2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)35 歸納與類比 文（含解析）北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(三十五)　 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(　　) A．大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：π是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù) B．大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無(wú)理數(shù) C．大前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：π是無(wú)理數(shù) D．大前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù) B　[A中小前提不正確，C，D都不是由一般性結(jié)論到特殊性結(jié)論的推理，所以A，C，D都不正確，只有B的推導(dǎo)過程符

2、合演繹推理三段論形式且推理正確．] 2．觀察下列事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為(　　) A．76　　　B．80　　　C．86　　　D．92 B　[觀察已知事實(shí)可知，|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為20×4＝80，故選B.] 3．(2019·湖南師大附中模擬)已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，觀察下列算式： a1·a2＝log23·log34＝·＝2； a1a2a3a

3、4a5a6＝log23·log34…log78＝·…＝3； 若a1a2…am＝2 016(m∈N*)，則m的值為(　　) A．22 016＋2 B．22 016 C．22 016－2 D．22 016－4 C　[因?yàn)閍1a2…am＝log23log34…logm＋1(m＋2)＝·…＝＝2 016，所以有l(wèi)og2(m＋2)＝2 016，m＝22 016－2，選C．] 4．(2019·新余模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周盒體而無(wú)所失矣．”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達(dá)式1＋中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原

4、式卻是個(gè)定值，它可以通過方程1＋＝x求得x＝.類似上述過程，則＝(　　) A．3 B． C．6 D．2 A　[由題意結(jié)合所給的例子類比推理可得，＝x(x≥0)， 整理得(x＋1)(x－3)＝0，則x＝3， 即＝3.故選A．] 5．老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下： 甲說：“我們四人都沒考好”； 乙說：“我們四人中有人考的好”； 丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”； 丁說：“我沒考好”． 結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則四名學(xué)生中說對(duì)的兩人是(　　) A．甲、丙 B．乙、丁 C．丙、丁 D．乙、丙

5、D　[甲、乙兩人說話矛盾，必有一對(duì)一錯(cuò)，如果丁正確，則丙也是對(duì)的，所以丁錯(cuò)誤，可得丙正確，此時(shí)乙正確，故選D.] 二、填空題 6．已知點(diǎn)A(x1，x)，B(x2，x)是函數(shù)y＝x2的圖像上任意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論＞2成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖像上任意不同的兩點(diǎn)，則類似地有結(jié)論________成立． ＜sin 　[函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖像上任意不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的下方，類比可知

6、應(yīng)有＜sin .] 7．(2017·北京高考)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； ②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； ③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)． (1)若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為________； (2)該小組人數(shù)的最小值為________． 6　12　[(1)若教師人數(shù)為4，則男學(xué)生人數(shù)小于8，最大值為7，女學(xué)生人數(shù)最大時(shí)應(yīng)比男學(xué)生人數(shù)少1人，所以女學(xué)生人數(shù)的最大值為7－1＝6. (2)設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x(x∈N*)，要求該小組人數(shù)的最小值，則女學(xué)生人數(shù)為x－1，教師人數(shù)為x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即

7、x＝5，該小組人數(shù)的最小值為5＋4＋3＝12.] 8．某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度相等，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖． 則n級(jí)分形圖中共有________條線段． 3×2n－3　[由題圖知， 一級(jí)分形圖有3＝3×2－3條線段， 二級(jí)分形圖有9＝3×22－3條線段， 三級(jí)分形圖有21＝3×23－3條線段， … 按此規(guī)律，n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an＝3×2n－3(n∈N*)．] 三、解答題 9．設(shè)f(x)＝，先分別

8、求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明． [證明]　f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋＝＋＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝， f(－2)＋f(3)＝，并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1. 歸納猜想得：當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)， 均有f(x1)＋f(x2)＝. 證明：設(shè)x1＋x2＝1， f(x1)＋f(x2)＝＋ ＝＝ ＝＝＝. 10．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin

9、 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． [解]　(1)選擇②式，計(jì)算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30° ＝1－＝. (2)法一：三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos

10、(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 法二：三角恒等式為 sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30° cos α

11、＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. B組　能力提升 1．平面內(nèi)凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，以此類推，凸13邊形對(duì)角線的條數(shù)為(　　) A．42　　　B．65　　　C．143　　　D．169 B　[可以通過列表歸納分析得到． 凸多邊形 4 5 6 7 8 … 對(duì)角線條數(shù) 2 2＋3 2＋3＋4 2＋3＋4＋5 2

12、＋3＋4＋5＋6 … ∴凸13邊形有2＋3＋4＋…＋11＝＝65條對(duì)角線．故選B.] 2．(2019·南昌模擬)平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊長(zhǎng)為，直角頂點(diǎn)到斜邊的距離為，空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為，則三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為(　　) A． B． C． D． C　[設(shè)三棱錐兩兩垂直的三條側(cè)棱長(zhǎng)度為a，b，c，三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為d，由題意可得： ××c＝××d，據(jù)此可得：d＝，且ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3，故：a2b2c2＝8S1S2S3，abc＝2，則d＝＝，故選C．] 3．甲、

13、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后互相交換．三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最后讀的書與丙讀的第二本書相同．”乙說：“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同．”根據(jù)以上說法，推斷乙讀的最后一本書是________讀的第一本書． 丙　[因?yàn)楣灿腥緯易x的第一本書與第二本書已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書．] 4．對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)

14、”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)， (1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心； (2)計(jì)算f＋f＋f＋f＋…＋f. [解]　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.f＝×3－×2＋3×－＝1.由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對(duì)稱中心為. (2)由(1)知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對(duì)稱中心為，所以f＋f＝2， 即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f＋f＝2， f＋f＝2， f＋f＝2， … f＋f＝2. 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 018＝2 018. - 7 -