初中數學中考復習 二次函數知識點總結

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1、二次函數知識點總結20110311 二次函數知識點： 1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數． 2. 二次函數的結構特征：⑴ 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．⑵ 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項． 二次函數的基本形式 1. 二次函數基本形式：的性質：左圖畫，右圖畫 結論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 總結： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而

2、減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 2. 的性質：左圖畫，右圖畫 結論：上加下減。 總結： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 3. 的性質：左圖畫，右圖畫 結論：左加右減。 總結： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質

3、 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值． 4. 的性質：左圖畫，右圖畫 總結： 二次函數圖象的平移 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 1. 平移步驟： ⑴ 將拋物線解

4、析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 三、二次函數與的比較 請將利用配方的形式配成頂點式。請將配成。 總結： 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中． 四、二次函數圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖

5、.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 左圖畫，右圖畫 五、二次函數的性質 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為． 當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值． 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；當時，有最大值． 六、二次函數解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數，）； 2. 頂點式：（

6、，，為常數，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化. 七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系 1. 二次項系數 二次函數中，作為二次項系數，顯然． ⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向

7、，的大小決定開口的大?。? 2. 一次項系數 在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在的前提下， 當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側． ⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即 當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側． 總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置． 總結： 3. 常數項 ⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； ⑵ 當時，拋物線與軸的交點

8、為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； ⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負． 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 二次函數解析式的確定： 根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4.

9、已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式． 二、二次函數圖象的對稱 二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關于頂點對稱 關于頂點對稱后，得到的解析式是； 關于頂點對稱后，得到的解析式是． 5. 關于點對稱

10、關于點對稱后，得到的解析式是 根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 二次函數與一元二次方程： 1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數： ① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當時

11、，圖象與軸只有一個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： ⑴ 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式； ⑶ 根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； ⑷ 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.