習題參考解答

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1、數(shù)學建模習題解答第一章 部分習題3(5). 決定十字路口黃燈亮的時間長度.4. 在1.3節(jié)“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎”的假設條件中，將四角的連線呈正方形改為長方形，其余不變，試構(gòu)造模型并求解.5. 模仿1.4節(jié)商人過河問題中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，作下面這個眾所周知的智力游戲：人帶著貓、雞、米過河，船除希望要人計劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當人不在場時貓要吃雞、雞要吃米，設計一個安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少.6. 利用1.5節(jié)表1和表3給出的1790-2000年的美國實際人口資料建立下列模型：(1) 分段的指數(shù)增長模型. 將時間分為若干段，分別確定增長率r.(2) 阻滯增長模型. 換

2、一種方法確定固有增長率r和最大容量xm .7. 說明1.5節(jié)中Logistic模型（9）可以表示為，其中t0是人口增長出現(xiàn)拐點的時刻，并說明t0與r，xm的關系.8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻t的人口為x(t)，t到t+t時間內(nèi)人口的增量與xm-x(t)成正比（其中為xm最大容量）. 試建立模型并求解. 作出解的圖形并與指數(shù)增長模型、阻滯增長模型的結(jié)果進行比較.9(3). 甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻不一定相同。甲乙之間一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，約有10天到達乙站

3、。問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時刻表是如何安排的。參考答案3(5). 司機看到黃燈后停車要有一定的剎車距離，設通過十字路口的距離為，汽車行駛速度為，則黃燈的時間長度應使距停車線之內(nèi)的汽車能通過路口，即其中s1可由試驗得到，或按照牛頓第二定律解運動方程，進一步可考察不同車重、不同路面及司機反應靈敏程度等因素的影響.4. 相鄰兩椅腳與地面距離之和分別定義為，將椅子旋轉(zhuǎn)，其余作法與1.3節(jié)相同.5. 人、貓、雞、米分別記為，當在此岸時記，否則記，則此岸的狀態(tài)可用表示。記的反狀態(tài)為，允許狀態(tài)集合為及他們的5個反狀態(tài)決策為乘船方案，記作，當在船上時記，否則記，允許決策集合為記第次渡河前此岸的狀態(tài)為，第

4、次渡河的決策為，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移律為，設計安全過河方案歸結(jié)為求決策序列，使狀態(tài)按狀態(tài)轉(zhuǎn)移律由初始狀態(tài)經(jīng)步達到。一個可行的方案如下：123456786(1). 分段的指數(shù)增長模型 根據(jù)1.5節(jié)表3中的增長率將時間分為三段：1790年至1880年平均年增長率2.83%； 1890年至1960年平均年增長率1.53%； 1970年至2000年平均年增長率1.12% . 三段模型為（1790年為t=0，1880年為t=1， ）x1(t)=3.9e0.283t ，t=0,1, ,10 x2(t)=x1(10) e0.153(t-10) ，t=11,12, ,18 x3(t)= x2(18) e0112(t-1

5、8) ，t=19,20, ,22 6(2). 阻滯增長模型 可以用實際增長率數(shù)據(jù)中前5個的平均值作為固有增長率r，取某些專家的估計400百萬為最大容量xm，以1790年的實際人口為x0，模型為1.5節(jié)的(9)式。以上兩個模型的計算結(jié)果見下表：年17901800181018201830184018501860實際人口3.95.37.29.612.917.123.231.4模型（1）3.95.26.99.112.116.121.328.3模型（2）3.95.27.09.412.616.722.229.3（續(xù)表）年18701880189019001910192019301940實際人口38.650.

6、262.976.092.0106.5123.2131.7模型（1）37.549.866.177.089.7104.6121.9142.0模型（2）38.449.964.181.2101.3124.1149.0174.9（續(xù)表）年195019601970198019902000實際人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型（1）165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型（2）200.9225.8248.6268.7285.9300.17.注意到t=t0時, 立即可得，且， .8.其中r為比例系數(shù)。解上述初值問題得: ，如下圖中實線所示：xmtx0

7、x0 xm/2當t充分大時，它與Logistic模型相近。9(3). 不妨設從甲到乙經(jīng)過丙站的時刻表是：8:00, 8:10, 8:20, , 那么從乙到甲經(jīng)過丙站的時刻表應該是：8:09, 8:19, 8:29, . 第二章部分習題3. 在2.5節(jié)中考慮8人艇分重量級組（槳手體重不超過86kg）和輕量級組（槳手體重不超過73kg）建立模型說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%9. 用寬布條纏繞直徑的圓形管道，要求布條不重疊，問布條與管道軸線的夾角應多大（如圖）。若知道長度，需用多長的布條（可考慮兩端的影響）。如果管道是其它形狀呢16. 雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關，其中粘滯

8、系數(shù)的定義是：運動物體在六題中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式17. 原子彈爆炸時巨大的能量從爆炸點以沖擊波形式向四周傳播，據(jù)分析在時刻沖擊波達到的半徑與釋放的能量，大氣密度，大氣壓強有關（設時）用量綱分析方法證明，是未定函數(shù)參考答案3. 由模型假設3，劃槳功率與體重成正比，而槳手數(shù)不變，所以2.5節(jié)（2）式改為。記重量級組和輕量級組的體重、艇速、比賽成績和艇的浸沒面積分別為，則。估計的大?。褐亓考壗M體重大，會使浸沒面積增加，單艇身略大，又會使浸沒面積減少，因而不會超過1.05。代入，可得.9. 將管道展開如圖，可得，若一定，若管道

9、長度為，不考慮兩端的影響時布條長度顯然為，若考慮兩端的影響，則應加上，對于其他形狀管道，只需將改為相應的周長即可 16. 設 解得于是，是未定函數(shù).17. 設 解得 于是 .第三章部分習題1. 在3.1節(jié)存儲模型的總費用中增加購買貨物本身的費用，重新確定最優(yōu)定貨周期和定貨批量。證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)定貨周期和定貨批量都比原來結(jié)果減小3. 在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關，試假設一個合理的函數(shù)關系，重新求解模型。4. 在3.4節(jié)最優(yōu)價格模型中，如果考慮到成本隨著產(chǎn)量的增加而降低，試做出合理的假設，重新求解模型。7.

10、 要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學，模型討論是否跑都越快，淋雨量越少。將人體簡化成一個長方體，高（頸部以下），寬厚，設跑步距離跑步最大速度，雨速 ，降雨量，記跑步速度為，按以下步驟進行討論； （1）不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量 （2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1建立總淋雨量與速度及參數(shù)之間的關系，問速度多大，總淋雨量最少，計算時的總淋雨量。 （3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2建立總淋雨量與速度及參數(shù)之間的關系，問速度多大，總淋雨量最

11、少，計算時的總淋雨量。 （4）以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實際意義。 （5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化。參考答案1. 設購買單位重量貨物的費用為，對于不允許缺貨模型，每天平均費用為，的最優(yōu)結(jié)果不變，對于允許缺貨模型，每天平均費用為，利用，可求出的最優(yōu)結(jié)果為 ，均不考慮費用時的結(jié)果減小.3. 不妨設，表示火勢越大，滅火速度越小，分母中的1是防止時而加的，最優(yōu)解為 .4. 不妨設，是產(chǎn)量增加一個單位時成本的降低，最優(yōu)價格為.7. 1) 全身面積，淋雨時間，降雨量，所以總淋雨量升2) 頂部淋雨量；雨速水平分量，方向與相反，合速度，迎

12、面單位時間、單位面積的淋雨量，迎面淋雨量，所以總淋雨量。時最小，升。升。3) 與2）不同的是，合速度為，于是總淋雨量，若即，則時最小。否則時最小（見下圖）當升最小，可與升相比.4) 雨從背面吹來，只要不太大，滿足（即可），最小，此時人體背面不淋雨，只有頂部淋雨.5) 再用一個角度表示雨的方向，應計算側(cè)面的淋雨量，問題本質(zhì)上沒有變化.第四章部分習題2. 一家出版社準備在某市建立兩個銷售代理點，向7個區(qū)的大學生售書，每個區(qū)的大學生數(shù)量（單位：千人）已經(jīng)表示在圖上，每個銷售代理點只能向本區(qū)和一個相鄰區(qū)的大學生售書，這兩個銷售代理點應該建在何處，才能使所供應的大學生的數(shù)量最大？建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃

13、模型并求解3. 某儲蓄所每天的營業(yè)時間是上午9:00到下午5:00,根據(jù)經(jīng)驗，每天不同時間段所需要的服務員數(shù)量如下：時間段（時）9101011111212112233445服務員數(shù)量43465688儲蓄所可以雇傭全時和半時兩類服務員，全時服務員每天報酬100元，從上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之間必須安排1小時的午餐時間，儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時服務員，每個半時服務員必須連續(xù)工作4小時，報酬40元，問該儲蓄所應該如何雇傭全時和半時兩類服務員？如果不能雇傭半時服務員，每天至少增加多少費用？如果雇傭半時服務員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費用？6. 某公

14、司將4種不同含硫量的液體原料（分別記為甲、乙、丙、?。┗旌仙a(chǎn)兩種產(chǎn)品（分別記為A，B），按照生產(chǎn)工藝要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別與原料丙混合生產(chǎn)A、B。已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別是3，1，2，1（%），進貨價格分別為6，16，10，15（千元/噸）；產(chǎn)品A、B的含硫量分別不能超過2.5，1.5（%）,售價分別為9，15（千元/噸），根據(jù)市場信息，原料甲、乙、丙的供應量有限制，原料丁的供應量最多為50噸；產(chǎn)品A、B的市場需求分別為100，200噸，問應如何安排生產(chǎn)？參考答案2. 將大學生數(shù)量為34，29，42，21，56，18，71的區(qū)分別標號為1

15、，2，3，4，5，6，7區(qū)，劃出區(qū)與區(qū)之間的如下相鄰關系圖： 記為第區(qū)的大學生人數(shù)，用0-1變量表示區(qū)的大學生由一個銷售代理點供應圖書，否則,建該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型 即 用LINDO求解得到：最優(yōu)解為（其他為0）最優(yōu)值為177千人.3. 設儲蓄所每天雇傭的全時服務員中以12：00為午餐時間的有名，以1：002：00為午餐時間的有名；半時服務員中從9：00，10：00，11：00，12：00，1：00開始工作的分別為名，列出模型：(1) 求解得到最優(yōu)解,最小費用為820元。(2) 如果不能雇傭半時服務員，則最優(yōu)解為，最小費用為1100遠，即每天至少增加1100-820=280元。(3) 如果

16、雇傭半小時服務員的數(shù)量沒有限制，則最優(yōu)解為，最小費用為560元，既每天可以減少820-560=260元。6. 設分別是產(chǎn)品中是來自混合池和原料丙的噸數(shù)，分別是產(chǎn)品中是來自混合池和原料丙的噸數(shù)；混合池中原料甲乙丙所占的比例分別為。優(yōu)化目標是總利潤最大，即約束條件為:1)原料最大供應量限制：2) 產(chǎn)品最大需求量限制：3) 產(chǎn)品最大含硫量限制： 對產(chǎn)品，即對產(chǎn)品B, 4)其他限制：用求解得到結(jié)果為：其余為0；目標函數(shù)值為450 .第五章部分習題1. 對于5.1節(jié)傳染病的SIR模型，證明：（1）若，則先增加，在處最大，然后減少并趨于零；單調(diào)減少至。（2）若，則單調(diào)減少并趨于零，單調(diào)減少至。9. 在5.

17、6節(jié)人口的預測和控制模型中，總和生育率和生育模式是兩種控制人口增長的手段，試說明我國目前的人口政策，如提倡一對夫婦只生一個孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些規(guī)定，可以怎樣通過這兩種手段加以實施。*16. 建立鉛球擲遠模型，不考慮阻力，設鉛球初速度為，出手高度為出手角度為（與地面夾角），建立投擲距離與的關系式，并在一定的條件下求最佳出手角度。參考答案1. 模型（14）式可寫作由后一方程知單調(diào)減少。1) 若 ，當時，增加；當時，達到最大值；當時，減少且2) 若，單調(diào)減少至零9. 一對夫妻只生一個孩子，即總和生育率；晚婚晚育相當于生育模式中（5。6節(jié)（13）式）使和增大；生育第2胎一些規(guī)定可相當于略

18、高于1，且曲線（5。6節(jié)圖19）扁平一些（規(guī)定生2胎要間隔多少年）*16. 在圖中坐標下鉛球運動方程為解出，后，可以求得鉛球擲遠為這個關系還可表為由此計算，得最佳出手角度，和最佳成績設，則，.第六章部分習題2. 與模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是模型；，其中和的意義與模型相同。 設漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為，討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度和漁場魚量水平3. 在6.3節(jié)種群競爭模型中設，求平衡點并分析其穩(wěn)定性11. 一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物，爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存，在適當

19、假設下建立三者之間關系的模型，求平衡點12. 大陸上物種數(shù)目可以看作常數(shù)，各物種獨立地從大陸向附近一島嶼遷移，島上物種數(shù)量的增加與尚未遷移的物種數(shù)目有關，而隨著遷移物種的增加又導致島上物種的減少，在適當假設下建立島上物種數(shù)的模型，并討論穩(wěn)定狀況。參考答案2. 模型為：，如圖所示，有2個平衡點：和?？勺C不穩(wěn)定，穩(wěn)定（與的大小無關）最大持續(xù)產(chǎn)量為，獲得的3. 在條件下，記即。有3個平衡點：，。不穩(wěn)定；時，不穩(wěn)定，穩(wěn)定；時，反之11. 植物、哺乳動物、爬行動物的數(shù)量分別記作，若不考慮自然資源對植物生長的限制，則模型為式中常數(shù)可作類似6.5節(jié)的解釋，平衡點為點中和的結(jié)果與6.5節(jié)相同。12. 記島上物

20、種數(shù)為，大陸上物種數(shù)為。設的增加率與尚未遷移的物種數(shù)成正比，同時的減少率與已遷移的物種數(shù)成正比，則穩(wěn)定狀態(tài)時.第七章部分習題1(1). 對于7.1節(jié)的蛛網(wǎng)模型討論：因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第可時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定。如果仍設仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并于7.1節(jié)的結(jié)果進行比較6. 在7.4節(jié)按年齡分組的種群增長模型中，證明當時間充分長以后若總和繁殖率，則種群增長，若則種群減少。參考答案1(1). 簡單地假設由和的平均值決定，模型為得，與7.1節(jié)（B）的結(jié)果相同，平衡點穩(wěn)定的條件仍為.6. 由7.4節(jié)定理1及（11）式可知，是的充

21、分條件。又因（11）式可寫作：，所以當時，必有；當時，。反之，亦有時；時。再由（15）式即得時，種群增長；時種群減少.第八章部分習題2. 對于n階成比例陣,設a=,其中是對應與最大特征根的特征向量，表示a在一致性附近的擾動，若為方差的隨機變量，證明一致性指標5. 為減少層次分析法中的主觀成分，可請若干專家每人構(gòu)造成對比較陣，試給出一種由若干個成對比較陣確定權(quán)向量的方法7. 右圖是5位網(wǎng)球選手循賽的結(jié)果。作為競賽圖，它是雙和向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當排出5位選手的名次。16. 奇數(shù)個席位的理事會由三派組成，議會表決實行過半數(shù)通過方案，證明在任一派都不能操縱表決的條件下，三派占有的席位不

22、論多少，他們在表決中的權(quán)重都是一樣的。參考答案2. 記的特征根為，由和可得。注意到，一致性指標為5. 設有個專家的成對比較矩陣，要給出綜合的權(quán)向量，方法很多，如方法一：由求出權(quán)向量。再求幾何平均值， 是第個專家的加權(quán)因子，滿足最后歸一化為 .方法二：先取的幾何平均，得到綜合的成對比較陣，同上，再由計算權(quán)向量 .7. 競賽圖是雙向連通的，等都是完全路徑，圖的鄰接矩陣為：各級得分向量為。由此可知，名次為（選手1和4名次相同）。這個結(jié)果也可由計算的最大特征根和對應特征向量得到.16. 設三派的席位分別為，記（奇數(shù)），任一派不能操縱表決，即，于是，即任兩派的席位過半數(shù)。顯然三派的權(quán)重都是一樣的各占.第

23、九章部分習題4. 商店要訂購一批商品零售，設購進價c1，售出價c2，訂購費c0（與數(shù)量無關），隨機需求量r的概率密度為p( r ),每件商品的貯存費為c3（與時間無關），問如何確定訂購量才能使商品的平均利潤最大，這個平均利潤是多少。為使這個平均利潤為正值，需要對訂購費c0加什么限制.7. 在9。4節(jié)給出的例子中，若l=2.0m不變，現(xiàn)均方差減為=10.cm，問均值m應為多大，每得到一根成品材的浪費量多大（與原來的數(shù)值相比較）參考答案4. 設訂購量為，則平均利潤為的最優(yōu)值滿足最大利潤為為使這個利潤為正值，應有7. 解（13）得。再由（11），（18）式，此即最佳均值又可算出，每一根成品材的浪費量

24、為，比原來的減少甚多.第十章部分習題7. 下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（元）的數(shù)據(jù)，從散點圖可以明顯地發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時，單位成本對生產(chǎn)批量服從一種線性關系，生產(chǎn)批量超過500時服從另一種線性關系，此時單位成本明顯下降，希望你構(gòu)造一個合適的回歸模型全面地描述生產(chǎn)批量與單位成本的關系.生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50參考答案7. 生產(chǎn)批量與單位成本分別記作和，為表示在500以上和以下時，與的不同關系，引入一個虛擬變量，令，建立線性回歸模型

25、，得到的結(jié)果為參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間生產(chǎn)批量小于500時，每增加一個單位批量，單位成本降低0.0047元；生產(chǎn)批量超過500時，每增加一個單位批量，單位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元從散點圖看，似乎也可以擬合的二次回歸模型，不妨一試.第十一章部分習題1. 在11.2節(jié)中將鋼琴銷售的存貯策略修改為：當周末庫存量為0或1時訂購，使下周的庫存量達到3架；否則不訂購。建立馬氏鏈模型，計算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量.7. 設等級結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣仍由11.4節(jié)（16）式給出，理想的結(jié)構(gòu)為，證明（穩(wěn)定域），若初始結(jié)構(gòu)為用11.4節(jié)介紹的問題的解法求調(diào)入比例，使盡量接近.參考

26、答案1. 仍以第周初的庫存量為狀態(tài)，需求概率不變，容易算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為。穩(wěn)態(tài)概率分布為，穩(wěn)態(tài)下失去銷售機會的概率，每周的平均銷售量7. 由11.4節(jié)（17）式可立即驗證。在所給的數(shù)據(jù)下，可以算出，故令，再由，確定。因，故令，由重新確定，故。即調(diào)入比例，可使盡量接近，不難算出 .第十二章部分習題1. 在12.2節(jié)生產(chǎn)計劃制訂模型中，當時求最優(yōu)解。圖5中的確定可視為曲線始端在直線上變動的泛函極值問題.參考答案1. 當，即時，原邊界條件應改成。橫截條件為，由此可得。求解得如圖示:第十三章部分習題4. 證明紅綠燈模型中左右間斷線和當足夠大后以相同速度向前移動參考答案4. 對于右間斷線，由13.2節(jié)（2），（12）可得（與（21）式相同）定解條件為。解為，其中，于是當足夠大時，與（25）式表示的相同.