清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

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1、主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 問(wèn)：?jiǎn)枺涸谫|(zhì)點(diǎn)問(wèn)題中，我們將物體所受的力均作在質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題中，我們將物體所受的力均作用于同一點(diǎn)，并僅考慮力的大小和方向所產(chǎn)生的作用于同一點(diǎn)，并僅考慮力的大小和方向所產(chǎn)生的作用；在剛體問(wèn)題中，我們是否也可以如此處理用；在剛體問(wèn)題中，我們是否也可以如此處理？力力的作用點(diǎn)的位置對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)有影響嗎的作用點(diǎn)的位置對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)有影響嗎？0,0iiMF圓盤(pán)靜止不動(dòng)圓盤(pán)靜止不動(dòng)0,0iiMF圓盤(pán)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)FFFF

2、力矩力矩可以反映力的作用點(diǎn)的位置對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響可以反映力的作用點(diǎn)的位置對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響.主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn) P 的徑的徑矢矢 . FrFrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M主講主講 王新練王新練大學(xué)物

3、理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zOkFr討論討論FFFzFrkMzsinz rFMzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可把力分解為不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可把力分解為平行于和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量平行于和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩零，故力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩zF主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南

4、城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3） 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM 結(jié)論結(jié)論：剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的：剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的作用力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零作用力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零.0ijMM主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z二二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律mramFiitt)(2)(iiirmMiiiiir

5、amFrMtt)(imirOitFra t22)()(iiiiirmrmMM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 2iirmJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度. 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJiiid22質(zhì)量元質(zhì)量元:md 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成正成正比比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

6、量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比 . 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 2iirmJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的密度、幾何轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸的位置形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.注意注意主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量lO Ordr 設(shè)棒的線(xiàn)密度為設(shè)棒的線(xiàn)密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的處的質(zhì)量元質(zhì)量元 rrmddrrmrJddd22 討論：討論： 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，與棒的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，與棒垂直

7、的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化垂直的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化 .rd2l2lO O20231dmlrrJl轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒22/02121d2mlrrJl轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直于棒轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直于棒主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理

8、系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：解：1） 分析受力分析受力 例例1 1 如圖如圖, , 有一半徑為有一半徑為 R R 質(zhì)量為質(zhì)量為 的勻質(zhì)圓盤(pán)的勻質(zhì)圓盤(pán), , 可繞通過(guò)盤(pán)心可繞通過(guò)盤(pán)心 O O 垂直盤(pán)面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)垂直盤(pán)面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng). . 轉(zhuǎn)軸與圓盤(pán)之轉(zhuǎn)軸與圓盤(pán)之間的摩擦略去不計(jì)間的摩擦略去不計(jì). . 圓盤(pán)上繞有輕而細(xì)的繩索圓盤(pán)上繞有輕而細(xì)的繩索, , 繩的一繩的一端固定在圓盤(pán)上端固定在圓盤(pán)上, , 另一端系質(zhì)量為另一端系質(zhì)量為 m m 的物體的物體. . 試求物體試求物體下落時(shí)的加速度、繩中的張力和圓盤(pán)的角加速度下

9、落時(shí)的加速度、繩中的張力和圓盤(pán)的角加速度. . mRommy yRoTmPTm2）選取坐標(biāo)選取坐標(biāo) 注意：注意：轉(zhuǎn)動(dòng)和平轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的坐標(biāo)取向要一致動(dòng)的坐標(biāo)取向要一致.主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量) 2(2mmmgay) 2/(mmmgmT) 2(2RmmmgRommy yRoTmPTm3）列方程（用文字式）列方程（用文字式）ymaTmg牛頓第二定律（質(zhì)點(diǎn)）牛頓第二定律（質(zhì)點(diǎn)）JRT轉(zhuǎn)動(dòng)定律（剛體）轉(zhuǎn)動(dòng)定律（剛體）2/2RmJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)

10、慣量 先先文字計(jì)算求解，文字計(jì)算求解，后后代入數(shù)據(jù)求值代入數(shù)據(jù)求值.Ray約束條件約束條件TT主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例2 有一半徑為有一半徑為R質(zhì)量為質(zhì)量為 m 勻質(zhì)圓盤(pán)勻質(zhì)圓盤(pán), 以角速度以角速度0 0繞繞通過(guò)圓心垂直圓盤(pán)平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)通過(guò)圓心垂直圓盤(pán)平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng). .若有一個(gè)與圓盤(pán)大小相若有一個(gè)與圓盤(pán)大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗稱(chēng)剎車(chē)片俗稱(chēng)剎車(chē)片) )擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán), ,故而有正壓故而有正壓力力N N

11、均勻地作用在盤(pán)面上均勻地作用在盤(pán)面上, , 從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢. .設(shè)正設(shè)正壓力壓力N N 和剎車(chē)片與圓盤(pán)間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出和剎車(chē)片與圓盤(pán)間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出. .試試問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止轉(zhuǎn)動(dòng)? ? 解解: 在圓盤(pán)上取面積微元在圓盤(pán)上取面積微元, 面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd剎車(chē)片剎車(chē)片主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物

12、理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量面積微元所受摩擦力矩面積微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圓環(huán)所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圓盤(pán)所受摩擦力矩圓盤(pán)所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圓盤(pán)角加速度圓盤(pán)角加速度MRNJM43NmRt0043停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)0rl drdfFdR主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例3 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與

13、一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng). 由于此豎由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線(xiàn)成試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線(xiàn)成 角時(shí)的角加速度和角角時(shí)的角加速度和角速度速度.lm 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFJmglsin21ml2loPNF主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)

14、理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義dsin23dlg代入初始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgJmglsin21ml2loPNF主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CgmfFCaNxy* * 例例4 如圖一斜面長(zhǎng)如圖一斜面長(zhǎng) l = 1.5m, 與水平面的夾角與水平面的

15、夾角 = 5o. 有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端, 然后由頂端沿然后由頂端沿斜面向下滾動(dòng)斜面向下滾動(dòng), 一個(gè)物體是質(zhì)量一個(gè)物體是質(zhì)量 m1 = 0.65kg、半徑為、半徑為R1 的實(shí)心圓柱體的實(shí)心圓柱體, 另一物體是質(zhì)量為另一物體是質(zhì)量為 m2 = 0.13 kg 、半徑、半徑 R2 = R1 = R 的薄壁圓柱筒的薄壁圓柱筒. 它們分別由斜面頂端滾到斜它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間? 解解: 物體由斜面物體由斜面頂端滾下頂端滾下, 可視為質(zhì)可視為質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成的滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成.主講主講 王新練王新練大學(xué)物理教程（第二版）大學(xué)物理教程（第二版）河南城建學(xué)院數(shù)理系河南城建學(xué)院數(shù)理系4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量清華大學(xué)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CgmfFCaNxy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程CmaFmgfsin轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JRFfRaaC角量、線(xiàn)量關(guān)系角量、線(xiàn)量關(guān)系2sinRJamgmaJmRmgRa22sin3sin21ga 2sin2ga 112 alt 實(shí)心圓拄實(shí)心圓拄222 alt 空心圓筒空心圓筒