2020版高考數學二輪復習 專題限時集訓3 等差數列、等比數列 理

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1、專題限時集訓(三)　等差數列、等比數列 [專題通關練] (建議用時：30分鐘) 1．[一題多解]已知{an}為等差數列，其前n項和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d等于(　　) A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3 C　[法一：(基本量法)由題設得解得故選C. 法二：(性質法)因為S3＝＝12，所以a1＋a3＝8，所以2a2＝8，即a2＝4.又a3＝6，故公差d＝a3－a2＝6－4＝2.故選C.] 2．設Sn為等差數列{an}的前n項和，且2＋a5＝a6＋a3，則S7＝(　　) A．28 B．14 C．7 D．2 B　[∵{an}是等差數列，∴a3＋a6＝a

2、4＋a5＝a5＋2， ∴a4＝2. ∴S7＝7a4＝7×2＝14.故選B.] 3．[易錯題]在等比數列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則的值為(　　) A．2 B．4 C．±2 D．±4 A　[∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根， ∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均為正，∴a9＝a3q6＞0.由等比數列的性質知，a1a17＝a＝a3a15＝8，∴a9＝2，＝2，故選A.] 4．設公比為q(q>0)的等比數列的前n項和為Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1等于(　　) A．－2 B．－1 C

3、. D. B　[S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2 ，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，當q＝ 時，代入S2＝3a2＋2， 得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，故選B.] 5．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數n的值為(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 C　[∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差數列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0, a1＋a13＝2a7<0，∴

4、S12>0，S13<0，∴滿足Sn>0的最大自然數n的值為12.] 6．[易錯題]已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且a2＝，S3＝，則公比q＝________. 1　[(1)當公比q＝1時，S3＝3a1＝3a2＝，滿足題意． (2)當公比q≠1時，由S3＝a1＋a2＋a3＝，可知a1＋a3＝3，∴＋＝3得q＝1(舍去)． 綜上可知，q＝1.] 7．(2019·武漢模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，則m＝________. 1 010　[設公差為d，由題知S3＝a5，即3a1＋3d＝a1＋4d，又a1＝1，故d＝2，于是an＝

5、1＋2(n－1)＝2n－1，再由2m－1＝2 019，得m＝1 010.] 8．若等差數列{an}滿足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大． 8　[∵{an}成等差數列，∴由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0， 又a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0，故a8＞0，a9＜0， ∴當n＝8時，Sn最大．] [能力提升練] (建議用時：20分鐘) 9．(2019·馬鞍山二模)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差數列，則Sn與an的關系是(　　) A．Sn＝2an－1 B．Sn＝2an＋1 C

6、．Sn＝4an－3 D．Sn＝4an－1 A　[設等比數列的公比q(q＞0)，由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差數列，得2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2，∴an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，則Sn＝2an－1.故選A.] 10．已知數列{an}是等比數列，數列{bn}是等差數列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan＝________. －　[∵{an}是等比數列，{bn}是等差數列， 且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π， ∴a＝()3,3b6＝7π， ∴a6＝，b6＝， ∴tan＝tan ＝tan＝tan＝－.] 1

7、1．已知數列{an}滿足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，則an取最小值時n的值為________． 10或11　[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，兩邊同時除以n(n＋1)，得－＝2，所以數列是首項為－40、公差為2的等差數列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，對于二次函數f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5時，f(x)取得最小值，因為n取正整數，且10和11到10.5的距離相等，所以n取10或11時，an取最小值．] 12．(2019·長春三模)已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋3×2n

8、，a1＝2，數列{bn}滿足bn＋1＝bn＋2n＋1，b1＝1. (1)證明：數列是等差數列； (2)求數列{bn}的通項公式． [解](1)證明：根據題意，數列{an}滿足an＋1＝2an＋3×2n， 等式兩邊除以2n＋1得＝＋， 故數列是以＝1為首項，為公差的等差數列． (2)根據題意，由bn＋1＝bn＋2n＋1得bn＋1－bn＝2n＋1， 則bn－bn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1， 則bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 ＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2. 題號 內容 押題依據 1 等差數列基本量的

9、運算，等差數列的性質 以等差數列為載體，考查數列中“知三求二”的基本量求法，考查等價轉化能力和解方程的意識，具有較好的代表性 2 等比數列的概念，等差(比)數列的前n項和公式 以數列遞推關系為載體，考查等差(比)數列的基本概念及判定方法，考查考生的邏輯推理及數學運算能力 【押題1】　正項等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a3＋a7－a＋15＝0，且Sn＝45，則n＝(　　) A．8　　　　　 B．9 C．10 D．11 B　[因為{an}是正項等差數列，a3＋a7－a＋15＝0， 所以a－2a5－15＝0，解得a5＝5(a5＝－3舍去)． 設{an}的公差為d

10、，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝5，解得d＝1. 所以Sn＝＝＝＝45，即(n＋1)n＝90，進而得n2＋n－90＝(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9(n＝－10舍去)，故選B.] 【押題2】　已知數列{an}滿足a1＝a,2an－an＋1＝n－1，設bn＝an－n. (1)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由； (2)若a＝2，求{an}的前n項和Sn. [解](1)根據題意，數列{an}滿足2an－an＋1＝n－1， 變形可得2an－2n＝an＋1－(n＋1)， 又由bn＝an－n，則2bn＝bn＋1， 又由a1＝a，則b1＝a－1， 當a≠1時，b1≠0，則數列{bn}為等比數列， 當a＝1時，b1＝0，則數列{bn}不是等比數列． (2)由(1)的結論，a＝2，則b1＝a－1＝1，數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列， 則bn＝1×2n－1＝2n－1， 即an－n＝2n－1，則an＝2n－1＋n， 則Sn＝20＋1＋21＋2＋22＋3＋…＋2n－1＋n ＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝2n－1＋. - 5 -