2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破8 平面向量線性運算及綜合應(yīng)用問題 理

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1、 必考問題8　平面向量線性運算及綜合應(yīng)用問題 1．(2012·廣東)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 答案： A　[抓住向量的起點與終點，用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)即可．由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．] 2．(2012·四川)設(shè)a，b都是非零向量．下列四個條件中，使＝成立的充分條件是(　　)． A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且

2、|a|＝|b| 答案：C　[對于A，注意到當(dāng)a＝－b時，≠；對于B，注意到當(dāng)a∥b時，與可能不相等；對于C，當(dāng)a＝2b時，＝＝；對于D，當(dāng)a∥b，且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時≠.綜上所述，使＝成立的充分條件是a＝2b.] 3．(2012·浙江)設(shè)a，b是兩個非零向量，下列選項正確的是(　　)． A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 答案：C　[對于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；

3、對于B，滿足a⊥b時，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；對于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D顯然不一定成立．] 4．(2012·新課標(biāo)全國)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 解析　依題意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0， ∴|b|＝＝3(負(fù)值舍去)． 答案　3 1．高考一般會以客觀題的形式重點考查向量的線性運算及其應(yīng)用，向量的垂直、平移、夾角和模的運算，向量的幾何運算等． 2．平面向量作

4、為工具在考查三角函數(shù)、平面解析幾何等內(nèi)容時常用到，屬于中等偏難題． 1．要理解平面向量具有兩個方面的特征：幾何特征和代數(shù)特征，可以認(rèn)為平面向量是聯(lián)系幾何圖形和代數(shù)運算的紐帶，因此復(fù)習(xí)時要抓住平面向量的核心特征． 2．由于平面向量在三角函數(shù)、平面解析幾何中的工具作用，所以備考時要熟練掌握平面向量的基礎(chǔ)知識. 必備知識 向量的概念 (1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0. (2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為±. (3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)． (4)如果直線l的斜率為k，則a＝(1，k)是直線l的

5、一個方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影． 向量的運算 (1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量是向量運算的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握其運算規(guī)律． (2)平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是實數(shù)，而不是向量，要注意運算數(shù)量積與實數(shù)運算律的差異，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律與消去律．a(chǎn)·b運算結(jié)果不僅與a，b的長度有關(guān)而且與a與b的夾角有關(guān)，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 兩非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a∥b?a＝λb，a∥b?x1y2－x2y1＝0. a⊥b?a·b＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0

6、. 可利用它處理幾何中的兩線平行、垂直問題，但二者不能混淆． 必備方法 1．當(dāng)向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時，要把這個幾何圖形中的一個向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易使用錯誤，向量＝－(其中O為我們所需要的任何一個點)，這個法則就是終點向量減去起點向量． 2．根據(jù)平行四邊形法則，對于非零向量a，b，當(dāng)|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條對角線長度相等，此時平行四邊形是矩形，條件|a＋b|＝|a－b|等價于向量a，b互相垂直，反之也成立． 3．兩個向量夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或π的情況，

7、如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線． ?？疾槠矫嫦蛄康幕靖拍?、線性運算、加減運算等基礎(chǔ)知識．同時，要加強(qiáng)三角形法則、平行四邊形法則應(yīng)用技巧的訓(xùn)練和常用結(jié)論的記憶，難度以中低檔為主．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2010·湖北)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0，若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 由＋＋＝0, 可知M是△ABC的重心． B　[∵＋＋＝0，∴點M是△ABC的重心．∴＋＝3 .∴m＝3.]

8、 (1)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量． (2)有的問題可以采用坐標(biāo)化解決更簡單． 【突破訓(xùn)練1】 如圖， 平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________． 解析　法一　如圖， ＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4，∴＝4＋2.∴λ＋μ＝6. 法二　以O(shè)為原點，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，C(2 cos 30°，2sin 30

9、°)，B(cos 120°，sin 120°)． 即A(1,0)，C(3，)，B－，. 由＝λ＋μ得， ∴∴λ＋μ＝6. 答案　6 數(shù)量積是平面向量最易考查的知識點，?？疾椋孩僦苯永脭?shù)量積運算公式進(jìn)行運算；②求向量的夾角、模，或判斷向量的垂直關(guān)系，試題較容易．也常常與解析幾何結(jié)合命制解答題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2012·臨沂質(zhì)檢) 如圖，△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，點M滿足＝2，則·＝(　　)． A．2 　　　B．3 C．4 　　　D．6 [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 用向量、

10、表示． B　[·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)＝2＝3.] 平面向量問題的難點就是把平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結(jié)合，這里要充分利用平面向量的幾何運算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運算法則，探究解題的思想． 【突破訓(xùn)練2】 (2012·重慶)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C．2 D．10 答案：B　[由題意可知，解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，選B.] 在近年高考中，三角函數(shù)與

11、平面向量相結(jié)合來命制綜合問題是高考考查的熱點，三角函數(shù)的變換與求值、化簡及解三角形等問題常以向量為載體，復(fù)習(xí)時應(yīng)注意解題的靈活性，難度不大．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2012·河北衡水調(diào)研)已知向量a＝(sin x，－1)，b＝. (1)當(dāng)a∥b時，求cos2x－3sin 2x的值； (2)求f(x)＝(a＋b)·b的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)由向量平行列方程解出tan x的值，所求式子轉(zhuǎn)化成正切單角名稱的三角代數(shù)式，代入可求解；(2)進(jìn)行向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積運算得到f(x)的解析式，轉(zhuǎn)化為y＝

12、Asin (ωx＋φ)＋b的函數(shù)結(jié)構(gòu)． 解　(1)由a∥b，得sin x＋cos x＝0，即tan x＝－， ∴cos2x－3sin 2x＝＝＝. (2)因為a＝(sin x，－1)，b＝cos x，， ∴a＋b＝sin x＋cos x，； f(x)＝(a＋b)·b ＝(sin x＋cos x)cos x＋ ＝(sin 2x＋cos 2x)＋ ＝sin2x＋＋， 所以最小正周期為π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋， 故單調(diào)遞增區(qū)間為kπ－，kπ＋(k∈Z)． 平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的這類題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)坐標(biāo)運算后轉(zhuǎn)化為

13、三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解． 【突破訓(xùn)練3】 在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足cos ＝，·＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值． 解　(1)因為cos ＝， 所以cos A＝2cos2－1＝，sin A＝， 又由·＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5， 所以S△ABC＝bcsin A＝2. (2)對于bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2. 突破平面向量的得分障礙 近幾年高考對平面向量的考查突出了“創(chuàng)新性”與

14、“靈活性”，其實質(zhì)可以歸源于平面向量的幾何特征和代數(shù)特征．試題常以選擇、填空的形式考查，難度較大．平面向量問題的難點就是平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結(jié)合，這里要充分利用向量的幾何運算法則、共線向量定理，下面舉例說明． 【示例1】? (2012·北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為____________；·的最大值為____________． 解析　以，為基向量，設(shè)＝λ(0≤λ≤1)，則＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值為1. 答案　1　1 老

15、師叮嚀：本題考查了平面向量的線性運算、幾何運算和數(shù)量積運算.求·值時，不會利用平面向量的幾何運算法則將其轉(zhuǎn)化為··是造成失分的主要原因. 【試一試1】 (2011·新課標(biāo)全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題： p1：|a＋b|>1?θ∈；p2：|a＋b|>1?θ∈； p3：|a－b|>1?θ∈；p4：|a－b|>1?θ∈. 其中的真命題是(　　)． A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 答案：A　[∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，則(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝

16、＝a·b＞－，∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正確，應(yīng)選A.] 【示例2】? (2011·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　)． A.－1 B．1 C. D．2 解析　設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，則x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，則(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x，1－y)， ∴|a＋b－c|

17、＝ ＝ ，① 法一　如圖，c＝(x，y)對應(yīng)點在上，而①式的幾何意義為P點到上點的距離，其最大值為1. 法二　|a＋b－c| ＝ ＝ ＝＝， 由x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值為1. 答案　B 老師叮嚀：解決本題的關(guān)鍵是將向量坐標(biāo)化，利用向量的坐標(biāo)運算解決問題.其中，不會將向量坐標(biāo)化是造成失分的主要原因. 【試一試2】 (2012·天津)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，則λ＝(　　)． A. B. C. D. 答案：A　[∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，則(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正確，應(yīng)選A.] 8