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1、1 第一章概率論的基本概念 1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及各隨機(jī)事件。 (2)將a,b兩個(gè)球隨機(jī)地放入甲乙盒子中去，觀察甲乙兩個(gè)盒子 中球的個(gè)數(shù)。A表示“甲盒中至少有一個(gè)球” (1)將一顆骰子接連拋擲兩次，記錄兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和。A表 示“點(diǎn)數(shù)之和小于6”，B表示事件“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為7”。 （4）測量一輛汽車通過給定點(diǎn)的速度。A表示“汽車速度在60 至80之間”(單位：公里/小時(shí)) 練習(xí)一 (3)記錄南京市110在一小時(shí)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。A表示“南京 市110在一小時(shí)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)在6至10間”。 2.設(shè)A、B、C 為三個(gè)事件試用A、B、C 表示下列事件 (2)A，B，C 都不發(fā)生
2、 (1)A與B 不發(fā)生，而C 發(fā)生 (3)A、B、C 至少有一個(gè)發(fā)生 (4)A、B、C中恰有一個(gè)發(fā)生 (6) A、B、C 中至多有兩個(gè)發(fā)生 (5)A、B、C 中恰有兩個(gè)發(fā)生 (7) A、B、C 中至少有兩個(gè)發(fā)生 2 3 3.設(shè)A、B、C為三個(gè)事件,且 ， 求A，B，C都不發(fā)生的概率。 由 知 4 (2)A、B互不相容 4.設(shè)A、B是兩個(gè)事件且 ，試在 三種情況下求 (3)A、B有包含關(guān)系 5 5.設(shè)A、B、C是三個(gè)事件 求 ， 。 6 解：以A表示事件“指定的3本書放在一起” 練習(xí)二 1.把10本不同的書任意放在書架上，求其中指定 的3本書放在一起的概率。 10本書任意放置的情況共有 3個(gè)作整
3、體放置的情況共 3本書的排列共有 6 以A表示事件“指定的3本書放在一起” 以事件A表示“指定的3本書放在一起” 把事件“指定的3本書放在一起”表示為A 把“指定的3本書放在一起”表示為事件A 7 2.在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的 紀(jì)念章，任選3人記錄企紀(jì)念章的號(hào)碼。 (1)求最小號(hào)碼為5的概率 解：以A表示事件“最小號(hào)碼為5” (2)求最大號(hào)碼為5的概率 解：以B表示事件“最大號(hào)碼為5” 8 3.某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4 桶，紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨 意將這些發(fā)給顧客。問一個(gè)訂貨白漆10桶，黑漆3 桶，紅漆2桶的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得
4、到訂貨 的概率是多少？ 解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，紅漆2桶” 9 4.已知在10只晶體管中有2只是次品，在其中取兩次， 每次任取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。 (1)兩只都是正品解：以A表示事件“兩只都是正品” (4)第二次取出的是次品 解：以C表示事件“一只是正品，一只是次品” (2)兩只都是次品 (3)一只是正品，一只是次品； 解：以B表示事件“兩只都是次品” 解：以D表示事件“第二次取出的是次品 ” 10 解：以A表示事件“該方程有重根” 。 5.考慮一元二次方程 ，其中B,C分別是 將一枚骰子接連拋擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求該方程 有重根的概率。 樣本空間S中共有3
5、6個(gè)元素滿足判別式的樣本點(diǎn)只有 (2,1)和(4,4) 11 練習(xí)三 1. (1)已知 求 。 解 ： (2)已知 求 。 解 ： 12 2.假設(shè)患肺結(jié)核的人通過透視胸部能被確診的概率為 0.95，而未患肺結(jié)核的人通過透視胸部被誤診為病人的 概率為0.002。根據(jù)以往資料表明，某單位職工患肺結(jié) 核的概率為0.001。現(xiàn)在該單位有一個(gè)職工經(jīng)過透視被 診斷為患肺結(jié)核，求這個(gè)人確實(shí)患肺結(jié)核的概率。 解：以A表示事件“確實(shí)患肺結(jié)核”，以B表示事件“通 過透視被確診”。 13 3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患 者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，則 (1)此人是色盲患者的
6、概率 解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所取為 男子”。 (2)若此人恰好是色盲患者，問此人是女性的概率是多 少？ 解 ： 14 4.有兩箱同類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品，第二箱 裝30只，其中18只一等品，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱 中任取零件兩次，每次取一只，作不放回抽樣求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率 (2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件 也是一等品的概率。 解：以 表示事件“第i次從零件中取到一等品” 以 表示事件“取到第i箱” 15 解 ： 5.設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞的情況 有三種：損壞2%，(這一
7、事件記為 )，損壞10 %(事件 )，損壞 90%（事件 ）。且知 現(xiàn)在從 已被運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)地取3件，發(fā)現(xiàn)這3件都是好的(這一事件記 為B)。試求條件概率 （這里設(shè)物品數(shù)量 很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率。） 16 練習(xí)四 1. 口袋里裝有a+b枚硬幣，其中b枚硬幣是廢品(兩面 都是國徽)。從口袋中隨機(jī)地取出1枚硬幣，并把它獨(dú) 立地拋擲n次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)向上的一面全是國徽，試求這 枚硬幣是廢品的概率。 解：以A表示事件“n次出現(xiàn)都是國徽”，B表示事件“ 取到廢品” 17 證明 ： 2. 設(shè) 且 。 證明 A與B相互獨(dú)立。 18 3. 設(shè)某工廠生產(chǎn)的每臺(tái)儀器以概率0.7可以直接出廠
8、； 以概率0.3需要進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出 廠，以概率0.2定位不合格品不能出廠?，F(xiàn)在該廠生產(chǎn) 了n(n2)臺(tái)儀器，求所有儀器都能出廠的概率。 解：以Ai表示事件“第i件儀器能出廠”，以B表示事件 “第i件儀器需要進(jìn)一步調(diào)試”，以C表示事件：“所有 儀器都能出廠” 18 4. 設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4，它們的可靠性均為 p。將它們按下圖的方式連接，求這個(gè)系統(tǒng)的可靠性。 解：以A表示事件“系統(tǒng)的可靠性” 1 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1. 一個(gè)袋內(nèi)裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，從中任取3個(gè)， 設(shè)X為取到的紅球的個(gè)數(shù)，求X的分布律。 解：X的可能取值為 ： 練習(xí)一 X P 2
9、 2. 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為 p （02Y 其它 解： 6 3.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度 其它 其它 求隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度 其它 其它其它 7 (1)確定常數(shù)c 解 ： 4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度 (2)求隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度 其它 其它 其它 6 練習(xí)二 1.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為 且隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，求p與q的 值。 8 2.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 (2)判斷隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。 其它 解 ： 其它 (1)求隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣
10、概率密度 其它 顯然不獨(dú)立 8 3.設(shè)隨機(jī)變量Y 服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，令 (1)求二維隨機(jī)變量(X1,X2)的聯(lián)合概率分布律 (2) 判斷隨機(jī)變量X1與X2是否相互獨(dú)立 顯然， 不獨(dú)立。 9 4.設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0,1)上服從均 勻分布，Y服從參數(shù) 的指數(shù)分布。 (1)求隨機(jī)變量X 和Y 的聯(lián)合概率密度f (x, y); 其它 其它 由獨(dú)立 ： 其它 (2)設(shè)含有a的二次方程 試求a有實(shí)根的概 率。 17 練習(xí)三 1. 設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X和Y 的概率密 度分別為 求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度 。 其它 其它 解 ： 其它其它 17 2. 設(shè)X和Y是相互
11、獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在(0,1)上服 從均勻分布，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度 。 其它 其它 解：X和Y的概率密度函數(shù)分別為 其它其它 3 3. 設(shè) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 證明： 顯然， 所以 17 4. 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從正 態(tài)分布 ，試驗(yàn)證隨機(jī)變量 的概率 密度為 其它 我們稱Z服從參數(shù)為 的瑞利分布 證明：由X和Y獨(dú)立 令 其它 17 5. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y) 的概率密度為 其它 (1)求隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度 其它 其它 (2)判斷隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立？ 顯然， 獨(dú)立。 17 (3)求隨機(jī)變量U=maxX,Y的分布函數(shù) 。 1
12、 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1. 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大 負(fù)荷的時(shí)間X(以分計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量其概率密度為 其它 試求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) 。 解 ： 2 解 ： 2. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 試求 X P 3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 (1)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 (2)求隨機(jī)變量Y2X的數(shù)學(xué)期望 (3)求隨機(jī)變量Ze5X的數(shù)學(xué)期望 3 4.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 其它 試求 解 ： 4 解 ： 5.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為 (1)求 (2)又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求 解 ： 5 練習(xí)二 1.設(shè)某臺(tái)設(shè)備由三個(gè)元件所組成，在設(shè)備運(yùn)
13、轉(zhuǎn)中各個(gè)元件需要調(diào) 整的概率分布為0.1,0.2,0.3。假設(shè)各個(gè)元件是否需要調(diào)整是相互 獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的元件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望和方 差。 解：以Xi表示第i個(gè)元件的調(diào)整情況，i=1,2,3 第i個(gè)元件需要調(diào)整 第i個(gè)元件不需要調(diào)整 6 2.設(shè)乒乓球隊(duì)A與B比賽，如果有一個(gè)隊(duì)勝3場，則比 賽結(jié)束。已知A隊(duì)在比賽中獲勝的概率為0.5，試求比 賽場數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。 解：隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5 。 7 (1)寫出隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)。 3.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域 內(nèi)服從均勻分布。 其它 解：積分區(qū)域的面積為1 (2)求隨機(jī)變量Z2XY的數(shù)學(xué)期望及方差
14、。 8 解 ： 4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 ，對 X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于 的次 數(shù)，求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望。 其它 9 (1)求隨機(jī)變量Z=2X+Y的分布； 令 5.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立， 解 ： (2)求概率 (3)求概率 令 10 練習(xí)三 1. 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為 ： 試證明：X和Y是不相關(guān)的，但X與Y不是相互獨(dú)立的。 故X,Y不相關(guān)，而且不獨(dú) 立。 11 2. 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域 內(nèi)服從均勻分布，計(jì)算 。 其它 解：(X,Y)的概率密度函數(shù)為 12 解 ： 3.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差矩陣為 ，求 與 的相關(guān)系數(shù)。
15、13 4. 設(shè)連續(xù)型隨即變量X的概率密度為 (1)問X與|X|是否相關(guān)？為什么？ 解 ： 顯然不相 關(guān)。 (2)問X與|X|是否獨(dú)立？為什么？ 不獨(dú)立 14 5. 已知 ，試求 (1)協(xié)方差 (3)互協(xié)方差 (2)相關(guān)系數(shù) 1 第五章 大數(shù)定理與中心極限定理 1. 設(shè) ，則由契比雪夫不等式有 解 ： 2.設(shè) 相互獨(dú)立且均服從參數(shù) 的泊松 分布，試證明：當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)， 依概 率收斂于12。 由辛欽大數(shù)定律 2 證明：當(dāng)n充分大時(shí)， 近似服從正態(tài)分布，并 指出其分布參數(shù)。 解 ： 3.設(shè) 相互獨(dú)立且同分布，已知 3 4.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于 3m，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)
16、地取出100根，問其中至少 有30根短于3m的概率是多少。 解：設(shè)隨機(jī)變量 木柱長度不小于3m 木柱長度小于3m X服從(0-1)分布且 令 4 解：設(shè)X表示隨機(jī)變量，則舍入誤差XU(-0.5,0.5) 5.計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)取最靠近它的數(shù)據(jù)。設(shè)所 有的舍入誤差是獨(dú)立的。且在(-0.5,0.5)上服從均勻分布。 (1)若將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少 解：設(shè)最多可以有n個(gè)數(shù)相加使得誤差總和絕對值小于10 (2)最多可以有幾個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率 不小于0.9？ 解之得 ： 1 第六章樣本及抽樣分布 解 ： 1.自總體X抽得一個(gè)容量為5
17、的樣本為8,2,5,3,7，求樣 本均值 和樣本方差 及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 。 練習(xí)一 2 解 ： 2.在總體 中隨機(jī)地取一容量為100的樣本 ，問樣本均值與總體均值差的絕對值小于3的概率是 多少？ 3 (1)求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概 率。 3.在總體XN(12,4)中隨機(jī)地抽一容量為5的樣本 解：令 (2)求概率 解 ： (3)求概率 解：令 1 2.設(shè) 是取自具有 分布的總體的樣 本， 與 分別為樣本均值與樣本方差求 解：設(shè)總體為X 1 解 ： 1.設(shè) 是取自正態(tài)總體 的簡單隨 機(jī)樣本，求概率 。 練習(xí)二 解：設(shè)總體為X 2.設(shè) 是取自參數(shù)為 的泊松總體 的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，
18、與 分別為樣本均值與樣 本方差求 1 3.(1)設(shè) 是來自正態(tài)總體XN(0,2)的一個(gè) 簡單隨機(jī)樣本，試給出常數(shù)c使得 服從 分布，并指出它的自由度。 解：c = 1/4，自由度為2 。 解 ： 自由度為3 。 (2設(shè) 是來自正態(tài)總體XN(0,1)的一個(gè)簡 單隨機(jī)樣本，試給出常數(shù) d 使得 服從 t 分布，并指出它的自由度。 1 (1)求 ，其中 為樣本方 差。 (2)求 解：由 解 ： 4.設(shè)在總體 中抽取一容量為16的樣本，這里 均為未知。 01 1.隨機(jī)地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為 (以mm計(jì)) 試求總體均值 及方差 的矩估計(jì)值，并求樣本方差。 解 ： 第七章 參數(shù)估計(jì) 練習(xí)一 02
19、 2.設(shè)總體X 的密度函數(shù)為 (1) 矩估計(jì)量 且 是來自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本， 為相應(yīng)的樣本值，求參數(shù) 的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì) 量。(其中c已知且 ) 解: 解之得 ： 將 代入 03 (2) 最大似然估計(jì)量解: 最大似然函數(shù)為： 求對數(shù) 求導(dǎo)數(shù) 解之得，最大似然估計(jì)值為 最大似然估計(jì)量為 04 3.已知總體X 的分布律為 解之得 ： 將 代入得矩估計(jì)量 p為未知參 數(shù)。 且 是來自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本， 為 相應(yīng)的樣本值，求參數(shù)p的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。 (1) 矩估計(jì)量解: 05 求導(dǎo)數(shù) 求對數(shù) 最大似然函數(shù) 最大似然估計(jì)量為 (2) 最大似然估計(jì)量解: 最大似然估計(jì)值為
20、06 4.設(shè)總體X具有分布律 (1) 矩估計(jì)值 解之得: 其中 為未知參數(shù)，已知取得了樣本值 故矩估計(jì)值為 試求參數(shù) 的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì) 值。 即矩估計(jì)量 又矩估計(jì)值 07 (1)最大似然估計(jì)值 最大似然函數(shù)為 最大似然估計(jì)值為 08 5.設(shè)某種電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì))T服從雙參數(shù)的 指數(shù)分布，其概率密度為 (1)求c與 的最大似然估計(jì) 最大似然函數(shù)為 其中， 為未知參數(shù)，自一批這種器件中隨機(jī)地 取n件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，設(shè)它們的失效時(shí)間依次為 求對數(shù) 09 求導(dǎo)數(shù) 由最大似然原則知 最大似然估計(jì)值為 最大似然估計(jì)量為 10 (2)求c與 的矩估計(jì) 解之得 將 代入 即 11 1.驗(yàn)證第六章
21、第二節(jié)中定理四中的統(tǒng)計(jì)量 解 ： 是兩總體公共方差 的無偏估計(jì)量( 稱為 的合并估 計(jì))。 是兩總體公共方差 的無偏估計(jì) 量。 練習(xí)二 12 是 的無偏估計(jì) 量。 解 ： 2.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為 是來自總體X 的簡單隨機(jī)樣本。 是任意常數(shù) ，驗(yàn)證 無偏估計(jì)量得證。 13 解之得 解 ： 3. 設(shè) 是來自總體 X 的簡單隨機(jī)樣本，且 設(shè) ，試確定常數(shù)c，使 是 的無 偏估計(jì)量。 是樣本均值和樣本方差。 14 (1)指出 中哪幾個(gè)是 的無偏估計(jì) 量。 4. 設(shè) 是來自均值為 的指數(shù)分布總體X 的簡單隨機(jī)樣本。其中 為未知參數(shù)。設(shè)有估計(jì)量 15 (2) 在上述 的無偏估計(jì)量中指出哪一個(gè)更有 效。
22、4. 設(shè) 是來自均值為 的指數(shù)分布總體X 的簡單隨機(jī)樣本。其中 為未知參數(shù)。設(shè)有估計(jì)量 顯然， 則 更有效。 17 是來自總體X的簡單隨機(jī)樣 本。 5. 設(shè)總體X的密度函數(shù)為 (1)求參數(shù) 的最大似然估 計(jì)。 最大似然函數(shù)為 設(shè) 是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本 值。 最大似然估計(jì)值為 最大似然估計(jì)量為 17 (2)問最大似然估計(jì)量是否是無偏的。 最大似然估計(jì)量為 最大似然估計(jì)量是無偏 的。 (3)問最大似然估計(jì)量是否是 的相合的估計(jì)量。 由辛欽大數(shù)定律知是相合的。 01 1.設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間(以小時(shí)計(jì))為 設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布 。 (1)若已知 (小時(shí)) 。 練習(xí)三 求 的置
23、信水平為0.95的置信區(qū) 間。 求 的置信水平為0.95的單側(cè)置信上 限。 置信區(qū)間為 這里 這里 單側(cè)置信上限為 02 1.設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間(以小時(shí)計(jì))為 設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布 。 (2)若 未 知。 求 的置信水平為0.95的置信區(qū) 間。 求 的置信水平為0.95的單側(cè)置信上 限。 置信區(qū)間為 這里 這里 單側(cè)置信上限為 02 置信區(qū)間為 這里 2.使用金球測定引力常數(shù)(單位： )的觀察值為 設(shè)測定值總體為 均為未知。求 的置信水平 為0.90的置信區(qū)間。 02 置信區(qū)間為 解：這里 3.研究兩種固體燃料火箭推進(jìn)器的燃燒率。設(shè)兩者都服 從正態(tài)分布，并且已知燃燒率的標(biāo)準(zhǔn)
24、差為 ，取樣 本容量為 。得燃燒率的樣本均值分別為和 ，設(shè)兩樣本獨(dú)立，求兩燃燒率總體均值差 的置信水 平為0.99的置信區(qū)間。 02 單側(cè)置信上限為 置信區(qū)間為 4.設(shè)兩位化驗(yàn)員 A, B 獨(dú)立地對某種聚合物含氯量 用相同的方法各作10次測定，其測定值的樣本方差依 次為 。設(shè) 分別為A,B所測定的 測定值總體的方差。設(shè)總體均為正態(tài)分布，且兩樣本 獨(dú)立。 (1)求方差比 的置信水平為0.95的置信區(qū) 間。 (2)求方差比 的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。 02 單側(cè)置信下限為 5.隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，又從B批導(dǎo)線中 抽取5根，測得電阻(歐)為 這里 A批導(dǎo)線 ： B批導(dǎo)線 ：設(shè)測定數(shù)
25、據(jù)分別來自分布 ，且兩樣本 相互獨(dú)立。又 均為未知，試求均值差 的置 信水平為0.95的單側(cè)置信下限。 1 統(tǒng)計(jì)量 1.某批礦砂的8個(gè)樣品的鎳含量，經(jīng)測定為 解：根據(jù)題意，提出假設(shè) 設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，已知 ，問在顯著性 水平 下能否接受假設(shè)：這批礦砂的鎳含量的均值 為3.25。 拒絕域 樣本計(jì)算值 不在拒絕域內(nèi)，故接受原假設(shè)，認(rèn)為均值為3.25. 2 統(tǒng)計(jì)量 解：根據(jù)題意，即需檢驗(yàn)假設(shè) 拒絕域 樣本計(jì)算值 在拒絕域內(nèi)，故拒絕原假設(shè)，判定平均壽命小于1000小 時(shí)。 3.要求一種元件平均使用壽命不得低于1000小時(shí)，生產(chǎn)者 從一批這種元件中隨機(jī)地抽取25件，測得其壽命的平均 值為950小
26、時(shí)已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為 小時(shí) 的正態(tài)分布，總體均值 未知，試在顯著性水平 下 ，判定這批元件的壽命是否大于或等于1000？ 3 統(tǒng)計(jì)量 解：根據(jù)題意，即需檢驗(yàn)假設(shè) 拒絕域 樣本計(jì)算值為 不在拒絕域內(nèi)，接受原假設(shè)，認(rèn)為可看作一樣。 3.從某鋅礦的東、西兩支脈礦中各抽取樣本容量分 別為9與8的樣本進(jìn)行測試，得樣本含鋅平均數(shù)及樣本方 差如下： 東支 西支 若東西兩支脈礦得含鋅量都服從正態(tài)分布且方差相等，問 兩支礦含鋅量的平均值是否可以看作一樣。 4 解：根據(jù)題意 拒絕域 樣本計(jì)算值 在拒絕域內(nèi)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為均值差大于2。 4.在20世紀(jì)70年代后期人們發(fā)現(xiàn)，在釀造啤酒時(shí)，在麥芽干 燥過程
27、中形成致癌物質(zhì)亞硝基二甲胺(NDMA).到了20世紀(jì)80年代 初期開發(fā)了一種新的麥芽干燥過程。下面給出在新老兩種過程中 形成的NDMA含量 老過程 新過程 統(tǒng)計(jì)量 設(shè)兩樣本分別來自正態(tài)分布，且兩總體的方差相等，但參數(shù)未 知。兩樣本獨(dú)立，分別以 記對應(yīng)于老新過程的總體的均值， 試在顯著性水平 下檢驗(yàn)假設(shè) 5 解：根據(jù)題意，提出假設(shè) 拒絕域 樣本計(jì)算值 統(tǒng)計(jì)量 1.某種導(dǎo)線，要求其電阻的方差不得超過 。今 在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得 ?？傮w為 正態(tài)分布，參數(shù)均未知。問在顯著性水平 下能否 認(rèn)為這批導(dǎo)線的方差為 。 或 不在拒絕域內(nèi)，接受原假設(shè)，認(rèn)為方差為 。 6 解：根據(jù)題意 拒絕域 樣本
28、計(jì)算值為 統(tǒng)計(jì)量 不在拒絕域內(nèi)，接受原假 設(shè)。 2.有兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)金屬部件。分別在兩臺(tái)機(jī)器所生 產(chǎn)的部件中各取一容量為 的樣本，測得部件 重量的樣本方差分別為 。設(shè)兩樣本相互獨(dú) 立。兩總體分別服從正態(tài)分布 均 未知且兩樣本獨(dú)立。試在顯著性水平 下檢驗(yàn)假設(shè)。 7 拒絕域 樣本計(jì)算值為 統(tǒng)計(jì)量 顯然不在拒絕域內(nèi)，接受原假 設(shè)。 3.測得兩批電子器件得樣品的電阻為 A批 (x) B批 (y) 設(shè)這兩批器件的電阻值總體分別服從正態(tài)分布 均未知，且兩樣本獨(dú) 立。試在顯著性水平 下檢驗(yàn)假設(shè) 8 拒絕域 樣本計(jì)算值為 統(tǒng)計(jì)量 顯然不在拒絕域內(nèi)，接受原假 設(shè)。 3.測得兩批電子器件得樣品的電阻為 A批 (x) B批 (y) 設(shè)這兩批器件的電阻值總體分別服從正態(tài)分布 均未知，且兩樣本獨(dú) 立。試在顯著性水平 下檢驗(yàn)假設(shè)
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