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1、第三章綜合素質檢測
時間120分鐘，滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2020·安徽文，2)已知i2＝－1，則i(1－i)＝( )
A.－i B.＋i
C．－－i D．－＋i
[答案] B
[解析] 該題考查復數的四則運算
i(1－i)＝－i2＋i＝＋i，故選B.
2．復數z＝＋1在復平面內所對應的點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＋1＝1＋i，故復數z所對應的點為
2、(1,1)，在第一象限．
3．復數10的值是( )
A．－1 B．1
C．－32 D．32
[答案] A
[解析] 本題主要考查復數的基本運算，＝－i，(－i)10＝－1，故選A.
4．若z1＝(x－2)＋yi與z2＝3x＋i(x、y∈R)互為共軛復數，則z1對應的點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由已知得∴
∴z1＝－3－i，故選C.
5．對于復平面，下列命題中真命題的是( )
A．虛數集和各個象限內的點的集合是一一對應的
B．實、虛部都是負數的虛數的集合與第二象限
3、的點的集合是一一對應的
C．實部是負數的復數的集合與第二、三象限的點的集合是一一對應的
D．實軸上側的點的集合與虛部為正數的復數的集合是一一對應的
[答案] D
[解析] 復數的幾何意義是平面內的點與復數建立一一對應關系，其中實數對(a，b)對應復數的實部與虛部．
6．設復數z滿足z＋||＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
[答案] D
[解析] 方法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)，
則x＋yi＋|x－yi|＝2＋i，
即x＋＋yi＝2＋i，
∴
把y＝1代入x＋＝2中，
得＋x＝2，
∴x＝，∴z＝＋i
4、.
方法二：代入法驗證答案易得．
7．復數z滿足方程|z＋|＝4，那么復數z的對應點P組成的圖形為( )
A．以(1，－1)為圓心，4為半徑的圓
B．以(1，－1)為圓心，2為半徑的圓
C．以(－1,1)為圓心，4為半徑的圓
D．以(－1,1)為圓心，2為半徑的圓
[答案] C
[解析] |z＋|＝|z＋(1－i)|
＝|z－(－1＋i)|＝4，
設－1＋i的對應點為C(－1,1)，
則|PC|＝4，因此動點P的軌跡是以C(－1,1)為圓心，4為半徑的圓．
8．若x是純虛數，y是實數，且2x－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，則x＋y等于( )
A．1＋i B．
5、－1＋i
C．1－i D．－1－i
[答案] D
[解析] 設x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y(tǒng)－(3－y)i，
∴∴
∴x＋y＝－1－i.
9．已知復數(x－2)＋yi(x，y∈R)在復平面內對應的向量的模為，則的最大值是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 因為|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以點(x，y)在以C(2,0)為圓心，以為半徑的圓上，如圖，由平面幾何知識知－≤≤.
10．設復數z為虛數，條件甲：z＋是實數，條件乙
6、：|z|＝1，則( )
A．甲是乙的必要非充分條件
B．甲是乙的充分非必要條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件
[答案] C
[解析] 本題考查復數的運算和充要條件的判斷．設z＝a＋bi(b≠0且a，b∈R)，則z＋＝a＋bi＋＝＋i.因為z＋為實數，所以b＝.因為b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝1.而當|z|＝1，a2＋b2＝1，條件甲顯然成立．
11．如果復數z滿足條件|2z＋1|＝|z－i|，那么在復平面內z對應的點的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
[答案] A
[解析]
7、設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化簡，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此為圓的方程．
12．設z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結論正確的是( )
A．z對應的點在第一象限
B．z一定不為純虛數
C.對應的點在實軸的下方
D．z一定為實數
[答案] C
[解析] ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z對應的點在實軸的上方．
又∵z與對應的點關于實軸對稱．
∴C項正確．
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中
8、橫線上)
13．(2020·上海文，4)若復數z＝1－2i(i為虛數單位)，則z·＋z＝________.
[答案] 6－2i
[解析] 本題考查了復數的基本運算．
∵z·＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.
14．已知復數z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，則復數z1·z2的實部是__________
[答案] cos(α＋β)
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i
故z1·z2的實部為
9、cos(α＋β)．
15．實數m滿足等式|log3m＋4i|＝5，則m＝________.
[答案] 27或
[解析] 本題考查有關復數模的運算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝.
16．設θ∈[0,2π]，當θ＝________時，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是實數．
[答案] 或π
[解析] 本題主要考查復數的概念．z為實數，則cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因為θ∈[0,2π]，所以θ＝或π.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
10、)
17．(本題滿分12分)已知復數z滿足z－i()＝1－，求z.
[解析] 將方程兩邊化成a＋bi的形式，根據復數相等的充要條件來解．
設z＝x＋yi(x，y∈R)，則
x2＋y2－i[]＝1－()，
即x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，
由復數相等得
解得或
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
18．(本題滿分12分)已知復數x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是復數4－20i的共軛復數，求實數x的值．
[解析] 因為復數4－20i的共軛復數為4＋20i，由題意得
x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
根據復數相等的充要條件，得
方程①的解為x
11、＝－3或x＝2.
方程②的解為x＝－3或x＝6.
所以實數x的值為－3.
[點評] 本題主要考查共軛復數的概念和復數相等的充要條件．
19．(本題滿分12分)已知z＝1＋i，
(1)求w＝z2＋3－4
(2)如果＝1－i，求實數a、b.
[解析] (1)w＝－1－i
(2)＝
＝
＝(a＋2)－(a＋b)i
∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i
∴a＝－1 b＝2
20．(本題滿分12分)設a、b為共軛復數，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.
[解析] ∵a、b為共軛復數，∴設a＝x＋yi(x，y∈R)
則b＝x－yi，
由(a＋b)2－3abi＝4－
12、6i，得
(2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i，
即
∴ ∴
∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
21．(本題滿分12分)證明：在復數范圍內，方程|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝無解．
[證明] 原方程可化簡為|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝1－3i.
設z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程，整理得
x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i，根據復數相等的充要條件，
得
將②代入①，消去y整理，得8x2－12x＋5＝0.
因為Δ＝－16<0，所以上述方程無實數解．
所以原方程在復數范
13、圍內無解．
[點評] 本題主要考查復數代數形式的運算，解決本題的關鍵是將復數問題轉化為實數問題來求解．
22．(本題滿分14分)復數z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的最大值與最小值．
[解析] 在復平面內，|z＋i|＋|z－i|＝2表示復數z對應的點Z到點A(0，－1)，B(0,1)的距離之和為2，而|AB|＝2，所以點Z的軌跡為以A，B為端點的線段(包括兩端點)．而|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|表示點Z到點C(－1，－1)的距離，因而，問題的幾何意義是求線段AB上的點到點C的距離的最大值與最小值，如右圖．
易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝，
|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.
[點評] 本題主要考查復數|z－z1|的幾何意義，即|z－z1|表示復數z與z1對應的兩點之間的距離．利用數形結合法是求解本題的關鍵．
高中數學 第3章綜合素質檢測 新人教A版選修1-2
