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1、課時作業(yè)54 幾何概型
[基礎(chǔ)達標]
一、選擇題
1．[2019·武漢調(diào)研]在長為16 cm的線段MN上任取一點P，以MP、NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題考查幾何概型．設(shè)MP＝x，則NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝＝，故選A.
答案：A
2．[2019·石家莊高中模擬考試]已知函數(shù)f(x)＝2x(x<0)，其值域為D，在區(qū)間(－1,2)上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：因為函數(shù)y＝2x是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)f
2、(x)的值域是(0,1)，所以所求概率是，故選B.
答案：B
3．[2019·陜西省高三質(zhì)量檢測]在不等式組所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點到此三角形的三個頂點的距離均不小于1的概率是( )
A．9－ B．9－π
C．1－ D．1－
解析：
作出不等式組表示的平面區(qū)域即如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，分別以點A，B，C為圓心，以1為半徑作弧，則圖中的陰影部分內(nèi)的點滿足到△ABC的三個頂點的距離均不小于1.易求得點A(－6,2)，B(－3,2)，C(－3,8)，所以AB＝3，BC＝6.又注意到圖中的三個扇形恰好可以拼湊成一個以1為半徑的半圓，故所求概率P＝＝＝1－.故選
3、C.
答案：C
4．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：點P到點O的距離大于1的點位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．記“點P到點O的距離大于1”為事件M，則P(M)＝＝1－.
答案：B
5．已知f(x)＝＋cosx，在區(qū)間(0，π)內(nèi)任取一點x0，使得f′(x0)>0的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝－sinx，令－sinx>0，sinx<，當x∈(0，π)時，0
4、
5、M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為ΔAPC與△ABC的高，所以＝＝＞，又＝，所以＞.
故所求的概率為(即為長度之比)．
答案：
8．[2019·唐山市高三五校聯(lián)考]向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率為________．
解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為×π×2－×2×＝π－，所以向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率P＝－.
答案：－
三、解答題
9．如圖所示，圓O的方程為x2＋y2＝4.
(1)已知點A的坐標為
6、(2,0)，B為圓周上任意一點，求的長度小于π的概率；
(2)若N(x，y)為圓O內(nèi)任意一點，求點N到原點的距離大于的概率．
解析：(1)圓O的周長為4π，所以弧的長度小于π的概率為＝.
(2)記事件M為N到原點的距離大于，則Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.
10．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝kx＋b(x∈R)．
(1)設(shè)集合P＝{－1,1,2,3}，從集合P中隨機取一個數(shù)作為k，求函數(shù)y＝kx＋b是減函數(shù)的概率；
(2)實數(shù)對(k，b)滿足條件求函數(shù)y＝kx＋b的圖象不經(jīng)過第四象限的概率．
解析：(1)從集合P中隨機取
7、一個數(shù)作為k的所有可能結(jié)果有4種，滿足函數(shù)y＝kx＋b是減函數(shù)的情形是k＝－1，則所求概率P＝.
(2)因為k>0，函數(shù)y＝kx＋b的圖象不經(jīng)過第四象限的條件是b≥0.作出(k，b)對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中的梯形ABCD(不含b軸)，其面積是S1＝＝，符合限制條件的(k，b)對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中的三角形BOC，其面積是S2＝，故所求概率P＝＝.
[能力挑戰(zhàn)]
11．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記
8、第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b.
①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A的概率；
②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
解析：(1)依題意共有(n＋2)個小球，則從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率為＝，
∴n＝2.
(2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個小球共有12種結(jié)果，而滿足2≤a＋b≤3的結(jié)果有8種，
故P(A)＝＝.
②易知(a－b)2≤4，故待求概率的事件即為“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的點的坐標，
則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，
由幾何概型得概率P＝＝1－.
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