2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練13 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 新人教A版選修2-3

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1、課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十三) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (時(shí)間45分鐘) 題型對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘) 題組一　n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 1．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率公式得P(X＝2)＝C2＝. [答案]　C 2．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則P(X＝3)等于(　　) A．C2× B．C2× C.2× D.2× [解析]　{X＝3}表示“第3次首次測(cè)到正品，而前兩次都沒(méi)有測(cè)到正品”，故其概率是2×.

2、[答案]　C 3．某學(xué)生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分．已知他解題的正確率為，若40分為最低分?jǐn)?shù)線，則該學(xué)生被選中的概率是(　　) A．C×4× B．C×5 C．C×4×＋C×5 D．1－C×3×2 [解析]　該學(xué)生被選中包括“該學(xué)生做對(duì)4道題”和“該學(xué)生做對(duì)5道題”兩種情形．故所求概率為C×4×＋C×5. [答案]　C 題組二　二項(xiàng)分布 4．下列隨機(jī)變量X不服從二項(xiàng)分布的是(　　) A．投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點(diǎn)數(shù)為6出現(xiàn)的次數(shù) B．某射手射中目標(biāo)的概率為p，設(shè)每次射擊是相互獨(dú)立的，X為從開始射擊到擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù) C．實(shí)力相等的甲、乙兩選手進(jìn)行

3、了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數(shù) D．某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為0.3，X表示下載n次數(shù)據(jù)電腦被病毒感染的次數(shù) [解析]　選項(xiàng)A，試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種：點(diǎn)數(shù)為6和點(diǎn)數(shù)不為6，且點(diǎn)數(shù)為6的概率在每一次試驗(yàn)中都為，每一次試驗(yàn)都是獨(dú)立的，故隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布；選項(xiàng)B，雖然隨機(jī)變量在每一次試驗(yàn)中的結(jié)果只有兩種，每一次試驗(yàn)事件相互獨(dú)立且概率不發(fā)生變化，但隨機(jī)變量的取值不確定，故隨機(jī)變量X不服從二項(xiàng)分布；選項(xiàng)C，甲、乙的獲勝率相等，進(jìn)行5次比賽，相當(dāng)于進(jìn)行了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故X服從二項(xiàng)分布；選項(xiàng)D，由二項(xiàng)分布的定義，可知被感染次數(shù)X～B(n,0.3)． [答案]　B

4、 5．將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)X服從的分布為(　　) A．X～B(5,0.5) B．X～B(0.5,5) C．X～B(2,0.5) D．X～B(5,1) [解析]　由題意為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)5次，每次發(fā)生的概率為，服從二項(xiàng)分布X～B(5,0.5)． [答案]　A 6．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通燈，假設(shè)在各個(gè)交通燈遇到紅燈的事件為相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列． [解]　由題意ξ～B，則 P(ξ＝0)＝C03＝， P(ξ＝1)＝C12＝， P(ξ＝2)＝C21＝， P(ξ＝3)＝C3＝. 所以隨機(jī)變量ξ的

5、分布列為 ξ 0 1 2 3 P 題組三　二項(xiàng)分布的應(yīng)用 7．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子n次，設(shè)出現(xiàn)k次點(diǎn)數(shù)為1的概率為Pn(k)，若n＝20，則當(dāng)Pn(k)取最大值時(shí)，k為(　　) A．3 B．4 C．8 D．10 [解析]　擲一枚質(zhì)地均勻的骰子20次，其中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)為X，X～B，Pn(k)＝C·20－k·k，＝，當(dāng)1≤k≤3時(shí)，>1，Pn(k)>Pn(k－1)． 當(dāng)k≥4時(shí)，<1，Pn(k)

6、故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行，要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是________． [解析]　4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Cp3·(1－p)＋p4,2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2，要使Cp3(1－p)＋p4>p2，必有

7、解]　(1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”， 則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB＋”，且事件A、B相互獨(dú)立． 故(AB＋) ＝P(A)P(B)＋P()P() ＝×＋×＝. (2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～B， 則P(ξ＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)． 故變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 綜合提升練(時(shí)間25分鐘) 一、選擇題 1．某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每天每個(gè)員工上網(wǎng)的概率是0.5(相互獨(dú)立)，則一天內(nèi)至少3個(gè)人同時(shí)上網(wǎng)的概率為(　　)

8、 A. B. C. D. [解析]　設(shè)X為同時(shí)上網(wǎng)的人數(shù)，則X～B(6,0.5)．于是一天內(nèi)k個(gè)人同時(shí)上網(wǎng)的概率為P(X＝k)＝C×0.5k×(1－0.5)6－k＝C×0.56＝C，故“一天內(nèi)至少有3人同時(shí)上網(wǎng)”的概率為P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝(C＋C＋C＋C)＝×(20＋15＋6＋1)＝. [答案]　C 2．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是(　　) A.5 B．C×5 C．C×3 D．C×C×5 [

9、解析]　如圖，由題可知，質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)3次才能位于點(diǎn)(2,3)，問(wèn)題相當(dāng)于5次重復(fù)試驗(yàn)中向右恰好發(fā)生2次的概率．所求概率為P＝C×2×3＝C×5.故選B. [答案]　B 3．口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，每次有放回地摸取一個(gè)球，定義數(shù)列{an}，an＝，如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為(　　) A．C×2×5 B．C×2×5 C．C×2×5 D．C×2×2 [解析]　由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取紅球，5次摸取白球，而每次摸取紅球的概率為，摸取白球的概率為，則S7＝3的概率為C×2×5，故選B. [答案]　B 二、填

10、空題 4．一只螞蟻位于數(shù)軸x＝0處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為，則3秒后，這只螞蟻在x＝1處的概率為________． [解析]　由題意知，3秒內(nèi)螞蟻向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，向右移動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以螞蟻在x＝1處的概率為C×2×1＝. [答案]　 5．如果X～B，Y～B，那么當(dāng)X，Y變化時(shí)，下面關(guān)于P(X＝xk)＝P(Y＝y(tǒng)k)成立的(xk，yk)的個(gè)數(shù)為________． [解析]　根據(jù)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)可知，(xk，yk)分別為(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21個(gè)． [答案]　21 三、解答

11、題 6．甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件是一等品的概率分別為0.7,0.6,0.8，乙、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)相等，甲機(jī)床加工的零件數(shù)是乙機(jī)床加工的零件數(shù)的2倍． (1)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一件檢驗(yàn)，求至少有一件一等品的概率； (2)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取一件檢驗(yàn)，求它是一等品的概率； (3)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取4件檢驗(yàn)，其中一等品的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列． [解]　(1)設(shè)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中任取一件是一等品分別為事件A，B，C， 則P(

12、A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一件檢驗(yàn)，至少有一件一等品的概率為 P＝1－P()P()P()＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取一件檢驗(yàn)，它是一等品的概率為 P＝＝0.7. (3)依題意抽取的4件樣品中一等品的個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4，則 P(X＝0)＝C×0.34＝0.0081， P(X＝1)＝C×0.7×0.33＝0.0756， P(X＝2)＝C×0.72×0.32＝0.2646， P(X＝3)＝C×0.73×0.3＝0.4116

13、， P(X＝4)＝C×0.74＝0.2401， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 7．如圖，一個(gè)圓形游戲轉(zhuǎn)盤被分成6個(gè)均勻的扇形區(qū)域，用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分?jǐn)?shù)(箭頭指向兩個(gè)區(qū)域的邊界時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng))，且箭頭A指向每個(gè)區(qū)域的可能性都是相等的．在一次家庭抽獎(jiǎng)的活動(dòng)中，要求每位家庭派一名兒童和一位成年人先后分別轉(zhuǎn)動(dòng)一次游戲轉(zhuǎn)盤，得分情況記為(a，b)(假設(shè)兒童和成年人的得分互不影響，且每個(gè)家庭只能參加一次活動(dòng))．若規(guī)定：一個(gè)家庭的得分為參與游戲的兩

14、人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎(jiǎng)品． (1)求某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率； (2)若共有5個(gè)家庭參加家庭抽獎(jiǎng)活動(dòng)，記獲獎(jiǎng)的家庭數(shù)為X，求X的分布列． [解]　(1)某個(gè)家庭在游戲中獲獎(jiǎng)記為事件A，則符合獲獎(jiǎng)條件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)，共3種情況， ∴P(A)＝×＋×＋×＝. ∴某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率為. (2)由(1)知每個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率都是，5個(gè)家庭參加游戲相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． ∴X～B. ∴P(X＝0)＝C×0×5＝， P(X＝1)＝C×1×4＝， P(X＝2)＝C×2×3＝， P(X＝3)＝C×3×2＝， P(X＝4)＝C×4×1＝， P(X＝5)＝C×5×0＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 8