2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)54 拋物線 理（含解析）新人教版

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1、課時(shí)作業(yè)54　拋物線 一、選擇題 1．已知拋物線x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　A　) A．(0,1) B．(0,2) C．(1,0) D．(2,0) 解析：由拋物線x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線為y＝－＝－1，得p＝2，故所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)． 2．(2019·河北五名校聯(lián)考)直線l過拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(　B　) A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x

2、 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求拋物線的方程為y2＝－8x.故選B. 3．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，過拋物線C上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q.若△QAF的面積為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　A　) A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4) C．(1,2) D．(1,4) 解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．因?yàn)椤鱍AF的面積為2，所以×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以

3、點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)． 4．(2019·福州四校聯(lián)考)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，M為拋物線C準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABM的面積為(　A　) A．16 B．18 C．24 D．32 解析：不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，如圖，因?yàn)橹本€l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直，所以線段AB為通徑，所以2p＝8，p＝4，又M為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)M到直線AB的距離即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為4，所以△ABM的面積為×8×4＝16，故選A. 5．(

4、2019·陜西質(zhì)量檢測)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則直線AB的斜率為(　B　) A. B．－ C．± D．－ 解析：將y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A(，1)．由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過焦點(diǎn)F(1,0)，所以直線AB的斜率k＝＝－.故選B. 6．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N在x軸上且在點(diǎn)F的右側(cè)，線段FN的垂直

5、平分線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線MN的傾斜角為135°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OM的斜率為(　A　) A．2－2 B．2－1 C.－1 D．3－4 解析：解法1：設(shè)點(diǎn)M(，m)(m>0)，因?yàn)辄c(diǎn)M在FN的垂直平分線上且點(diǎn)N在焦點(diǎn)F的右側(cè)，所以N(，0)，又MN的傾斜角為135°，所以＝－1，解得m＝(＋1)p，所以點(diǎn)M(p，(＋1)p)，所以直線OM的斜率為＝2－2，故選A. 解法2：如圖，設(shè)直線L為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)M向準(zhǔn)線引垂線，垂足為A，交y軸于點(diǎn)B，設(shè)|MF|＝t，因?yàn)辄c(diǎn)M在FN的垂直平分線上，且直線MN的傾斜角為135°，所以直線MF的傾斜角為45°，由拋

6、物線的定義得t＝|MA|＝p＋t，即t＝＝(2＋)p，所以|OB|＝t＝(＋1)p，|BM|＝t－＝，設(shè)直線OM的傾斜角為θ，則∠OMB＝θ，所以直線OM的斜率為tanθ＝＝＝2－2，故選A. 7．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　B　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝9x 解析：如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D， 設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a， 由拋物線的定義得，|BD|＝a， 故∠BCD＝30°，

7、 在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|， 所以6＝3＋3a，從而得a＝1， 因?yàn)锽D∥FG，所以＝. 即＝，解得p＝， 因此拋物線方程為y2＝3x. 二、填空題 8．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)P到x軸的距離為2. 解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，故＝，解得xP＝1， 所以y＝4，所以|yP|＝2. 9．(2019·合肥市質(zhì)量檢測)拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交

8、于點(diǎn)A，過拋物線E上一點(diǎn)P(在第一象限內(nèi))作l的垂線PQ，垂足為Q.若四邊形AFPQ的周長為16，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)． 解析：設(shè)P(x，y)，其中x>0，y>0，由拋物線的定義知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根據(jù)題意知|AF|＝2，|QA|＝y(tǒng)， 則?或(舍去)． 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)． 10．(2019·濰坊市統(tǒng)一考試)已知拋物線y2＝4x與直線2x－y－3＝0相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA，OB的斜率分別為k1，k2，則＋的值為. 解析：設(shè)A(，y1)，B(，y2)，易知y1y2≠0，則k1＝，k2＝，所以＋＝， 將x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，

9、 所以y1＋y2＝2，＋＝. 三、解答題 11．過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8. (1)求直線l的方程； (2)若A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，求證：B，D，E三點(diǎn)共線． 解：(1)F的坐標(biāo)為(1,0)，則l的方程為y＝k(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 由題意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝，x1x2＝1， 由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，

10、∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1， ∴直線l的方程為y＝±(x－1)． (2)證明：由拋物線的對(duì)稱性知，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，－y1)，又E(－1,0)， ∴kEB－kED＝－ ＝， y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y(tǒng)2(＋1)＋y1(＋1)＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2)(＋1)． 由(1)知x1x2＝1， ∴(y1y2)2＝16x1x2＝16， 又y1與y2異號(hào)，∴y1y2＝－4， 即＋1＝0，∴kEB＝kED， 又ED與EB有公共點(diǎn)E， ∴B，D，E三點(diǎn)共線． 12．(2019·洛陽高三統(tǒng)考)已知F是拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，曲

11、線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點(diǎn)A，B，C，D，則＝(　A　) A．16 B．4 C. D. 解析：解法1：因?yàn)橹本€4x－3y－2p＝0過C1的焦點(diǎn)F(C2的圓心)，故|BF|＝|CF|＝， 所以＝. 由拋物線的定義得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD. 由整理得8x2－17px＋2p2＝0， 即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝， 故＝＝＝16.故選A. 解法2：同解法1得＝. 過A，D作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，D1，該直線AF交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)N，則由FN∥AA1

12、 得＝， 由直線AF的斜率為得tan∠A1AF＝， 故＝.又|AA1|＝|AF|， 故＝＝， 所以|AF|＝|AA1|＝|NF|＝p. 同理可得＝，又|DD1|＝|DF|， 所以＝， 故|DF|＝|DD1|＝|NF|＝p， 故＝＝＝16.故選A. 13．(2019·河北名校聯(lián)考)如果點(diǎn)P1，P2，P3，…，P10是拋物線y2＝2x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，…，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝10. 解析：由拋物線的定義可知，拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)P(x0，y

13、0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10. 14．(2019·惠州市調(diào)研考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)C(2,0)的直線與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求證：y1y2為定值； (2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線的方程和弦長，如果不存在，說明理由． 解：(1)證法1：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，不妨取y1＝2，y2＝－2，所以y1y2＝－8(定值)． 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線

14、AB的方程為y＝k(x－2)， 由得ky2－4y－8k＝0， 所以y1y2＝－8. 綜上可得，y1y2＝－8為定值． 證法2：設(shè)直線AB的方程為my＝x－2. 由得y2－4my－8＝0， 所以y1y2＝－8. 因此有y1y2＝－8為定值． (2)存在．理由如下： 設(shè)存在直線l：x＝a滿足條件， 則AC的中點(diǎn)E(，)， |AC|＝， 因此以AC為直徑的圓的半徑 r＝|AC|＝＝， 點(diǎn)E到直線x＝a的距離d＝|－a|， 所以所截弦長為2 ＝2 ＝ ＝， 當(dāng)1－a＝0，即a＝1時(shí)，弦長為定值2，這時(shí)直線的方程為x＝1. 15．(2019·福州市測試)已知圓

15、C：(x－5)2＋(y－)2＝8，拋物線E：x2＝2py(p>0)上兩點(diǎn)A(－2，y1)與B(4，y2)，若存在與直線AB平行的一條直線和C與E都相切，則E的準(zhǔn)線方程為(　C　) A．x＝－ B．y＝－1 C．y＝－ D．x＝－1 解析：由題意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB＝＝，設(shè)拋物線E上的切點(diǎn)為(x0，y0)， 由y＝，得y′＝，∴＝， ∴x0＝1，∴切點(diǎn)為(1，)， ∴切線方程為y－＝(x－1)， 即2x－2py－1＝0， ∵切線2x－2py－1＝0與圓C相切，∴圓心C(5，)到切線的距離為2，即＝2， ∴31p2＋18p－49＝0， ∴(p－1)(31p＋49)＝0， ∵p>0，∴p＝1. ∴拋物線x2＝2y的準(zhǔn)線方程為y＝－，故選C. 9