龍格庫塔方法專業(yè)課件

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1、基本思想：基本思想：利用利用 在某些特殊點上的在某些特殊點上的函數(shù)值的函數(shù)值的線性線性組合組合來構造高階單步法的來構造高階單步法的平均斜率平均斜率。(,)f x y 龍格龍格-庫塔法庫塔法什么叫平均斜率？什么叫平均斜率？對差商對差商 應用微分中值定理，有，應用微分中值定理，有，1()()iiy xy xh 1()()()iiiy xy xhy xh 利用微分方程利用微分方程 ，有，有(,)yf x y 1()()(,()iiiiy xy xhf xh y xh 這里的這里的 稱為稱為平均斜率平均斜率。(,()iif xh y xh 1歡迎下載歡迎下載 可修改可修改可將改進的歐拉格式改寫成可將改

2、進的歐拉格式改寫成112121112(),(,),(,).iiiiiiyKKKyhfxyKyhfxK 的算術平均值作為平均斜率。的算術平均值作為平均斜率。該公式可以看作是用該公式可以看作是用 和和 兩個點處的斜率兩個點處的斜率 和和1 iixx 12 KK由改進型歐拉公式我們可以猜想，如果在由改進型歐拉公式我們可以猜想，如果在1,iix x 內多預測幾個點的斜率，再對他們進行加權平均，內多預測幾個點的斜率，再對他們進行加權平均，可能得到精度更好的平均斜率！可能得到精度更好的平均斜率！2歡迎下載歡迎下載 可修改可修改下面以下面以2階龍格階龍格-庫塔方法庫塔方法為例來闡述這種思想為例來闡述這種思想

3、考察區(qū)間考察區(qū)間 上的一點上的一點 ，1,iix x 01,ipixxphp 用用 和和 的斜率的斜率 和和 的加權平均作為平均的加權平均作為平均 iipxx 12 KK斜率斜率 的近似值：的近似值：*K1122*KKK 即取即取11122()iiyyhKK 其中其中 和和 是待定常數(shù)。若取是待定常數(shù)。若取 ，則，則12 1(,)iiKf xy 問題在于如何確定問題在于如何確定 處的斜率處的斜率 和常數(shù)和常數(shù) 和和 。ipx 2K12 3歡迎下載歡迎下載 可修改可修改仿照改進的歐拉方法，用歐拉方法預測仿照改進的歐拉方法，用歐拉方法預測 的值，的值，()ipy x 1ipiyyphK 并用它來估

4、計斜率并用它來估計斜率 ：2K2(,)ipipKf xy 于是得到如下形式的算法：于是得到如下形式的算法：111221211(),(,),(,).iiiiiiyyhKKKf xyKf xyphK 通過適當選取參數(shù)通過適當選取參數(shù) 和和 的值，使得公式具有的值，使得公式具有12,p 2階精度！階精度！4歡迎下載歡迎下載 可修改可修改由泰勒公式展開，要使公式具有由泰勒公式展開，要使公式具有 2 階精度階精度，只需，只需12211 2,p方程組有方程組有無窮無窮多解：多解：二級二級方法有無窮多種方法有無窮多種常見的常見的3種二級方法：種二級方法：中點法（修正的中點法（修正的Euler法法）12210

5、12,cca 取取122(,(,)nnnnnnhhyyhf xyf xy 二階二階龍格庫塔方法龍格庫塔方法122112,cca 取取12(,)(,(,)nnnnnnnnhyyf xyf xh yhf xy 3()O h5歡迎下載歡迎下載 可修改可修改三級方法：三級方法：N=3 類似于類似于N=2的推導方法，可得到的推導方法，可得到1231;ccc 223312;c ac a 22223313;c ac a 323216c a b 4()O h常見的常見的2種三階方法：種三階方法：庫塔庫塔三階方法三階方法112346()nnhyykkk 1(,);nnkf xy 2122(,)nnhhkf xy

6、k3122(,)nnkf xh yhkhk 6歡迎下載歡迎下載 可修改可修改 四級方法：四級方法：N=45()O h局部截斷誤差局部截斷誤差常見的常見的2種四階方法：種四階方法：經典經典龍格龍格-庫塔庫塔方法方法11234226()nnhyykkkk 1(,)nnkf xy 2122(,)nnhhkf xyk3222(,)nnhhkf xyk43(,)nnkf xh yhk7歡迎下載歡迎下載 可修改可修改解：解：201()dyxydxyy 01(,)x 例例2：用用經典的經典的龍格龍格-庫塔庫塔方法方法求解下列初值問題求解下列初值問題 。0 1.h 經典的四階經典的四階龍格龍格-庫塔公式：庫塔

7、公式：11234226()nnhyykkkk 12;nnnxkyy2112222()nnnhxhkykhyk 4332()nnnxhkyhkyhk 3222222();nnnhxhkykhyk 8歡迎下載歡迎下載 可修改可修改 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142nxny 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321nxny同保留同保留5位的位的精確值精確值完全一致：完全一致：0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1

8、.3416 1.4142nxny 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321nxny21yx9歡迎下載歡迎下載 可修改可修改10歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022-7-62022-7-62022-7-67/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。2022-7-62022-7-62022-7-6Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請。2022-7-

9、62022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202213、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-67/6/202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三2022-7-62022-7-62022-7-615、一個人炫耀什么，說明他內心缺少什么。2022年7月2022-7-62022-7-62022-7-67/6/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-7-62022-7-6July 6,202217、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。2022-7-62022-7-62022-7-

10、62022-7-6二、二、高階高階和隱式和隱式Runge-Kutta方法方法注注：對于顯式對于顯式N級級R-K方法，最多只能得到方法，最多只能得到N級方法；級方法；N 1,2,3,4 5,6,7 8,910,11,N N-1 N-2()p N已經證明已經證明N級級R-K方法的方法的階階 具有下列關系：具有下列關系：()p N2N 若要得到若要得到N階以上方法，則使用階以上方法，則使用N級隱式級隱式R-K方法方法 N級隱式級隱式R-K方法的一般形式：方法的一般形式：11Nnniiiyyhc k 11(,);,.,Nininijjjkf xa h yhb kiN N級隱式級隱式R-K法法可以達到可

11、以達到2N階階12歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022-7-62022-7-62022-7-67/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。2022-7-62022-7-62022-7-6Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請。2022-7-62022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202213、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7

12、-67/6/202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三2022-7-62022-7-62022-7-615、一個人炫耀什么，說明他內心缺少什么。2022年7月2022-7-62022-7-62022-7-67/6/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-7-62022-7-6July 6,202217、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-6(1)(1)一一級級二階二階的隱式的隱式中點中點方法：方法：11nnyyhk 1122(,)nnhkhkf xy (2)(2)二二級級四階四階的隱式的隱式R-

13、K方法：方法：1212()nnh kkyy 112131326446(),()nnhkkf xh yhk 221131326464(),()nnhkkf xh yhk 14歡迎下載歡迎下載 可修改可修改三、三、變步長變步長方法方法基本基本思想思想：根據精度：根據精度自動自動地選擇地選擇步長步長對于對于經典經典Runge-Kutta方法：方法：0 1 2,n Step1:設從設從 出發(fā)，以出發(fā)，以 為步長，經過為步長，經過一步一步計算得到計算得到nxh511()()hnny xyCh Step2:取取 為步長，再從為步長，再從 出發(fā)，經過出發(fā)，經過兩步兩步計算得到計算得到nx2h521122()

14、()()hnnhy xyC 15歡迎下載歡迎下載 可修改可修改21111116(/)()()()hnnhnny xyy xy 2111116(/)()()()hhnnnny xyy xy 221111115(/)(/)()()hhhnnnny xyyy211(/)()|hhnnyy 記記如果如果 ，則將步長，則將步長折半折半進行計算，直到進行計算，直到 為止為止 此時取此時取 為最終結果；為最終結果；21(/)hny 如果如果 ，則將步長，則將步長加倍加倍進行計算，直到進行計算，直到 為止為止 此時將步長此時將步長折半折半一次計算，得到的為最終結果。一次計算，得到的為最終結果。16歡迎下載歡迎

15、下載 可修改可修改一、一、收斂性收斂性/*Convergence*/3 單步法的單步法的收斂性收斂性、相容性相容性和和絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性1(,)nnnnyyhxy h 對于初值問題對于初值問題 的一的一種種000(,)();dyf x ydxy xyxx ()1Def單步法單步法 產生的近似解，如果產生的近似解，如果 對于任一對于任一固定固定的的 ，均有，均有 ，0nxxnh 則稱該單步法是則稱該單步法是收斂收斂的。的。0lim()nnhyy x 類似地可以定義類似地可以定義隱式隱式單步法、多步法（單步法、多步法（4）的）的收斂性收斂性17歡迎下載歡迎下載 可修改可修改3 1.Th設初值問題

16、（設初值問題（*）對應的下列）對應的下列單步法單步法是是 階的，階的，1(,)nnnnyyhxy h p且函數(shù)且函數(shù) 滿足對滿足對 的的Lipschitz條件，即存在常數(shù)條件，即存在常數(shù)y 0L 121212|(,)(,)|,x y hx y hL yyy y 則該則該單步法單步法是收斂的，且是收斂的，且()()pnny xyO h 證明：證明：()nnney xy 記記由由截斷截斷誤差的定義誤差的定義11()()(,(),)nnnnny xy xhxy xhT 11(,(),)(,)nnnnnnneehxy xhxyhT 18歡迎下載歡迎下載 可修改可修改因為因為單步法單步法是是 階的：階的

17、：p000,hhh 滿足滿足11|pnTCh 11|pnnneehL eCh|ne 其中其中11,phLCh 212|nnneee 3231|()ne 2101|(.)nnnee 10001|exp()|exp()pnnneL xxeCh LL xx 101exp()pnCh LL xx ()pneO h 00()h19歡迎下載歡迎下載 可修改可修改二、二、相容性相容性/*Consistency*/()()(,(),)y xhy xhx y x h 0()().()(,(),).y xhy xy xhx y x 0()(,(),).h y xx y x 1()pO h 100()(,(),)p

18、y xx y x 對于對于 階方法：階方法：1(,)nnnnyyhxy h p()若方法（若方法（*）的）的增量增量函數(shù)滿足：函數(shù)滿足：2Def0(,)(,)x yf x y 則稱該方法與初值問題（則稱該方法與初值問題（*）相容相容。20歡迎下載歡迎下載 可修改可修改設方法（設方法（*）與初值問題（）與初值問題（*）相容相容，且，且 滿足滿足L-條件，條件，則該方法（則該方法（*）是）是收斂收斂的，即當?shù)模串?固定，固定，時時nxx 0h()nnyy x1(,)nnnnyyxyhh 0(,(),)()nnnxy xy x ()(,()nnny xf xy x 再由再由相容性相容性得：得：上式

19、說明：當上式說明：當 時，方法（時，方法（*）趨于）趨于原微分方程原微分方程0h 本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容相容的的 21歡迎下載歡迎下載 可修改可修改三、三、絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性 /*Absolute Stibility*/計算過程中產生的計算過程中產生的舍入誤差舍入誤差對計算結果的影響對計算結果的影響首先以首先以Euler公式為例，來討論一下公式為例，來討論一下舍入誤差舍入誤差的傳播的傳播:1(,)nnnnyyhf xy 設設實際實際計算得到的點計算得到的點 的的近似近似函數(shù)值為函數(shù)值為 ，nnnyy nxny其中其中 為為精確值精確值，為誤差

20、為誤差n 1(,)nnnnyyhf xy 111nnnyy 11(,)(,)(,)nnnnnnynnh f xyf xyhfx 如果如果 ，則誤差是，則誤差是不增不增的，故可認為是的，故可認為是穩(wěn)定穩(wěn)定的的11|yhf 22歡迎下載歡迎下載 可修改可修改例如：例如：對于初值問題對于初值問題0()yyy xa 精確解精確解為為0 x xyae 而而實際求解實際求解的初值問題為的初值問題為0()yyy xaa 精確解精確解為為0()x xyaa e 在在 處的誤差為處的誤差為nx0nxxae 可見誤差隨著可見誤差隨著 的增加呈的增加呈指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)增長增長nx如果初值問題為如果初值問題為0()y

21、yy xa 精確解精確解為為0 xxyae 23歡迎下載歡迎下載 可修改可修改實際求解實際求解的初值問題為的初值問題為0()yyy xaa 精確解精確解為為0()xxyaa e 在在 處的誤差為處的誤差為nx0nxxae 可見誤差隨著可見誤差隨著 的增加呈的增加呈指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)遞減遞減nx當當 時，微分方程是時，微分方程是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的；的；0yf 而而 時，微分方程是時，微分方程是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。0yf 上面討論的上面討論的穩(wěn)定性穩(wěn)定性，與，與數(shù)值方法數(shù)值方法和方程中和方程中 有關有關f24歡迎下載歡迎下載 可修改可修改實驗實驗方程：方程：0,Re()yyC 1(,)nnnnyyhxyh

22、對單步法對單步法 應用應用實驗實驗方程，方程，1()nnyEh y 3Defh 如果如果 ，當，當 時，則稱該時，則稱該1()Eh 單步法是單步法是絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定的，在復平面上復變量的，在復平面上復變量 滿足滿足1()Eh 的區(qū)域，稱為該單步法的絕對穩(wěn)定的區(qū)域，稱為該單步法的絕對穩(wěn)定域域，它與它與實軸實軸的的交集交集稱為絕對穩(wěn)定稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。1111()()pnnnTy xyO h 若單步法是若單步法是 階的，則階的，則p由由實驗實驗方程可得：方程可得：1()exp()nny xyh 1exp()()()pnnyhEh yO h ()exp()Ehh 25歡迎下載歡迎下載 可修改可修

23、改11()()nnnnyyhyhy 例例3：分別求分別求Euler法和法和經典的經典的R-K法的法的絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。1()Ehh 解：解：Euler公式：公式：1(,)nnnnyyhf xy 將其應用于將其應用于實驗實驗方程方程絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定域：域：11h 1120hh 當當 時，時，R 絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定區(qū)間：區(qū)間：2 0(,)經典的經典的R-K公式：公式：11234226()nnhyykkkk 26歡迎下載歡迎下載 可修改可修改1(,)nnkf xy 211222(,)()nnnhhhkf xykyk 322222(,)()nnnhhhkf xykyk 433(,)()nnnkf

24、 xh yhkyhk 22()nhy 23224()nhhy 3nyhk 2341234()()()()!hhhEhh 22334411234()!nnhhhyhy ny 27歡迎下載歡迎下載 可修改可修改當當 時，時，R 絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定區(qū)間：區(qū)間：2 785 0(.,)23411234()()()()!hhhEhh 可以證明：可以證明：存在唯一存在唯一極小值點極小值點2341234()!tttg tt 1 5960 270.;().tg t 23411234()!tttg tt 由由 得得28歡迎下載歡迎下載 可修改可修改例例4：求求梯形梯形公式（公式（隱式隱式方法）方法）的的絕對穩(wěn)定絕對

25、穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。解：解：梯形梯形公式：公式：1112(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy 112nnnnhyyyy 將其應用于將其應用于實驗實驗方程方程11212nnhyyh 1212()hEhh 10()Ehh 當當 時，時，R 絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定區(qū)間：區(qū)間：0(,)29歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價值，在招收誘惑的一瞬間被決定。22.7.622.7.6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。*7/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。22.7.6*Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請。*Wednesd

26、ay,July 06,202213、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。22.7.622.7.6*July 6,202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三*22.7.615、一個人炫耀什么，說明他內心缺少什么。2022年7月*22.7.6*July 6,202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。*7/6/202217、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。*22.7.6謝謝大家謝謝大家30歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022

27、-7-62022-7-62022-7-67/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。2022-7-62022-7-62022-7-6Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請。2022-7-62022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202213、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-67/6/202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三2022-7-62022-7-62022-7-615、一個人炫耀什么，說明他內心缺少什么。2022年7月2022-7-62022-7-62022-7-67/6/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-7-62022-7-6July 6,202217、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-6謝謝大家謝謝大家