shè)-1+i的對應點為C(-1,1),
則|PC|=4,因此動點P的軌跡是以C(-1,1)為圓心,4為半徑的圓.
8.若x是純虛數(shù),y是實數(shù),且2x-1+i=y(tǒng)-(3-y)i,則x+y等于( )
A.1+i B.
5、-1+i
C.1-i D.-1-i
[答案] D
[解析] 設(shè)x=it(t∈R且t≠0),
于是2ti-1+i=y(tǒng)-(3-y)i,
∴-1+(2t+1)i=y(tǒng)-(3-y)i,
∴∴
∴x+y=-1-i.
9.已知復數(shù)(x-2)+yi(x,y∈R)在復平面內(nèi)對應的向量的模為,則的最大值是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 因為|(x-2)+yi|=,所以(x-2)2+y2=3,所以點(x,y)在以C(2,0)為圓心,以為半徑的圓上,如圖,由平面幾何知識知-≤≤.
10.設(shè)復數(shù)z為虛數(shù),條件甲:z+是實數(shù),條件乙
6、:|z|=1,則( )
A.甲是乙的必要非充分條件
B.甲是乙的充分非必要條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的必要條件,也不是乙的充分條件
[答案] C
[解析] 本題考查復數(shù)的運算和充要條件的判斷.設(shè)z=a+bi(b≠0且a,b∈R),則z+=a+bi+=+i.因為z+為實數(shù),所以b=.因為b≠0,所以a2+b2=1,所以|z|=1.而當|z|=1,a2+b2=1,條件甲顯然成立.
11.如果復數(shù)z滿足條件|2z+1|=|z-i|,那么在復平面內(nèi)z對應的點的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
[答案] A
[解析]
7、設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|(2a+1)+2bi|=|a+(b-1)i|,所以(2a+1)2+4b2=a2+(b-1)2,化簡,得3a2+3b2+4a+2b=0,此為圓的方程.
12.設(shè)z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,則以下結(jié)論正確的是( )
A.z對應的點在第一象限
B.z一定不為純虛數(shù)
C.對應的點在實軸的下方
D.z一定為實數(shù)
[答案] C
[解析] ∵t2+2t+2=(t+1)2+1>0,
∴z對應的點在實軸的上方.
又∵z與對應的點關(guān)于實軸對稱.
∴C項正確.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題4分,共16分,將正確答案填在題中
8、橫線上)
13.(2020·上海文,4)若復數(shù)z=1-2i(i為虛數(shù)單位),則z·+z=________.
[答案] 6-2i
[解析] 本題考查了復數(shù)的基本運算.
∵z·=|z|2=5,∴原式=5+(1-2i)=6-2i.
14.已知復數(shù)z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,則復數(shù)z1·z2的實部是__________
[答案] cos(α+β)
[解析] z1·z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)
cosαcosβ-sinαsinβ+(cosαsinβ+sinαcosβ)i
=cos(α+β)+sin(α+β)i
故z1·z2的實部為
9、cos(α+β).
15.實數(shù)m滿足等式|log3m+4i|=5,則m=________.
[答案] 27或
[解析] 本題考查有關(guān)復數(shù)模的運算.由|log3m+4i|=5,得(log3m)2+16=25,(log3m)2=9,所以log3m=±3,m=27或m=.
16.設(shè)θ∈[0,2π],當θ=________時,z=1+sinθ+i(cosθ-sinθ)是實數(shù).
[答案] 或π
[解析] 本題主要考查復數(shù)的概念.z為實數(shù),則cosθ=sinθ,即tanθ=1.因為θ∈[0,2π],所以θ=或π.
三、解答題(本大題共6個小題,共74分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
10、)
17.(本題滿分12分)已知復數(shù)z滿足z-i()=1-,求z.
[解析] 將方程兩邊化成a+bi的形式,根據(jù)復數(shù)相等的充要條件來解.
設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則
x2+y2-i[]=1-(),
即x2+y2-3y-3xi=1+3i,
由復數(shù)相等得
解得或
∴z=-1或z=-1+3i.
18.(本題滿分12分)已知復數(shù)x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R)是復數(shù)4-20i的共軛復數(shù),求實數(shù)x的值.
[解析] 因為復數(shù)4-20i的共軛復數(shù)為4+20i,由題意得
x2+x-2+(x2-3x+2)i=4+20i,
根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,得
方程①的解為x
11、=-3或x=2.
方程②的解為x=-3或x=6.
所以實數(shù)x的值為-3.
[點評] 本題主要考查共軛復數(shù)的概念和復數(shù)相等的充要條件.
19.(本題滿分12分)已知z=1+i,
(1)求w=z2+3-4
(2)如果=1-i,求實數(shù)a、b.
[解析] (1)w=-1-i
(2)=
=
=(a+2)-(a+b)i
∴(a+2)-(a+b)i=1-i
∴a=-1 b=2
20.(本題滿分12分)設(shè)a、b為共軛復數(shù),且(a+b)2-3abi=4-6i,求a和b.
[解析] ∵a、b為共軛復數(shù),∴設(shè)a=x+yi(x,y∈R)
則b=x-yi,
由(a+b)2-3abi=4-
12、6i,得
(2x)2-3(x2+y2)i=4-6i,
即
∴ ∴
∴a=1+i,b=1-i;a=-1+i,b=-1-i;
a=1-i,b=1+i;a=-1-i,b=-1+i.
21.(本題滿分12分)證明:在復數(shù)范圍內(nèi),方程|z|2+(1-i)-(1+i)z=無解.
[證明] 原方程可化簡為|z|2+(1-i)-(1+i)z=1-3i.
設(shè)z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程,整理得
x2+y2-2xi-2yi=1-3i,根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,
得
將②代入①,消去y整理,得8x2-12x+5=0.
因為Δ=-16<0,所以上述方程無實數(shù)解.
所以原方程在復數(shù)范
13、圍內(nèi)無解.
[點評] 本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算,解決本題的關(guān)鍵是將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解.
22.(本題滿分14分)復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最大值與最小值.
[解析] 在復平面內(nèi),|z+i|+|z-i|=2表示復數(shù)z對應的點Z到點A(0,-1),B(0,1)的距離之和為2,而|AB|=2,所以點Z的軌跡為以A,B為端點的線段(包括兩端點).而|z+1+i|=|z-(-1-i)|表示點Z到點C(-1,-1)的距離,因而,問題的幾何意義是求線段AB上的點到點C的距離的最大值與最小值,如右圖.
易知|z+1+i|max=|BC|=,
|z+1+i|min=|AC|=1.
[點評] 本題主要考查復數(shù)|z-z1|的幾何意義,即|z-z1|表示復數(shù)z與z1對應的兩點之間的距離.利用數(shù)形結(jié)合法是求解本題的關(guān)鍵.