2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 第4講不等式教案

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1、 第4講　不等式 真題感悟 1．(2012·浙江)若正數(shù)x、y滿(mǎn)足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是 A.　　　 B. C．5　　　 D．6 解析　將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求解． ∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＝＋ ≥＋×2＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，∴3x＋4y的最小值為5. 答案　C 2．(2012·江西)某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表： ? 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價(jià) 黃瓜

2、 4噸 1.2萬(wàn)元 0.55萬(wàn)元 韭菜 6噸 0.9萬(wàn)元 0.3萬(wàn)元 為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷(xiāo)售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為 A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50 解析　線性規(guī)劃問(wèn)題利用可行域求最優(yōu)解． 設(shè)種植黃瓜x(chóng)畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.9y的最大值，根據(jù)題意畫(huà)可行域如圖陰影所示． 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點(diǎn)E(30,20)處時(shí)，目標(biāo)取得最大值，即當(dāng)黃瓜30畝，韭菜20畝時(shí)，種植總利潤(rùn)最大． 答案　B 考題分析 利用基本不等式求最值是高考考查的重點(diǎn)，可單獨(dú)命

3、題，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)；也可以是解答題的一部分．解答這部分題目有時(shí)需要一定的技巧，線性規(guī)劃的題目一般不難，單獨(dú)命題，只要掌握基本方法即可． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：不等式的解法 【例1】 (1)(2012·揚(yáng)州模擬)函數(shù)f(x)＝則不等式f(2－x2)＞f(x)的解集是________． (2)在R上定義運(yùn)算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，則a＋b的值是 A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 [審題導(dǎo)引]　(1)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，脫掉“f”，轉(zhuǎn)化為二次不等式求解； (2)根據(jù)新定義的運(yùn)算，求

4、出不等式，由不等式解集的端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系可求a＋b. [規(guī)范解答]　(1)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象可知函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增， ∵f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x， 解得－2＜x＜1， 故不等式f(2－x2)＞f(x)的解集為(－2,1)． (2)不等式(x－a)?(x－b)＞0， 即不等式(x－a)[1－(x－b)]＞0， 即不等式(x－a)[x－(b＋1)]＜0.因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁?2,3)，說(shuō)明方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，即a＋b＝4.故選C. [答案]　(1)(－2,1)　(2)C 【

5、規(guī)律總結(jié)】 不等式的解法 (1)求解一元二次不等式的基本思路是：先化為一般形式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)，即保證不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正值，在這種情況下寫(xiě)出的解集不易出錯(cuò)．再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，寫(xiě)出不等式的解集． (2)分式不等式、對(duì)數(shù)或指數(shù)不等式一般利用相關(guān)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解． 【變式訓(xùn)練】 1．(2012·威海模擬)f(x)＝若f(x0)＞1，則x0的取值范圍________． 解析　原不等式等價(jià)于 或解之得x0＜－1，或x0＞1. 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．(2012·宿州模擬)若函數(shù)f

6、(x)＝是奇函數(shù)，則滿(mǎn)足f(x)＞a的x的取值范圍是________． 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)， 即－1－a＝－(1－2)， ∴a＝－2，則不等式f(x)＞－2等價(jià)于 或 解得x≥0或－1－＜x＜0， 即x∈(－1－，＋∞)． 答案　(－1－，＋∞) 考點(diǎn)二：線性規(guī)劃 【例2】已知變量x、y滿(mǎn)足條件若目標(biāo)函數(shù)ax＋y(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是 A. B. C. D. [審題導(dǎo)引]　根據(jù)目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)a的幾何意義，結(jié)合可行域，可求a的范圍． [規(guī)范解答]　畫(huà)出x、y滿(mǎn)足條件的可行域

7、如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－，所以a＞.故選D. [答案]　D 【規(guī)律總結(jié)】 線性規(guī)劃問(wèn)題中參變量的特點(diǎn)與求解方法 含參變量的線性規(guī)劃問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧，增加了解題的難度．參變量的設(shè)置形式通常有如下兩種： (1)條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時(shí)畫(huà)圖分析的難度，求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要有全局觀念，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向； (2)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參變量，旨在增加探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性

8、．從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求解這類(lèi)問(wèn)題的主要思維方法． 【變式訓(xùn)練】 3．鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2排放量b及購(gòu)買(mǎi)每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如下表： ? a b(萬(wàn)噸) c(百萬(wàn)元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過(guò)2(萬(wàn)噸)，則購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的費(fèi)用最少為 A．14百萬(wàn)元 B．15百萬(wàn)元 C．20百萬(wàn)元 D．以上答案都不對(duì) 解析　設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種鐵礦石x萬(wàn)噸，B種鐵礦石y萬(wàn)噸．則由題意，可知x、y所滿(mǎn)足的條件為整理

9、，得 則購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用z＝3x＋6y(百萬(wàn)元)． 如圖，作出不等式組所表示的可行域，目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義是直線z＝3x＋6y在y軸上的截距的6倍，故當(dāng)直線z＝3x＋6y在y軸上的截距最小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，顯然直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為z＝3×1＋2×6＝15(百萬(wàn)元)．故選B. 答案　B 考點(diǎn)三：基本不等式及應(yīng)用 【例3】 (1)(2012·梧州模擬)a，b∈R，a＞b且ab＝1，則的最小值等于________． (2)(2012·郴州模擬)若正實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足：＋＝，則x、y的取值范圍為_(kāi)_______． [審題導(dǎo)引]　(1)解題的關(guān)鍵是把原式變形

10、，使兩項(xiàng)的積為定值，然后利用基本不等式求解； (2)把條件中的等式利用基本不等式轉(zhuǎn)化為含x、y的不等式并求解． [規(guī)范解答]　(1)＝ ＝a－b＋， ∵a＞b，∴a－b＞0，則a－b＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝，即a－b＝時(shí)等號(hào)成立． (2)由＋＝，得xy－3＝x＋y， 又x＋y≥2，∴xy－3≥2， 即()2－2－3≥0，(－3)(＋1)≥0， ∴－3≥0，∴xy≥9. [答案]　(1)2　(2)xy≥9 【規(guī)律總結(jié)】 利用基本不等式求最值的技巧 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不

11、等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．而“定”條件往往是整個(gè)求解過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)和關(guān)鍵．解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知條件適當(dāng)進(jìn)行添(拆)項(xiàng)，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件． 【變式訓(xùn)練】 4．(2012·海淀模擬)已知函數(shù)f(x)＝mx－1＋1(其中m＞0，且m≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，而點(diǎn)A恰好在直線2ax＋by－2＝0上(其中ab＞0)，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析　已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)， 據(jù)題意知2a＋2b－2＝0， 即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立． 5．(2012·蘭州模擬)在平

12、面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P在曲線xy＝1(x＞0)上，點(diǎn)P在x軸上的射影為M.若點(diǎn)P在直線x－y＝0的下方，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析　設(shè)P，M(x,0)， ∵點(diǎn)P在直線x－y＝0的下方，∴x＞，即x＞1. ∴＝＝ ＝x－＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x－＝， 即x＝時(shí)，等號(hào)成立， 故P. 答案　 名師押題高考 【押題1】若關(guān)于x的不等式|x－m|≤|2x＋1|在R上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值為_(kāi)_______． 解析　由不等式|x－m|≤|2x＋1|恒成立得，(x－m)2≤(2x＋1)2恒成立， 即3x2＋(2m＋4)x＋1－m2≥0， 于是應(yīng)有Δ

13、＝(2m＋4)2－12(1－m2)≤0， 即(2m＋1)2≤0，因此必有m＝－. 答案?。? [押題依據(jù)]　不等式的解法是高考的必考內(nèi)容之一，要求不高，但需熟練掌握．本題涉及絕對(duì)值不等式、二次不等式的恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，但難度較小，故押此題． 【押題2】　(2012·湘西模擬)已知向量a＝(x，－2)，b＝(y,1)，其中x，y都是正實(shí)數(shù)，若a⊥b，則t＝x＋2y的最小值是________． 解析　∵a⊥b，∴a·b＝xy－2＝0，即xy＝2. ∴t＝x＋2y≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，即x＝2，y＝1時(shí)等號(hào)成立． 答案　4 [押題依據(jù)]　利用基本不等式求最值是高考的熱點(diǎn)之一．本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能用基本不等式求解的形式，突出了轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，故押此題． - 6 -