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1、
必考問題10 數(shù)列求和
1．(2012·全國)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項和為( )．
A. B.
C. D.
答案： A [設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選A.]
2．(2011·全國)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝( )．
A．8 B．7
2、
C．6 D．5
答案：D [∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.由已知得Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)＋2(k＋1)－2＝4k＋4＝24，所以k＝5，故選D.]
3．(2010·福建)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于( )．
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：A [∵{an}是等差數(shù)列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝＝＝2得{an}是首項為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，所有的非正項之和最?。遖6＝－1，a7＝1，∴當(dāng)n＝6時，Sn取最
3、?。蔬xA.]
4．(2011·江西)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.
解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即當(dāng)n≥1時，an＋1＝1，∴a10＝1.
答案 1
本部分是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，題型有選擇題、填空題和解答題．對于數(shù)列的通項問題，求遞推數(shù)列(以遞推形式給出的數(shù)列)的通項是一個難點(diǎn)，而數(shù)列的求和問題多從數(shù)列的通項入手，并與不等式證明或求解結(jié)合，有一定難度．
(1)牢固掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的遞推公式和通項公式，以一階線性的遞推
4、公式求通項的六種方法(觀察法、構(gòu)造法、猜歸法、累加法、累積法、待定系數(shù)法)為依托，掌握常見的遞推數(shù)列的解題方法．對于既非等差又非等比的數(shù)列要綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法進(jìn)行研究，要善于將其轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，這是一種非常重要的學(xué)習(xí)能力．
(2)對于數(shù)列求和部分的復(fù)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：①熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用，這是數(shù)列求和的基礎(chǔ)；②掌握好分組、裂項、錯位相減、倒序相加法這幾種重要的求和方法，特別要掌握好裂項與錯位相減求和的方法，這是高考考查的重點(diǎn)；③掌握一些與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題的解決方法，如求數(shù)列前n項和的最值，研究前n項和所滿足的不等式等.
必備知識
求
5、通項公式的方法
(1)觀察法：找項與項數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗，即得通項公式an；
(2)利用前n項和與通項的關(guān)系an＝
(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式；
(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累積法，如＝f(n)；
(5)轉(zhuǎn)化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．
常用公式
等差數(shù)列的前n項和，等比數(shù)列的前n項和，1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋32＋…＋n2＝.
常用裂項方法
(1)＝－；
(2)＝－.
必備方法
1．利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為Sn與an的關(guān)系式：數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系：an＝通過紐帶：an＝Sn－S
6、n－1(n≥2)，根據(jù)題目求解特點(diǎn)，消掉一個an或Sn.然后再進(jìn)行構(gòu)造成等差或者等比數(shù)列進(jìn)行求解．如需消掉Sn，可以利用已知遞推式，把n換成(n＋1)得到新遞推式，兩式相減即可．若要消掉an，只需把a(bǔ)n＝Sn－Sn－1代入遞推式即可．不論哪種形式，需要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的條件n≥2.
2．裂項相消法的基本思想是把數(shù)列的通項an分拆成an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn等，從而達(dá)到在求和時逐項相消的目的，在解題中要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件．
3．錯位相減法適用于數(shù)列由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的
7、乘積構(gòu)成的數(shù)列的求和，乘以等比數(shù)列的公比再錯位相減，即依據(jù)是：cn＝anbn，其中{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，則qcn＝qanbn＝anbn＋1，此時cn＋1－qcn＝(an＋1－an)bn＋1＝dbn＋1，這樣就把對應(yīng)相減的項變?yōu)榱艘粋€等比數(shù)列，從而達(dá)到求和的目的.
數(shù)列的遞推關(guān)系一直是高考“久考不衰”的考點(diǎn)，具有題型新穎、方法靈活等特點(diǎn)，求通項的常用方法有：定義法、公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法等．
【例1】? 已知數(shù)列{an}的首項a1＝，且an＋1＝，n＝1，2，….
(1)證明：數(shù)列－1
8、是等比數(shù)列；
(2)令bn＝－1，試求數(shù)列{n·bn}的前n項和Sn.
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] 對于第(1)問，由條件利用等比數(shù)列的定義即可證明；對于第(2)問，求數(shù)列{n·bn}的前n項和Sn，只需利用錯位相減法即可．
(1)證明 由已知，得＝·＋，n＝1,2，…，
∴－1＝－1，n＝1,2，….
∴數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列．
(2)解 由bn＝－1＝(n≥1)，
得Sn＝1·b1＋2·b2＋3·b3＋…＋(n－1)·bn－1＋n·bn
＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·.
∴Sn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·.
9、
∴Sn＝＋＋＋＋…＋－n·
＝－n·.
∴Sn＝1－－n·＝－.
對于由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列通項an的問題，一般有以下幾種題型：
(1)類型an＋1＝can＋d(c≠0,1)，可以通過待定系數(shù)法設(shè)an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，化為等比數(shù)列求通項；(2)類型an＋1＝an＋f(n)與an＋1＝f(n)·an，可以分別通過累加、累乘求得通項；
(3)類型an＋1＝can＋rn(c≠0，r≠0)，可以通過兩邊除以rn＋1，得＝·＋，于是轉(zhuǎn)化為類型(1)求解．
【突破訓(xùn)練1】 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)證明：數(shù)列{an－n}
10、是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
(3)證明：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．
(1)證明 由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得
an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n.所以，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＋.
(3)證明 對任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．
裂項法求和是近幾年高考的熱點(diǎn)，試題設(shè)
11、計年年有變、有創(chuàng)新，但變的僅僅是試題的外殼，有效地轉(zhuǎn)化、化歸問題是解題的關(guān)鍵，常與不等式綜合命制解答題．
【例2】? 已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜對所有n(n∈N*)都成立的最小正整數(shù)m.
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] (1)由f′(x)＝6x－2可求f(x)，則可得Sn與n的關(guān)系式，再由an＝Sn－
12、Sn－1(n≥2)求an.
(2)由裂項求和求Tn，再由單調(diào)性求Tn的最大值．
解 (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
則f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2，
得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.
又因為點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，
所以Sn＝3n2－2n.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]
＝6n－5.
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＝1，所以，an＝6n－5(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝＝
＝－，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1－＋
13、－＋…＋－
＝1－.
因此，要使1－＜(n∈N*)成立，
則m需滿足≤即可，則m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.
使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點(diǎn)，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
【突破訓(xùn)練2】 已知數(shù)列{an}是首項a1＝的等比數(shù)列，其前n項和Sn中S3＝.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(解 (1)若q＝1，則S3＝≠不符合題意，∴q≠1.
當(dāng)q≠1時，由得q＝－.
∴an＝·－n－1＝－n＋1.
(2)∵bn＝log|an|＝log＝n＋1，
∴＝＝－，
∴
14、Tn＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－.
錯位相減法求和作為求和的一種方法在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時要熟練掌握錯位相減法求和的特點(diǎn)．
【例3】? (2012·淄博一模)已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an－1}的前n項和Sn.
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] (1)作差：－后，把a(bǔ)n＝2an－1＋2n－1代入；(2)求出an－1，利用錯位相減法求和．
(1)證明 設(shè)bn＝，b1＝＝2.
∴bn－bn－1＝－＝(a
15、n－2an－1)＋1
＝(2n－1)＋1＝1.
所以數(shù)列為首項是2，公差是1的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)知，＝＋(n－1)×1，
∴an－1＝(n＋1)·2n.
∵Sn＝2·21＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，①
∴2Sn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.②
①－②，得－Sn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)·2n＋1，
∴Sn＝－4－4(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋1，
∴Sn＝n·2n＋1.
錯位相減法求數(shù)列的前n項和是一類重要方法．在應(yīng)用這種方法時，一定要抓住數(shù)列的特征．即數(shù)列的項可以看作是由一個等差數(shù)列和一
16、個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得數(shù)列的求和問題．所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減，要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)．
【突破訓(xùn)練3】 (2012·天津)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)記Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，證明：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
(1)解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件，
17、得方程組解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
(2)證明 法一 由(1)得
Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.②
由②－①，得
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2
＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.
而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.
法二?、佼?dāng)n＝1時，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；
②證明：
18、假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，則當(dāng)n＝k＋1時有：
Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1
＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)
＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24
＝－2ak＋1＋10bk＋1－12
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.
因此n＝k＋1時等式也成立．
由①和②，可知對任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
數(shù)列綜合題中的轉(zhuǎn)化與推理
數(shù)列是一個既有相對獨(dú)立性，又與其他
19、知識易交匯的知識點(diǎn)，命題者為體現(xiàn)考查思維的綜合性與創(chuàng)新性，經(jīng)常讓數(shù)列與一些其他知識交匯，有效地考查考生對數(shù)學(xué)思想與方法的深刻理解，以及考生的數(shù)學(xué)潛能與思維品質(zhì)．因此，要利用轉(zhuǎn)化與推理將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，降低問題難度．
【示例】? (2012·湖南)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明：數(shù)列{an}是公比為q
20、的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．
[滿分解答] (1)對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，
即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.
故數(shù)列{an}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列．
于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(5分)
(2)①必要性：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則對任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是
＝＝＝q，
＝＝＝q，
即＝＝
21、q，所以三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．(8分)
②充分性：若對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．
于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.
由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0.
因為an＞0，所以＝＝q.故數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列．
綜上所述，數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B
22、(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．(12分)
老師叮嚀：本題看似新穎，但揭開面紗卻很平常.它很好地考查了考生的應(yīng)試心理和推理論證的能力，用到的知識卻很簡單，失去信心是本題失分的主要原因.第(1)問根據(jù)B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)即可輕松解決；第(2)問需分充分性和必要性分別證明，其依據(jù)完全是非常簡單的等比數(shù)列的定義，其關(guān)鍵是要有較好的推理論證能力.
【試一試】 (2012·山東)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
解 (1)因為{an}是一個等差數(shù)列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得，28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)對m∈N*，若9m＜an＜92m，則9m＋8＜9n＜92m＋8.
因此9m－1＋1≤n≤92m－1.故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破10 數(shù)列求和 理
