2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課后作業(yè)11 直線與平面垂直的判定 北師大版必修2

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1、課后作業(yè)(十一) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間20分鐘) 1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是(  ) ①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直,則l⊥α; ②若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直,則l⊥α; ③若直線l與平面α內(nèi)的任何一條直線垂直,則l⊥α. A.3 B.2 C.1 D.0 [解析] 根據(jù)線面垂直的判定定理可知,當(dāng)平面α內(nèi)有兩條相交直線都與l垂直時(shí),直線l與平面α垂直,故①錯(cuò)誤,②③正確。故選B. [答案] B 2.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與AA1垂直的平面的個(gè)數(shù)是 (  ) A.1 B.2 C.3 D.6 [解析] 僅有平

2、面AC和平面A1C1與直線AA1垂直. [答案] B 3.PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是(  ) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC [解析] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,A正確;∵C為以AB為直徑的圓周上一點(diǎn),∴BC⊥AC,又BC⊥PA,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴B、D正確.故選C. [答案] C 4.如圖,α∩β=l,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關(guān)系是(  ) A.異面     B.平行 C.垂直     D.不確定

3、 [解析] ∵BA⊥α,α∩β=l,lα,∴BA⊥l. 同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l(xiāng)⊥平面ABC. ∵AC平面ABC,∴l(xiāng)⊥AC. [答案] C 5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥BC,PA⊥CD. ?BC⊥平面PAB?BC⊥PB 由?CD⊥平面PAD?CD⊥PD. ∴△PAB,△PAD,△PBC,△PCD都是直角三角形. [答案] D 6.已知直線l,a,b,平面α,

4、若要得到結(jié)論l⊥α,則需要在條件aα,bα,l⊥a,l⊥b中另外添加的一個(gè)條件是________. [解析] 由直線與平面垂直的判定定理知,需添加的一個(gè)條線為:a與b相交. [答案] a與b相交 7.在Rt△ABC中,D是斜邊AB的中點(diǎn),AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,則ED=________. [解析]  如圖,∵AC=6,BC=8, ∴AB=10,∴CD=5. 在Rt△ECD中,EC=12, ∴ED==13. [答案] 13 8.如圖,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中: (1)與PC垂直的直線

5、有________; (2)與AP垂直的直線有________. [解析] (1)因?yàn)镻C⊥平面ABC,AB,AC,BC平面ABC,所以與PC垂直的直線有AB,AC,BC. (2)∠BCA=90°,即BC⊥AC, 又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA平面PAC.所以BC⊥AP. [答案] (1)AB,AC,BC (2)BC 9.如圖所示,已知空間四邊形ABCD的邊BC=AC,AD=BD,BE⊥CD于E,AH⊥BE于H,求證:AH⊥平面BCD. [證明]  取AB的中點(diǎn)F,連接CF,DF. ∵AC=BC,∴CF⊥AB. 又AD=BD,∴DF⊥A

6、B. ∵CF∩DF=F, ∴AB⊥平面CDF. 又CD平面CDF, ∴AB⊥CD. 又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE. 又AH平面ABE,∴CD⊥AH. 又AH⊥BE,且BE∩CD=E, ∴AH⊥平面BCD. 10.如圖所示,△ABC中,∠B為直角,P是△ABC外一點(diǎn),且PA=PB,PB⊥BC.若M是PC的中點(diǎn),試確定AB上點(diǎn)N的位置,使得 MN⊥AB. [解] ∵CB⊥AB,CB⊥PB,AB∩PB=B,∴CB⊥平面APB. 過M作ME∥CB,則ME⊥平面APB, ∴ME⊥AB.若MN⊥AB, ∵M(jìn)E∩MN=M,則AB⊥平面MNE, ∴A

7、B⊥EN.取AB中點(diǎn)D,連接PD, ∵PA=PB,∴PD⊥AB,∴NE∥PD. 又M為PC中點(diǎn),ME∥BC,∴E為PB中點(diǎn). ∵EN∥PD,∴N為BD中點(diǎn), 故當(dāng)N為AB的四等分點(diǎn)(AN=3BN)時(shí),MN⊥AB. 應(yīng)試能力等級練(時(shí)間25分鐘) 11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1上的點(diǎn),則下列直線中一定與CE垂直的是(  ) A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A [解析] ∵BD⊥AC,BD⊥A1A,AC∩A1A=A,∴BD⊥平面ACC1A1. 又∵CE平面ACC1A1,∴BD⊥CE. [答案] B 12.如圖,已知△A

8、BC為直角三角形,其中∠ACB=90°,M為AB中點(diǎn),PM垂直于△ABC所在平面,那么(  ) A.PA=PB>PC B.PA=PB0),PA⊥平面AC,且PA=1,若BC邊上存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD,則a的取值范圍是________. [解析] 因?yàn)镻A⊥平面AC,QD平

9、面AC,∴PA⊥QD. 又∵PQ⊥QD,PA∩PQ=P ∴QD⊥平面PAQ,所以AQ⊥QD. ①當(dāng)02時(shí),以AD為直徑的圓與BC相交于點(diǎn)Q1、Q2,此時(shí)∠AQ1D=∠AQ2D=90°,故BC邊上存在兩點(diǎn)Q(即Q1與Q2),使PQ⊥QD. 綜上所述,a的取值范圍為[2,+∞). [答案] [2,+∞)

10、 14.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)CF=λFD,則當(dāng)λ=________時(shí),D1E⊥平面AB1F. [解析] 當(dāng)λ=1時(shí),D1E⊥平面AB1F. 連接A1B、CD1,則A1B⊥AB1, A1D1⊥AB1,又A1D1∩A1B=A1,∴AB1⊥面A1BCD1 又D1E面A1BCD1, ∴AB1⊥D1E. 又DD1⊥平面BD ∴AF⊥DD1. 又AF⊥DE,∴AF⊥平面D1DE ∴AF⊥D1E. ∴D1E⊥平面AB1F. 即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)λ=1時(shí),D1E⊥平面AB1F. [答案] 1

11、 15.如圖,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn). (1)求證:MN∥平面PAD; (2)若AP=AD,求證:MN⊥平面PCD. [證明] (1)取PD的中點(diǎn)E,連接NE、AE,如圖. ∵N是PC的中點(diǎn), ∴NE綊DC. 又∵DC綊AB,AM=AB, ∴AM綊CD,∴NE綊AM, ∴四邊形AMNE是平行四邊形, ∴MN∥AE. ∵AE平面PAD,MN平面PAD, ∴MN∥平面PAD. (2)∵AP=AD,∴AE⊥PD. 又∵M(jìn)N∥AE,∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD. ∵AE平面PAD,∴CD⊥AE. ∴CD⊥MN,又CD∩PD=D, ∴MN⊥平面PCD. 7

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