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1、離散型隨機變量及其分布列練習(xí)
1、一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得分)。設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立。
(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為,求的分布列;
(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?
(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了。請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因。
2、若隨機變量η的分布列如下:
2、
0
1
2
3
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
則當(dāng)時,實數(shù)x的取值范圍是( ?。?
A.x≤1??? B.1≤x≤2????? C.1<x≤2????? D.1x<2
3、某射手有4發(fā)子彈,射擊一次命中目標(biāo)的概率為,如果命中就停止射擊,否則一直到子彈用盡,用表示用的子彈數(shù),則等于(??? )
(A) ??? (B)? ???? (C)? ???? (D) 以上都不對
4、一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出
3、現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.
(Ⅰ)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為,求的分布列;
(Ⅱ)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?
5、電子蛙跳游戲是: 青蛙第一步從如圖所示的正方體頂點起跳,每步從一頂點跳到相鄰的頂點.
(1)直接寫出跳兩步跳到的概率;
(2)求跳三步跳到的概率;
(3)青蛙跳五步,用表示跳到過的次數(shù),求隨機變量的概率分布.
6、甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽:第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽,而前一局的失敗者
4、輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負的概率均為,且各局勝負相互獨立.求:
(1)打滿4局比賽還未停止的概率;
(2)比賽停止時已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望E(ξ).
令A(yù)k,Bk,Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.
7、近年來空氣污染是一個生活中重要的話題, PM2.5就是其中一個指標(biāo)。PM2.5指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級:在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).
? ? 淮北相山區(qū)2020
5、年12月1日至I0日每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖所示.
(1)期間的某天小劉來此地旅游,求當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率;
(2)陶先生在此期間也有兩天經(jīng)過此地,這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標(biāo).請計算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級的概率;
(3)從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù),記表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求的分布列及期望.
8、某學(xué)校舉行知識競賽,第一輪選拔共設(shè)有四個問題,規(guī)則如下:
1?? 每位參加者記分器的初始分均為分,答對問題分別加分、分、分、分,答錯任一題減分;
2? 每回答一題,記分器顯示累計分?jǐn)?shù),當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于分時,答題結(jié)
6、束,淘汰出局;當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于分時,答題結(jié)束,進入下一輪;當(dāng)答完四題,累計分?jǐn)?shù)仍不足分時,答題結(jié)束,淘汰出局;
3?? 每位參加者按問題順序作答,直至答題結(jié)束。
??? 假設(shè)甲同學(xué)對問題回答正確的概率依次為、、、,且各題回答正確與否相互之間沒有影響。
(Ⅰ)求甲同學(xué)能進入下一輪的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù),求ξ的分布列。
9、在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表:
(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列;
(2)若在這塊地上連續(xù)3季種
7、植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.
10、已知離散型隨機變量X的分布列為
??則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=
A.??? ?? B.2??????? C.?????? D.3
11、在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性,且互不影響,其具體的情況如下表:
?
作物產(chǎn)量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
?
作物市場價(元∕kg)
6
10
概率
0.4
0.6
設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列;
若在這塊地上連續(xù)3季種植粗作物,求
8、這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率。
12、某市公租房的房源位于三個片區(qū),設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任意4位申請人中:
?? (1)恰有2人申請片區(qū)房源的概率;
?? (2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列和期望.
13、一個袋中有6個同樣大小的黑球,編號為1、2、3、4、5、6,現(xiàn)從中隨機取出3個球,以X表示取出球的最大號碼. 則X所有可能取值的個數(shù)是(?? )
A.6? ???? B.5? ? ?? C.4?????? D.3
14、若隨機變量X的概率分布表如下,則常數(shù)c= _________ .
9、
X
0
1
P
9c2﹣c
3﹣8c
15、袋中裝有編號為的球個,編號為的球個,這些球的大小完全一樣。
(1)從中任意取出四個,求剩下的四個球都是號球的概率;
(2)從中任意取出三個,記為這三個球的編號之和,求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
16、某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%,乙產(chǎn)品的一等品率為90%,二等品率為10%,生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品,若是一等品,則獲得利潤4萬元,若是二等品,則虧損1萬元,生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品,若是一等品,則獲得利潤6萬元,若是二等品,則虧損2萬元,設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨立,
(1)記X(單位:萬元)為生產(chǎn)1件甲
10、產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤,求X的分布列
(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。
17、某一隨機變量的概率分布列如表,且E=1.5,則的值為_____________
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
????????????? ?????????????
18、設(shè)X是一個離散型隨機變量,其分布列為
X
-1
0
1
P
1-2q
則q的值為(???? )
A.?1??????? B.??????? C.????????? D. ???????
19、隨機變量的概率分布列規(guī)律為其中為常數(shù),則的值為
11、?? (?????? )
A.?????? B.?????? C.??????? D.
20、隨機變量的分布列如下:
其中成等差數(shù)列,若,則的值是????? ????? .
答 案
1、(1)可能取值有,10,20,100,,,
……………4分
故分布列為
10
20
100
P
(2)由(1)知:每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是則玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是……9分
(3)由(1)知,每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為的數(shù)學(xué)期望是分這說明每盤游戲平均得分是負分,由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識可知
12、:許多人經(jīng)過若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而會減少.……12分
2、C
3、B
4、(Ⅰ)解:可能的取值為,,,.根據(jù)題意,有
,
,
,
. …………8分
所以的分布列為:
10
20
100
-200
(Ⅱ)解:設(shè)“第盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件,則
. …………10分
所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為. …………13分
因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.
5、將A標(biāo)示為0,A1、B、D標(biāo)示為1,B1、C、D1標(biāo)示為2,C1標(biāo)示為3,從A跳到B記為01,從B跳到B1再跳到A1記為1
13、21,其余類推.從0到1與從3到2的概率為1,從1到0與從2到3的概率為,從1到2與從2到1的概率為.
(1)P=;???????????????????????????????? ………4′
(2)P=P(0123)=1=;???????????????????????????????? ………10′
(3)X=0,1,2.?? P(X=1)=P(010123)+P(012123)+P(012321)
=11+1+11
=,P(X=2)=P(012323)=11= ,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=
或P(X=0)=P(010101)+P(
14、010121)+P(012101)+P(012121)
?
=111+11+11+1=,
?
X
0
1
2
p
?
?
?
…………16′
6、
(1)由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知,打滿4局比賽還未停止
7、(1)記“恰好趕上PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A
????????? ………………………………3分
(2)記“他這兩次此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標(biāo)且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級”
??????? 為事件B,………………………………7分
(3)的可能值為0,1,2,3
????????? ?????
15、?
????????? ??? ………………10分
????????? 其分布列為:
0
1
2
3
P
??????????? ………………12分
8、(1)設(shè)事件為:甲同學(xué)進入下一輪。
事件為:甲同學(xué)答對了第題,事件為:甲同學(xué)答錯了第題,
則
(2)的所有可能取值為:
,
?
的分布列為:
?
?
?
9、(1)略(2)0.896【知識點】離散型隨機變量及其分布列K6
(1)設(shè)A表示事件作物產(chǎn)量為300kg,B表示事件作物市場價格6元/kg
由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4
16、
利潤=產(chǎn)量市場價格-成本,X可能的取值為
50010-1000=4000,5006-1000=2000,30010-1000=2000,3006-1000=800
P(X=4000)=(1-0.5) (1-0.4)=0.3, P(X=2000)= (1-0.5) 0.4+0.5(1-0.4)=0.5
P(X=800)=0.50.4=0.2
X的分布列為
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)設(shè)表示事件第i季利潤不少于2000元(i=1,2,3)
由題意得,,相互獨立,由(1)知
P()=P(X=4000)+ P(X=2000)-0.
17、3+0.5-0.8
P=+=0.896
10、A
11、(Ⅰ)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”,B表示事件“作物市場價格為6元/kg”,
則P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利潤=產(chǎn)量×市場價格﹣成本,
∴X的所有值為:
500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=2000,
300×10﹣1000=2000,300×6﹣1000=800,
則P(X=4000)=P()P()=(1﹣0.5)×(1﹣0.4)=0.3,
P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1﹣0.5)×0.4+0.5(1﹣0.4)=0.5,
P(X=800)=
18、P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
則X的分布列為:
X????????????? 4000 ????????????? 2000 ????????????? 800
P????????????? 0.3????????????? 0.5????????????? 0.2
(Ⅱ)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i=1,2,3),
則C1,C2,C3相互獨立,
由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利潤均不少于2000的概率為P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.
19、83=0.512,
3季的利潤有2季不少于2000的概率為P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,
綜上:這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為:0.512+0.384=0.896.
12、(1)解:所有可能的申請方式有種,恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有種,………………………………3分
從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為………………………………6分
(2)的所有取值為1、2、3
………………………………9分
所以的分布列為
1
2
3
?
………………………………12分
13、C
14、
15、
16、)(1)由題可知,X的可能值為10,5,2,-3,
,
所以X的分布列為:
X
10
5
2
-3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n(n,且n)件,則二等品有(4-n)件,由題知,
4n-(4-n),解得n又n,得n=3或n=4
?
17、0.2
18、D
19、D
20、