2020版高考數學大一輪復習 第九章 計數原理與概率、隨機變量及其分布 第59講 古典概型課時達標 理（含解析）新人教A版

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1、　第59講 古典概型 課時達標 一、選擇題 1．(2019·宜春一中月考)下列問題中是古典概型的是(　　) A．種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率 B．擲一顆質地不均勻的骰子，求出現1點的概率 C．在區(qū)間[1,4]上任取一數，求這個數大于1.5的概率 D．同時擲兩顆骰子，求向上的總數之和是5的概率 D　解析 A，B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數是無限多個；D項中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個． 2．隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和不超過4的概率記為p1，點數之和大于8的概率記為p2，點數之和為奇數的概率記為p3，則(　　)

2、A．p1

3、，故甲、乙兩位同學參加同一個興趣小組的概率P＝＝. 4．從1,2,3,4這四個數字中一次隨機取兩個，則取出的這兩個數字之和為偶數的概率是(　　) A. B. C. D. B　解析 從1,2,3,4這四個數字中一次隨機取兩個，共有C＝6種情況，其中取出的這個數字之和為偶數的情況有(1,3)，(2,4)，共2種，所以P＝＝. 5．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現的點數記為m，第二次出現的點數記為n，方程組只有一組解的概率是(　　) A. B. C. D. D　解析 方程組只有一組解，除了這兩種情況之外都可以，故所求概率P＝＝. 6．甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個

4、數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心相近”．現任意找兩人玩這個游戲，則他們“心相近”的概率為(　　) A. B. C. D. D　解析 試驗包含的基本事件共有6×6＝36種結果．其中滿足題設條件的有如下情況： 若a＝1，則b＝1,2；若a＝2，則b＝1,2,3； 若a＝3，則b＝2,3,4；若a＝4，則b＝3,4,5； 若a＝5，則b＝4,5,6；若a＝6，則b＝5,6. 共16種．故他們“心相近”的概率為P＝＝. 二、填空題 7．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種

5、顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________． 解析 甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為C×C，共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種．故所求概率為P＝＝. 答案 8．某班班會準備從含甲、乙、丙的7名學生中選取4人依次發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為________．　 解析 若甲、乙兩人只有一人參加時，不同的發(fā)言順序有CCA種；若甲、乙同時參加時，不同的發(fā)言順序有CA種，而甲、乙兩人都

6、發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰情況有AA種，所以所求概率為＝. 答案 9．如圖，莖葉圖表示甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中的得分，其中一個數字被污損，則甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為________. 解析 由莖葉圖知甲在五場比賽中的得分總和為18＋19＋20＋21＋22＝100；乙運動員在已知成績的四場比賽中得分總和為15＋16＋18＋28＝77，乙的另一場得分是20到29十個數字中的任何一個的可能性是相等的，共有10個基本事件，而事件“甲的平均得分不超過乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7個基本事件，所以甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為.

7、 答案 三、解答題 10．(2019·吉林長春質檢)袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球． (1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？ (2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？ 解析 (1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法．又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型． (2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分

8、別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個． 故一次摸球摸到白球的可能性為，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為.顯然這三個基本事件出現的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據的概率模型不是古典概型． 11．(2016·天津卷)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會． (1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕

9、對值，求隨機變量X的分布列和數學期望． 解析 (1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. X 0 1 2 P 隨機變量X的數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 12．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程

10、”的概率． 解析 (1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個． 當z＝4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝＝.　 (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝

11、0，即4b＋c＝16，所以 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝. 13．[選做題](2019·黃岡外校檢測)已知函數f(x)＝cos，a為拋擲一顆骰子所得的點數，求函數f(x)在[0,4]上零點的個數小于5或大于6的概率． 解析 依題意，當函數f(x)在[0,4]上的零點個數小于5時，則函數f(x)的周期滿足4<2T＋T，即T>，得>?a<3，故a＝1,2,3；當函數f(x)在[0,4]上零點的個數大于6時，則函數f(x)的周期滿足3T＋T≤4，即T≤，得≤?a≥，故a＝5,6，而所有a的值共6個，所以函數f(x)在[0,4]上零點的個數小于5或大于6的概率為P＝. 5