高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第3節(jié) 指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)

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1、§3 指數(shù)函數(shù) 1.理解指數(shù)函數(shù)的概念. 2.掌握指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì). 3.利用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決簡單問題. 1.指數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)叫作指數(shù)函數(shù),其中____是自變量. 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)解析式的結(jié)構(gòu)特征: ①底數(shù):大于零且不等于1的常數(shù); ②指數(shù):自變量x; ③系數(shù):1. 指數(shù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)的三個特征是判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的三個標(biāo)準(zhǔn),缺一不可. 【做一做1】 下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是( ). A.y=(-3)x B

2、.y=-3x C.y=32x D.y=2x+1 2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 結(jié)合函數(shù)y=2x和y=x的圖像和性質(zhì),得出指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),如下表所示: a>1 0<a<1 圖像 性質(zhì) (1)定義域:___________ (1)定義域:___________ (2)值域:________________ (2)值域:___________ (3)過定點________________, 即x=0時,y=1 (3)過定點___________, 即x=0時,y=1 (4)當(dāng)x>0時

3、,y>1; 當(dāng)x<0時,0<y<1 (4)當(dāng)x>0時,0<y<1; 當(dāng)x<0時,y>1 (5)是R上的______ (5)是R上的______ 【做一做2-1】 函數(shù)y=15x的大致圖像是( ). 【做一做2-2】 函數(shù)y=x的定義域和值域分別是( ). A.R,R B.(0,+∞),(0,+∞) C.(0,+∞),R D.R,(0,+∞) 3.指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 指數(shù)函數(shù)反映了實數(shù)與正實數(shù)之間的一種__________關(guān)系. 指數(shù)冪ax和1

4、的比較: 當(dāng)x<0,0<a<1或x>0,a>1時,ax>1,即指數(shù)x和0比較,底數(shù)a和1比較,當(dāng)不等號的方向相同時,ax大于1,簡稱為“同大”. 當(dāng)x<0,a>1或x>0,0<a<1時,0<ax<1,即指數(shù)x和0比較,底數(shù)a和1比較,當(dāng)不等號的方向相反(異)時,ax小于1,簡稱為“異小”. 因此簡稱為“同大異小”. 【做一做3】 比較下列各題中兩個值的大?。? (1)1.82.2__________1.83; (2)0.7-0.3__________0.7-0.4; (3)1.90.4__________0.92.4. 答案:1.x 【做一做1】 C ∵32

5、x=9x,∴y=32x=9x是指數(shù)函數(shù). 2.(1)R (1)R (2)(0,+∞) (2)(0,+∞) (3)(0,1) (3)(0,1) (5)增函數(shù) (5)減函數(shù) 【做一做2-1】 B 【做一做2-2】 D 3.一一對應(yīng) 【做一做3】 (1)< (2)< (3)> 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)中底數(shù)a對函數(shù)圖像有什么影響? 剖析:設(shè)a>b>1>c>d>0,則y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖像如圖所示,從圖中可以看出:在y軸右側(cè),圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小,在y軸左側(cè),圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小,即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè),底數(shù)按逆時針方向變大.

6、 或者說在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)的圖像,底數(shù)大的在上邊,也可以說底數(shù)越大越靠近y軸. 題型一 指數(shù)函數(shù)的定義 【例1】 指出下列函數(shù)中哪些是指數(shù)函數(shù). ①y=6x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=2·8x;⑥y=ex;⑦y=4x2;⑧y=(2a-1)x. 分析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷. 題型二 求函數(shù)的定義域和值域 【例2】 求下列函數(shù)的定義域和值域: (1)y=; (2)y=; (3)y=. 分析:函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,分式問題要使分母不為0,根式問題要使被開方數(shù)有意義,結(jié)合換元法,聯(lián)想函數(shù)的圖像,根據(jù)單調(diào)性等確定值域.

7、 反思:求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域和值域時,要充分考慮指數(shù)函數(shù)本身的要求,并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.對于解析式中某些較復(fù)雜的式子,往往采用換元法求解,這樣可以使問題變得簡潔,避免出錯. 題型三 比較大小 【例3】 比較下列各題中兩個值的大?。? (1)1.72.5,1.73; (2)2.3-0.28,0.67-3.1. 分析:(1)構(gòu)造指數(shù)函數(shù),利用其單調(diào)性比較大小;(2)利用中間量1比較大小. 反思:比較指數(shù)式大小的方法: (1)單調(diào)性法:比較同底數(shù)冪的大小,可構(gòu)造指數(shù)函數(shù),利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。⒁猓好鞔_所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值;明確指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1

8、的大小關(guān)系;最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來判斷. (2)中間量法:比較不同底且不同指數(shù)冪的大小,常借助于中間值1進(jìn)行比較.利用口訣“同大異小”,判斷指數(shù)冪和1的大小. 題型四 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 【例4】 設(shè)a為實數(shù),f(x)=a-(x∈R). (1)證明f(x)在R上為增函數(shù); (2)試確定a的值,使f(x)為奇函數(shù). 分析:對于(1)可結(jié)合單調(diào)性的定義及y=2x為增函數(shù)加以證明.(2)中要使f(x)是奇函數(shù),則須滿足f(-x)=-f(x). 反思:本題主要考查了單調(diào)性和奇偶性的概念及使用方法.在本題(2)中,由于f(x)為奇函數(shù)且在x=0處有定義,故也可利用f(0)=0來

9、確定a的值. 題型五 與指數(shù)函數(shù)圖像有關(guān)的問題 【例5】 (1)將函數(shù)y=3x的圖像向左平移一個單位即可得到函數(shù)________的圖像,將y=3x的圖像向下平移一個單位即可得到函數(shù)________的圖像; (2)函數(shù)y=3x的圖像與y=3-x的圖像關(guān)于________對稱; (3)函數(shù)y=3x的圖像與y=-3x的圖像關(guān)于________對稱; (4)函數(shù)y=3x的圖像與函數(shù)y=-3-x的圖像關(guān)于________對稱. 反思:1.平移規(guī)律 分左、右平移和上、下平移兩種,遵循“左加右減,上加下減”. 若已知y=ax的圖像,把y=ax的圖像向左平移b(b>0)個單位,則得到y(tǒng)=ax+

10、b的圖像;把y=ax的圖像向右平移b(b>0)個單位,則得到y(tǒng)=ax-b的圖像;把y=ax的圖像向上平移b(b>0)個單位,則得到y(tǒng)=ax+b的圖像,向下平移b(b>0)個單位,則得到y(tǒng)=ax-b的圖像. 2.對稱規(guī)律 函數(shù)y=ax的圖像與y=a-x的圖像關(guān)于y軸對稱;y=ax的圖像與y=-ax的圖像關(guān)于x軸對稱,函數(shù)y=ax的圖像與y=-a-x的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱. 題型六 易錯辨析 易錯點 利用換元法時,忽略新元的范圍導(dǎo)致出錯. 【例6】 求函數(shù)y=x+x+1的值域. 錯解:令t=x,則原函數(shù)可化為y=t2+t+1=2+≥,即當(dāng)t=-時,ymin=,即原函數(shù)的值域是. 錯因

11、分析:錯解在令t=x后,沒有注意新元t的范圍.∵x>0,∴t>0.忽略新元的范圍導(dǎo)致所求范圍擴大. 答案:【例1】 解:①⑥⑧為指數(shù)函數(shù);②不是指數(shù)函數(shù),自變量不在指數(shù)上;③4x的系數(shù)是-1;④中底數(shù)-4<0,所以不是指數(shù)函數(shù);⑤8x的系數(shù)是2;⑦中指數(shù)不是自變量x,而是x的函數(shù)x2,故②③④⑤⑦都不是指數(shù)函數(shù). 【例2】 解:(1)要使函數(shù)有意義,必須x-4≠0, ∴x≠4, 故所求函數(shù)的定義域為{x∈R|x≠4}. ∵x≠4,≠0,∴≠1, 故函數(shù)的值域為{y|y>0且y≠1}. (2)定義域為R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ∴≥1=, 故函數(shù)

12、y=的值域為{y|y≥}. (3)要使函數(shù)有意義,必須且只需3x-2≥0,即x≥, ∴函數(shù)的定義域為. 設(shè)t=,則t≥0,y=5t, ∴y≥50=1,故所求函數(shù)的值域為[1,+∞). 【例3】 解:(1)(單調(diào)性法)由于1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7, 故構(gòu)造函數(shù)y=1.7x, 則函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù). 又2.5<3,所以1.72.5<1.73. (2)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知 2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1, 所以2.3-0.28<0.67-3.1. 【例4】 解:(1)證明:設(shè)x1,x2∈R,x1<x2,則

13、 f(x1)-f(x2)=-=. 由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上為增函數(shù),且x1<x2, 所以2x1<2 x2,即2 x1-2 x2<0. 又由2x>0,得2 x1+1>0,2 x2+1>0. 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 故f(x)在R上為增函數(shù). (2)若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x), 即a-=-. 變形得2a=+=+==2. 解得a=1.所以當(dāng)a=1時,f(x)為奇函數(shù). 【例5】 (1)y=3x+1 y=3x-1 (2)y軸 (3)x軸 (4)原點 (1)根據(jù)函數(shù)圖像平移的規(guī)律來解決. (2)∵函數(shù)y=3x中用-x代x,y

14、不變,即得y=3-x, ∴關(guān)于y軸對稱; (3)∵函數(shù)y=3x中用-y代y,x不變,即得y=-3x, ∴關(guān)于x軸對稱. (4)∵函數(shù)y=3x中用-x代x,用-y代y,即得y=-3-x,∴關(guān)于原點對稱. 【例6】 正解:令t=x,則t∈(0,+∞),原函數(shù)可化為y=t2+t+1=2+. 因為函數(shù)y=2+在(0,+∞)上是增加的,所以y>1,即原函數(shù)的值域是(1,+∞). 1 函數(shù)f(x)=ax在R上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( ). A.0<a<1 B.a(chǎn)<1 C.a(chǎn)>1 D.R 2 函數(shù)y=0.22x的

15、大致圖像是( ). 3 函數(shù)y=的值域是( ). A.(-∞,0) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(-∞,1] 4 函數(shù)f(x)=a3-x+1(a>0,a≠1)的圖像恒過定點的坐標(biāo)是__________. 5 比較下列各題中兩個值的大?。? (1)0.8-0.1,0.8-0.2; (2)1.70.3,0.93.1; (3)a1.3,a2.5(a>0,a≠1). 答案:1.C 2.B 3.B 4.(3,2) 當(dāng)x=3時,對于a>0且a≠1總有f(3)=a0+1=2,即過定點(3,2). 5.分析:(1)由于底數(shù)相同,利用單調(diào)性法比較大小;(2)由于底數(shù)和指數(shù)均不同,用中間量法比較大小;(3)對底數(shù)a按與1的大小關(guān)系分類討論. 解:(1)由于0<0.8<1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x在R上為減函數(shù). 所以0.8-0.1<0.8-0.2. (2)1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1. (3)當(dāng)a>1時,函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù),此時a1.3<a2.5; 當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù),此時a1.3>a2.5. 即當(dāng)a>1時,a1.3<a2.5; 當(dāng)0<a<1時,a1.3>a2.5.

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