2020版高考數學一輪復習 課時作業(yè)54 拋物線 理（含解析）新人教版

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1、課時作業(yè)54　拋物線 一、選擇題 1．已知拋物線x2＝2py(p>0)的準線經過點(1，－1)，則拋物線的焦點坐標為(　A　) A．(0,1) B．(0,2) C．(1,0) D．(2,0) 解析：由拋物線x2＝2py(p>0)的準線為y＝－＝－1，得p＝2，故所求拋物線的焦點坐標為(0,1)． 2．(2019·河北五名校聯(lián)考)直線l過拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點，且與該拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(　B　) A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x

2、 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據拋物線的定義可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求拋物線的方程為y2＝－8x.故選B. 3．設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A，過拋物線C上一點P作準線l的垂線，垂足為Q.若△QAF的面積為2，則點P的坐標為(　A　) A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4) C．(1,2) D．(1,4) 解析：設點P的坐標為(x0，y0)．因為△QAF的面積為2，所以×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以

3、點P的坐標為(1,2)或(1，－2)． 4．(2019·福州四校聯(lián)考)已知拋物線C的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，直線l過拋物線C的焦點F，且與拋物線的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，且|AB|＝8，M為拋物線C準線上一點，則△ABM的面積為(　A　) A．16 B．18 C．24 D．32 解析：不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，如圖，因為直線l過拋物線C的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直，所以線段AB為通徑，所以2p＝8，p＝4，又M為拋物線C的準線上一點，所以點M到直線AB的距離即焦點到準線的距離，為4，所以△ABM的面積為×8×4＝16，故選A. 5．(

4、2019·陜西質量檢測)拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必經過拋物線的焦點．若拋物線y2＝4x的焦點為F，一平行于x軸的光線從點M(3,1)射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為(　B　) A. B．－ C．± D．－ 解析：將y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A(，1)．由拋物線的光學性質可知，直線AB過焦點F(1,0)，所以直線AB的斜率k＝＝－.故選B. 6．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點N在x軸上且在點F的右側，線段FN的垂直

5、平分線l與拋物線在第一象限的交點為M，直線MN的傾斜角為135°，O為坐標原點，則直線OM的斜率為(　A　) A．2－2 B．2－1 C.－1 D．3－4 解析：解法1：設點M(，m)(m>0)，因為點M在FN的垂直平分線上且點N在焦點F的右側，所以N(，0)，又MN的傾斜角為135°，所以＝－1，解得m＝(＋1)p，所以點M(p，(＋1)p)，所以直線OM的斜率為＝2－2，故選A. 解法2：如圖，設直線L為拋物線的準線，過點M向準線引垂線，垂足為A，交y軸于點B，設|MF|＝t，因為點M在FN的垂直平分線上，且直線MN的傾斜角為135°，所以直線MF的傾斜角為45°，由拋

6、物線的定義得t＝|MA|＝p＋t，即t＝＝(2＋)p，所以|OB|＝t＝(＋1)p，|BM|＝t－＝，設直線OM的傾斜角為θ，則∠OMB＝θ，所以直線OM的斜率為tanθ＝＝＝2－2，故選A. 7．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及其準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　B　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝9x 解析：如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D， 設|BF|＝a，則|BC|＝2a， 由拋物線的定義得，|BD|＝a， 故∠BCD＝30°，

7、 在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|， 所以6＝3＋3a，從而得a＝1， 因為BD∥FG，所以＝. 即＝，解得p＝， 因此拋物線方程為y2＝3x. 二、填空題 8．已知點P在拋物線y2＝4x上，且點P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點的距離之比為，則點P到x軸的距離為2. 解析：設點P的坐標為(xP，yP)，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，根據拋物線的定義，點P到焦點的距離等于點P到準線的距離，故＝，解得xP＝1， 所以y＝4，所以|yP|＝2. 9．(2019·合肥市質量檢測)拋物線E：y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸交

8、于點A，過拋物線E上一點P(在第一象限內)作l的垂線PQ，垂足為Q.若四邊形AFPQ的周長為16，則點P的坐標為(4,4)． 解析：設P(x，y)，其中x>0，y>0，由拋物線的定義知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根據題意知|AF|＝2，|QA|＝y(tǒng)， 則?或(舍去)． 所以點P的坐標為(4,4)． 10．(2019·濰坊市統(tǒng)一考試)已知拋物線y2＝4x與直線2x－y－3＝0相交于A，B兩點，O為坐標原點，設OA，OB的斜率分別為k1，k2，則＋的值為. 解析：設A(，y1)，B(，y2)，易知y1y2≠0，則k1＝，k2＝，所以＋＝， 將x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，

9、 所以y1＋y2＝2，＋＝. 三、解答題 11．過拋物線C：y2＝4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點，且|AB|＝8. (1)求直線l的方程； (2)若A關于x軸的對稱點為D，拋物線的準線與x軸的交點為E，求證：B，D，E三點共線． 解：(1)F的坐標為(1,0)，則l的方程為y＝k(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 由題意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝，x1x2＝1， 由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，

10、∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1， ∴直線l的方程為y＝±(x－1)． (2)證明：由拋物線的對稱性知，D點的坐標為(x1，－y1)，又E(－1,0)， ∴kEB－kED＝－ ＝， y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y(tǒng)2(＋1)＋y1(＋1)＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2)(＋1)． 由(1)知x1x2＝1， ∴(y1y2)2＝16x1x2＝16， 又y1與y2異號，∴y1y2＝－4， 即＋1＝0，∴kEB＝kED， 又ED與EB有公共點E， ∴B，D，E三點共線． 12．(2019·洛陽高三統(tǒng)考)已知F是拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點，曲

11、線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則＝(　A　) A．16 B．4 C. D. 解析：解法1：因為直線4x－3y－2p＝0過C1的焦點F(C2的圓心)，故|BF|＝|CF|＝， 所以＝. 由拋物線的定義得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD. 由整理得8x2－17px＋2p2＝0， 即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝， 故＝＝＝16.故選A. 解法2：同解法1得＝. 過A，D作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，D1，該直線AF交準線于點E，準線交x軸于點N，則由FN∥AA1

12、 得＝， 由直線AF的斜率為得tan∠A1AF＝， 故＝.又|AA1|＝|AF|， 故＝＝， 所以|AF|＝|AA1|＝|NF|＝p. 同理可得＝，又|DD1|＝|DF|， 所以＝， 故|DF|＝|DD1|＝|NF|＝p， 故＝＝＝16.故選A. 13．(2019·河北名校聯(lián)考)如果點P1，P2，P3，…，P10是拋物線y2＝2x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，x3，…，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝10. 解析：由拋物線的定義可知，拋物線y2＝2px(p>0)上的點P(x0，y

13、0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10. 14．(2019·惠州市調研考試)在平面直角坐標系xOy中，過點C(2,0)的直線與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求證：y1y2為定值； (2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線的方程和弦長，如果不存在，說明理由． 解：(1)證法1：當直線AB垂直于x軸時，不妨取y1＝2，y2＝－2，所以y1y2＝－8(定值)． 當直線AB不垂直于x軸時，設直線

14、AB的方程為y＝k(x－2)， 由得ky2－4y－8k＝0， 所以y1y2＝－8. 綜上可得，y1y2＝－8為定值． 證法2：設直線AB的方程為my＝x－2. 由得y2－4my－8＝0， 所以y1y2＝－8. 因此有y1y2＝－8為定值． (2)存在．理由如下： 設存在直線l：x＝a滿足條件， 則AC的中點E(，)， |AC|＝， 因此以AC為直徑的圓的半徑 r＝|AC|＝＝， 點E到直線x＝a的距離d＝|－a|， 所以所截弦長為2 ＝2 ＝ ＝， 當1－a＝0，即a＝1時，弦長為定值2，這時直線的方程為x＝1. 15．(2019·福州市測試)已知圓

15、C：(x－5)2＋(y－)2＝8，拋物線E：x2＝2py(p>0)上兩點A(－2，y1)與B(4，y2)，若存在與直線AB平行的一條直線和C與E都相切，則E的準線方程為(　C　) A．x＝－ B．y＝－1 C．y＝－ D．x＝－1 解析：由題意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB＝＝，設拋物線E上的切點為(x0，y0)， 由y＝，得y′＝，∴＝， ∴x0＝1，∴切點為(1，)， ∴切線方程為y－＝(x－1)， 即2x－2py－1＝0， ∵切線2x－2py－1＝0與圓C相切，∴圓心C(5，)到切線的距離為2，即＝2， ∴31p2＋18p－49＝0， ∴(p－1)(31p＋49)＝0， ∵p>0，∴p＝1. ∴拋物線x2＝2y的準線方程為y＝－，故選C. 9