(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1講 坐標(biāo)系檢測 文

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1、第1講 坐標(biāo)系 [基礎(chǔ)題組練] 1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C:x2+y2=36變?yōu)楹畏N曲線,并求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo). 解:設(shè)圓x2+y2=36上任一點(diǎn)為P(x,y),伸縮變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x′,y′), 則所以4x′2+9y′2=36,即+=1. 所以曲線C在伸縮變換后得橢圓+=1, 其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0). 2.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos=1,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn). (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求點(diǎn)M,N的極坐標(biāo); (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐

2、標(biāo)方程. 解:(1)由ρcos=1,得ρ=1, 從而曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+y=1, 即x+y=2. θ=0時(shí),ρ=2,所以M(2,0). θ=時(shí),ρ=,所以N. (2)由(1)得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為. 所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為, 則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為, 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=,ρ∈(-∞,+∞). 3.在極坐標(biāo)系中,圓C是以點(diǎn)C為圓心,2為半徑的圓. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)求圓C被直線l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦長. 解:法一:(1)設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M(ρ,θ),如圖, 在Rt△OAM中,∠OMA=90°, ∠AOM=2

3、π-θ-,|OA|=4. 因?yàn)閏os∠AOM=, 所以|OM|=|OA|·cos∠AOM, 即ρ=4cos=4cos, 驗(yàn)證可知,極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程, 故ρ=4cos 為所求. (2)設(shè)l:θ=-(ρ∈R)交圓C于點(diǎn)P, 在Rt△OAP中,∠OPA=90°, 易得∠AOP=, 所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2. 法二:(1)圓C是將圓ρ=4cos θ繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓, 所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos. (2)將θ=-代入圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos,得ρ=2, 所以圓C被直線l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦長為2. 4.(2019

4、·南昌市第一次模擬測試卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線l1,l2的極坐標(biāo)方程分別為θ1=(ρ1∈R),θ2=(ρ2∈R),設(shè)直線l1,l2與曲線C的交點(diǎn)分別為O,M和O,N,求△OMN的面積. 解:(1)由參數(shù)方程得普通方程為x2+(y-2)2=4, 把代入x2+(y-2)2=4,得ρ2-4ρsin θ=0. 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ. (2)由直線l1:θ1=(ρ1∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O,M,得|OM|=4sin=2. 由直線l2:θ2=

5、(ρ2∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O,N,得|ON|=4sin=2. 易知∠MON=,所以S△OMN=|OM|×|ON|=×2×2=2. [綜合題組練] 1.(2019·沈陽質(zhì)量檢測(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l的極坐標(biāo)方程為θ=α,0<α<π. (1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)A,B分別為射線l與曲線C1,C2除原點(diǎn)之外的交點(diǎn),求|AB|的最大值. 解:(1)由曲線C1的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)t得x2+(y

6、-1)2=1,即x2+y2-2y=0, 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. 由曲線C2的直角坐標(biāo)方程x2+(y-2)2=4,得x2+y2-4y=0, 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ. (2)聯(lián)立得A(2sin α,α),所以|OA|=2sin α, 聯(lián)立得B(4sin α,α),所以|OB|=4sin α, 所以|AB|=|OB|-|OA|=2sin α, 因?yàn)?<α<π,所以當(dāng)α=時(shí),|AB|有最大值,最大值為2. 2.(2019·湖北八校聯(lián)考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1

7、)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)A,B為曲線C上兩點(diǎn),若OA⊥OB,求+的值. 解:(1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得到曲線C的直角坐標(biāo)方程是+y2=1. (2)因?yàn)棣?=,所以=+sin2θ, 由OA⊥OB,設(shè)A(ρ1,α),則點(diǎn)B的坐標(biāo)可設(shè)為, 所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=. 3.(綜合型)(2019·河南名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-1)2=1.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ+sin θ)=5

8、. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)在圓上找一點(diǎn)A,使它到直線l的距離最小,并求點(diǎn)A的極坐標(biāo). 解:(1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0, 因?yàn)棣眩絰2+y2,ρsin θ=y(tǒng), 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=2ρsin θ,即ρ=2sin θ. ρ(cos θ+sin θ)=5即ρcos θ+ρsin θ=5,因?yàn)棣裞os θ=x,ρsin θ=y(tǒng), 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y=-x+5. (2)曲線C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)為圓心,1為半徑的圓. 設(shè)圓上點(diǎn)A(x0,y0)到直線l:y=-x+5的距離最短,所以圓C在點(diǎn)A

9、處的切線與直線l:y=-x+5平行. 即直線CA與l的斜率的乘積等于-1,即×(-)=-1.① 因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上,所以x+(y0-1)2=1,② 聯(lián)立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=. 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或. 又由于圓上點(diǎn)A到直線l:y=-x+5的距離最小, 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為, 點(diǎn)A的極徑為 =,極角θ滿足tan θ=且θ為第一象限角,則可取θ=. 所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為. 4.(2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2

10、的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn). 綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 6

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