2020高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第十一章 坐標系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程檢測 理 新人教A版

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1、第二節(jié) 參數(shù)方程 限時規(guī)范訓練(限時練·夯基練·提能練) A級 基礎(chǔ)夯實練 1.(2018·湖南五市十校高三聯(lián)考)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合,圓C的極坐標方程為ρ=4cos θ-6sin θ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)寫出圓C的直角坐標方程,并求圓心的坐標與半徑; (2)若直線l與圓C交于不同的兩點P,Q,且|PQ|=4,求直線l的斜率. 解:(1)由ρ=4cos θ-6sin θ,得ρ2=4ρcos θ-6ρsin θ, 將ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng)代入,可得x2+y2-4x+6y=0,即(x-2)2

2、+(y+3)2=13,所以圓心的坐標為(2,-3),半徑為. (2)由直線l的參數(shù)方程知直線l過定點(4,0),且由題意知,直線l的斜率一定存在. 設(shè)直線l的方程為y=k(x-4). 因為|PQ|=4,所以=3, 解得k=0或k=-. 所以直線l的斜率為0或-. 2.在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為ρ=2cos θ,θ∈. (1)求C的參數(shù)方程; (2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標. 解:(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可

3、得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤t≤π). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓. 因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tan t=,t=. 故D的坐標為,即. 3.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的普通方程為x2+y2+2x-4=0,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C1,C2的極坐標方程; (2)求曲線C1與C2交點的極坐標,其中ρ≥0,0≤θ<2π. 解:(1)依題意,將代入x2+y2+2x-4=0,可得ρ2+2ρcos θ

4、-4=0. 由得y2=x,將代入上式化簡得ρsin2 θ=cos θ, 故曲線C1的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-4=0,曲線C2的極坐標方程為ρsin2 θ=cos θ. (2)將y2=x代入x2+y2+2x-4=0,得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去), 當x=1時,y=±1,即C1與C2交點的直角坐標為A(1,1),B(1,-1). ∵ρA=,ρB=,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π, ∴θA=,θB=, 故曲線C1與C2交點的極坐標為A,B. 4.(2018·四川成都七中期中)在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(θ為參

5、數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l上兩點M,N的極坐標分別為(2,0),. (1)設(shè)P為線段MN的中點,求直線OP的直角坐標方程; (2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解:(1)M,N的直角坐標分別為(2,0),,于是點P的坐標為, 所以直線OP的直角坐標方程為y=x,即x-y=0. (2)直線l的方程為x+y-2=0, 圓C的方程為(x-2)2+(y+)2=4, 圓心C(2,-)到l的距離d=<2, 所以直線l與圓C相交. B級 能力提升練 5.(2018·河北承德實驗中學期中)在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以原點

6、O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρcos=-1. (1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程; (2)設(shè)直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點,P是圓C上任一點,求A,B兩點的極坐標和△PAB面積的最小值. 解:(1)由消去參數(shù)t,得 (x+5)2+(y-3)2=2, 所以圓C的普通方程為(x+5)2+(y-3)2=2. 由ρcos=-1,得ρcos θ-ρsin θ=-2, 所以直線l的直角坐標方程為x-y+2=0. (2)直線l與x軸,y軸的交點分別為A(-2,0),B(0,2),化為極坐標為A(2,π),B, 設(shè)P點的坐標為(-5+c

7、os t,3+sin t),則P點到直線l的距離d= =, 所以dmin==2,又|AB|=2, 所以△PAB面積的最小值為×2×2=4. 6.(2018·廣西桂林綜合模擬金卷)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合,圓C的極坐標方程為ρ=asin θ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=2,M是直線l與x軸的交點,N是圓C上一動點,求|MN|的最小值; (2)若直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的倍,求a的值. 解:(1)當a=2時,圓C的極坐標方程為ρ=2sin θ,可化為ρ2=2ρsin θ, 化為直角坐標方程為x2+y2-2y=0,

8、即x2+(y-1)2=1. 直線l的普通方程為4x+3y-8=0,與x軸的交點M的坐標為(2,0), ∵圓心(0,1)與點M(2,0)間的距離為, ∴|MN|的最小值為-1. (2)ρ=asin θ可化為ρ2=aρsin θ, ∴圓C的直角坐標方程為x2+2=. ∵直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的倍, ∴圓心到直線l的距離為圓C半徑的一半, ∴=×, 解得a=32或a=. 7.在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0,其中0≤α<π).在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點的

9、直角坐標; (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值. 解:(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2x=0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的極坐標為(2sin α,α),B的極坐標為(2cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4. 當α=時,|AB|取得最大值,最大值為4. 8.(2019·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),

10、直線l1的方程為kx-y+k=0,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l2的極坐標方程為cos θ-2sin θ=. (1)寫出曲線C的普通方程和直線l2的直角坐標方程; (2)若l1與C交于不同的兩點M,N,MN的中點為P,l1與l2的交點為Q,l1恒過點A,求|AP|·|AQ|. 解:(1)由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù),得曲線C的普通方程為(x+3)2+(y-4)2=16, 由cos θ-2sin θ=,得ρcos θ-2ρsin θ=4, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直線l2的直角坐標方程為x-2y-4=0. (2)設(shè)M,N,Q所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t3, 由題意得直線l1恒過點A(-1,0), 故l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入曲線C的普通方程得t2+4t(cos α-2sin α)+4=0, 則t1+t2=4(2sin α-cos α), 將代入x-2y-4=0, 整理得t3=, 則|AP|·|AQ|=·|t3|=2|2sin α-cos α|·=10. 5

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