2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破7 三角恒等變換與解三角形 理

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1、 必考問題7　三角恒等變換與解三角形 1．(2012·全國)已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－ B．－ C. D. 答案：A　[將sin α＋cos α＝兩邊平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝，因為α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cos α＋sin α)＝－，選A.] 2．(2012·江西)若tan θ＋＝

2、4，則sin 2θ＝(　　)． A. B. C. D. 答案：D　[∵tan θ＋＝＝4，∴4tan θ＝1＋tan2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.] 3．(2012·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cos C＝(　　)． A. B．－ C．± D. 答案：A　[因為8b＝5c，則由C＝2B，得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝，故選A.] 4．

3、(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b＝________. 解析　由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 答案　4 1．對于三角恒等變換，高考命題以公式的基本運用、計算為主，其中多以與角所在范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識結(jié)合為命題的熱點． 2．對于解三角形，重點考查正弦定理、余弦定理兩公式在解三角形中的應(yīng)用，通過三角形中的邊、角關(guān)系和相關(guān)公式的靈活運用來考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及數(shù)學(xué)運算能力. 1．在三角恒等變換過程中，準(zhǔn)確地記憶公式，適當(dāng)?shù)刈儞Q式子，有效地選取公式是解決問題的關(guān)鍵． 2．

4、在解三角形的試題時，要弄清楚三角形三邊、三角中已知什么，求什么，這些都是解決問題的思維基礎(chǔ)，分析題設(shè)條件，利用正、余弦定理進(jìn)行邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵. 必備知識 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcosβ?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. (4)降冪公式：

5、sin2 α＝，cos2α＝. 正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 余弦定理及其推論 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 面積公式 S△

6、ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 必備方法 1．“變角”是三角變換的靈魂，因此要注意分析條件與所求之間角的聯(lián)系，?？疾焓欠窬哂泻?、差、倍、半關(guān)系或互余、互補關(guān)系．如2β與β是倍角關(guān)系．此外，根據(jù)條件與所求中的角的特點，常要對角進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐錅?，如：β?α＋β)－α，＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 2．要充分把握三角函數(shù)的變換規(guī)律．三角變換時，需會用“切化弦”“弦化切”“輔助角”“1的代換”等技巧，追求“名、角、式”(三角函數(shù)名、角度、運算結(jié)構(gòu))的統(tǒng)一，其中角的變換是三角變換的核心． 3．在三角形內(nèi)求值、證明或判斷三角形形狀時，要用正、余弦定理完成邊與角的

7、互化，一般是都化為邊或都化為角，然后用三角公式或代數(shù)方法求解，從而達(dá)到求值、證明或判斷的目的．解題時要注意隱含條件． 4．解三角形的應(yīng)用問題時，要將條件和求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化到一個三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同時注意所求結(jié)果要滿足實際問題的要求，還要注意對不同概念的角的正確理解與應(yīng)用，如俯角、仰角、方位角、視角等. 　　　　　　的化簡、求值 三角恒等變換是三角運算的核心和靈魂，常考查：①三角恒等變換在化簡、求值等方面的簡單應(yīng)用；②三角恒等變換與三角形中相關(guān)知識的綜合、與向量的交匯性問題，多以解答題形式出現(xiàn)，難度中檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】?

8、(2012·廣東)已知函數(shù)f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期為10 π. (1)求ω的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)由T＝10π可得ω的值；(2)化簡所給的已知條件，求得cos α、sin β的值，將cos(α＋β)展開，代入數(shù)據(jù)即可． 解　(1)∵f(x)＝2cos，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝. (2)由(1)知f(x)＝2cos， 而α，β∈，f＝－，f(5β－)＝， ∴2cos＝－， 2cos＝， 即cos＝－，cos β＝， 于是sin α＝

9、，cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. (1)給值求角的本質(zhì)還是給值求值，即欲求某角，也要先求該角的某一三角函數(shù)值． (2)由于三角函數(shù)的多值性，故要對角的范圍進(jìn)行討論，確定并求出限定范圍內(nèi)的角． (3)要仔細(xì)觀察分析所求角與已知條件的關(guān)系，靈活使用角的變換，如α＝(α＋β)－β，α＝＋等． 【突破訓(xùn)練1】 已知cos＝，x∈. (1)求sin x的值； (2)求sin的值． 解　(1)因為x∈， 所以x－∈， 于是sin＝ ＝. sin x＝sin ＝sincos＋cossin ＝×＋×＝

10、. (2)因為x∈， 所以cos x＝－＝－ ＝－. sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－. 所以sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＝－. 以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一個熱點問題．根據(jù)所給式子、三角形的特點合理選擇正弦或余弦定理是解題的關(guān)鍵，綜合考查學(xué)生邏輯分析和計算推理能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2011·山東)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已 知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面積

11、S. [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)根據(jù)所給式子和第(1)問式子的特征，采用邊化角較為簡單；(2)借用第(1)問的結(jié)果可知a、c間的關(guān)系，再結(jié)合cos Β＝，b＝2，利用余弦定理可求解． 解　(1)由正弦定理，設(shè)＝＝＝k， 則＝＝， 所以＝. 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以原等式可化為sin C＝2sin A， 因此＝2. (2)由＝2，得c＝2a. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝， 得4＝

12、a2＋4a2－4a2×，解得a＝1，從而c＝2. 又因為cos B＝，且0＜B＜π，所以sin B＝. 因此S＝acsin B＝×1×2×＝. 在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的 選擇．正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數(shù)學(xué)思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問題． 【突破訓(xùn)練2】 (2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積． (1)證明　由bsin－csin＝a，應(yīng)用正弦定理，得si

13、n Bsin－sin Csin＝sin A， sin B－sin C＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1， 即sin(B－C)＝1， 由于0＜B，C＜π，從而B－C＝. (2)解　B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝. 由a＝，A＝， 得b＝＝2sin，c＝＝2sin， 所以△ABC的面積S＝bcsin A＝sinsin＝cos·sin＝. 易錯點撥 第(2)問考生往往在遇到非特殊角的情況下思維受阻，導(dǎo)致丟分，遇到這種情況時要學(xué)會分析推測或用轉(zhuǎn)化法使解題進(jìn)行下去． 解三角形問題常以向量為載體，解題時通常先利用向量知識將有關(guān)向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角

14、形中的邊角關(guān)系，然后再借助解三角形的知識求解，難度中檔偏低．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A＝，(1＋)c＝2b. (1)求角C； (2)若·＝1＋，求a，b，c. [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)由(1＋)c＝2b及A＝可利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系；(2)將向量關(guān)系式·＝1＋轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，再利用解三角形的知識求解． 解　(1)由(1＋)c＝2b，得＝＋＝， 則有＝ ＝＋＝＋， 得tan C＝1，即C＝. (2)由·＝1＋，推出abcos C＝1＋.

15、而C＝，即得ab＝1＋， 則有解得 解答這一類問題，首先要保證向量運算必須正確，否則，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的應(yīng)用條件及靈活變形，方能使問題簡捷解答． 【突破訓(xùn)練3】 在△ABC中，已知2·＝||·||＝32，求角A，B，C的大小． 解　設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由2·＝||·||， 得2bccos A＝bc，所以cos A＝， 又A∈(0，π)，因此A＝，由||·||＝32， 得bc＝a2，于是sin C·sin B＝sin2A＝. 所以sin C·sin＝， sin C·＝， 因此2sin C·cos C＋2sin2C＝， sin 2C－cos

16、 2C＝0，即sin＝0. 由A＝知0＜C＜，所以－＜2C－＜， 從而2C－＝0，或2C－＝π，即C＝或C＝， 故A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝. 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形應(yīng)用問題中的測量問題、航海問題等常常是高考的熱點，其主要要求是：會利用正弦定理和余弦定理等知識和方法解決一些測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】? (2012·沈陽模擬)如圖， 漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追

17、趕漁船乙，剛好用2小時追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 第(1)問實質(zhì)求BC；第(2)問運用正弦定理可求解． 解　(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12， AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為14海里/時． (2)在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得

18、＝， 即sin α＝＝＝， 所以sin α的值為. (1)三角形應(yīng)用題的解題要點：解斜三角形的問題，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中尋找出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形得出所要求的量，從而得到實際問題的解． (2)有些時候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等．正確理解和掌握方位角、俯角、仰角對于解決三角形應(yīng)用題也是必不可少的． 【突破訓(xùn)練4】 (2012·惠州調(diào)研)如圖， 某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°且AB＝100米． (1)求sin 7

19、5°； (2)求該河段的寬度． 解　(1)sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45° ＝×＋×＝. (2)因為∠CAB＝75°，∠CBA＝45°， 所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°. 由正弦定理得＝， 所以BC＝. 如圖，過點B作BD垂直于對岸，垂足為D, 則BD的長就是該河段的寬度． 在Rt△BDC中， 因為∠BCD＝∠CBA＝45°， sin∠BCD＝， 所以BD＝BCsin 45° ＝·sin 45° ＝× ＝＝(米)． 答：該河段的寬度為米． 轉(zhuǎn)化與化歸在解三角形中的

20、應(yīng)用 解三角形問題是歷年高考的熱點，常與三角恒等變換相結(jié)合考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，解題的實質(zhì)是將三角形中的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題或方程問題，在此過程中也常利用三角恒等變換知識進(jìn)行有關(guān)的轉(zhuǎn)化．可以說，三角形問題的核心就是轉(zhuǎn)化與化歸． 【示例】? (2012·新課標(biāo)全國)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. [滿分解答]　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因為B＝π－A－C，

21、 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0＜A＜π，故A＝.(6分) (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.(12分) 老師叮嚀：本題較容易，得分率較高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力.其中，第(1)問利用正弦定理將邊化成角，結(jié)合三角恒等變換知識整理出角A.第(2)問根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)于b，c的等式，再由余弦定理用a和角A表示出b，c的關(guān)系，從而求解. 【試一試】 在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值； (2)求sin的值． 解　(1)在△ABC中，根據(jù)正弦定理，＝. 于是AB＝·BC＝2BC＝2. (2)在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得 cos A＝＝. 于是sin A＝＝. 從而sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝cos2A－sin2A＝. 所以sin＝sin 2Acos－cos 2Asin＝. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 12