《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程檢測 理 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程檢測 理 新人教A版(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié) 參數(shù)方程
限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)
A級 基礎(chǔ)夯實(shí)練
1.(2018·湖南五市十校高三聯(lián)考)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ-6sin θ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程,并求圓心的坐標(biāo)與半徑;
(2)若直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,且|PQ|=4,求直線l的斜率.
解:(1)由ρ=4cos θ-6sin θ,得ρ2=4ρcos θ-6ρsin θ,
將ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng)代入,可得x2+y2-4x+6y=0,即(x-2)2
2、+(y+3)2=13,所以圓心的坐標(biāo)為(2,-3),半徑為.
(2)由直線l的參數(shù)方程知直線l過定點(diǎn)(4,0),且由題意知,直線l的斜率一定存在.
設(shè)直線l的方程為y=k(x-4).
因?yàn)閨PQ|=4,所以=3,
解得k=0或k=-.
所以直線l的斜率為0或-.
2.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,θ∈.
(1)求C的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).
解:(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可
3、得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤t≤π).
(2)設(shè)D(1+cos t,sin t).
由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.
因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tan t=,t=.
故D的坐標(biāo)為,即.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的普通方程為x2+y2+2x-4=0,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo),其中ρ≥0,0≤θ<2π.
解:(1)依題意,將代入x2+y2+2x-4=0,可得ρ2+2ρcos θ
4、-4=0.
由得y2=x,將代入上式化簡得ρsin2 θ=cos θ,
故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcos θ-4=0,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin2 θ=cos θ.
(2)將y2=x代入x2+y2+2x-4=0,得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),
當(dāng)x=1時,y=±1,即C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為A(1,1),B(1,-1).
∵ρA=,ρB=,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,
∴θA=,θB=,
故曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為A,B.
4.(2018·四川成都七中期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(θ為參
5、數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l上兩點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為(2,0),.
(1)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn),求直線OP的直角坐標(biāo)方程;
(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.
解:(1)M,N的直角坐標(biāo)分別為(2,0),,于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
所以直線OP的直角坐標(biāo)方程為y=x,即x-y=0.
(2)直線l的方程為x+y-2=0,
圓C的方程為(x-2)2+(y+)2=4,
圓心C(2,-)到l的距離d=<2,
所以直線l與圓C相交.
B級 能力提升練
5.(2018·河北承德實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以原點(diǎn)
6、O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=-1.
(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),P是圓C上任一點(diǎn),求A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值.
解:(1)由消去參數(shù)t,得
(x+5)2+(y-3)2=2,
所以圓C的普通方程為(x+5)2+(y-3)2=2.
由ρcos=-1,得ρcos θ-ρsin θ=-2,
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0.
(2)直線l與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A(-2,0),B(0,2),化為極坐標(biāo)為A(2,π),B,
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5+c
7、os t,3+sin t),則P點(diǎn)到直線l的距離d=
=,
所以dmin==2,又|AB|=2,
所以△PAB面積的最小值為×2×2=4.
6.(2018·廣西桂林綜合模擬金卷)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=asin θ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)若a=2,M是直線l與x軸的交點(diǎn),N是圓C上一動點(diǎn),求|MN|的最小值;
(2)若直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的倍,求a的值.
解:(1)當(dāng)a=2時,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ,可化為ρ2=2ρsin θ,
化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,
8、即x2+(y-1)2=1.
直線l的普通方程為4x+3y-8=0,與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),
∵圓心(0,1)與點(diǎn)M(2,0)間的距離為,
∴|MN|的最小值為-1.
(2)ρ=asin θ可化為ρ2=aρsin θ,
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+2=.
∵直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的倍,
∴圓心到直線l的距離為圓C半徑的一半,
∴=×,
解得a=32或a=.
7.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0,其中0≤α<π).在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2與C3交點(diǎn)的
9、直角坐標(biāo);
(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.
解:(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.
聯(lián)立解得或
所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.
當(dāng)α=時,|AB|取得最大值,最大值為4.
8.(2019·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),
10、直線l1的方程為kx-y+k=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l2的極坐標(biāo)方程為cos θ-2sin θ=.
(1)寫出曲線C的普通方程和直線l2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若l1與C交于不同的兩點(diǎn)M,N,MN的中點(diǎn)為P,l1與l2的交點(diǎn)為Q,l1恒過點(diǎn)A,求|AP|·|AQ|.
解:(1)由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù),得曲線C的普通方程為(x+3)2+(y-4)2=16,
由cos θ-2sin θ=,得ρcos θ-2ρsin θ=4,
將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直線l2的直角坐標(biāo)方程為x-2y-4=0.
(2)設(shè)M,N,Q所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t3,
由題意得直線l1恒過點(diǎn)A(-1,0),
故l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),
代入曲線C的普通方程得t2+4t(cos α-2sin α)+4=0,
則t1+t2=4(2sin α-cos α),
將代入x-2y-4=0,
整理得t3=,
則|AP|·|AQ|=·|t3|=2|2sin α-cos α|·=10.
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