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1、第1講 坐標系
[基礎(chǔ)題組練]
1．在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C：x2＋y2＝36變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點坐標．
解：設圓x2＋y2＝36上任一點為P(x，y)，伸縮變換后對應的點的坐標為P′(x′，y′)，
則所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.
所以曲線C在伸縮變換后得橢圓＋＝1，
其焦點坐標為(±，0)．
2．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點．
(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求點M，N的極坐標；
(2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐
2、標方程．
解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，
從而曲線C的直角坐標方程為x＋y＝1，
即x＋y＝2.
θ＝0時，ρ＝2，所以M(2，0)．
θ＝時，ρ＝，所以N.
(2)由(1)得點M的直角坐標為(2，0)，點N的直角坐標為.
所以點P的直角坐標為，
則點P的極坐標為，
所以直線OP的極坐標方程為θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．
3．在極坐標系中，圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓．
(1)求圓C的極坐標方程；
(2)求圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長．
解：法一：(1)設所求圓上任意一點M(ρ，θ)，如圖，
在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，
∠AOM＝2
3、π－θ－，|OA|＝4.
因為cos∠AOM＝，
所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos＝4cos，
驗證可知，極點O與A的極坐標也滿足方程，
故ρ＝4cos 為所求．
(2)設l：θ＝－(ρ∈R)交圓C于點P，
在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，
易得∠AOP＝，
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2.
法二：(1)圓C是將圓ρ＝4cos θ繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，
所以圓C的極坐標方程是ρ＝4cos.
(2)將θ＝－代入圓C的極坐標方程ρ＝4cos，得ρ＝2，
所以圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長為2.
4．(2019
4、·南昌市第一次模擬測試卷)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求曲線C的極坐標方程；
(2)若直線l1，l2的極坐標方程分別為θ1＝(ρ1∈R)，θ2＝(ρ2∈R)，設直線l1，l2與曲線C的交點分別為O，M和O，N，求△OMN的面積．
解：(1)由參數(shù)方程得普通方程為x2＋(y－2)2＝4，
把代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.
所以曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(2)由直線l1：θ1＝(ρ1∈R)與曲線C的交點為O，M，得|OM|＝4sin＝2.
由直線l2：θ2＝
5、(ρ2∈R)與曲線C的交點為O，N，得|ON|＝4sin＝2.
易知∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|×|ON|＝×2×2＝2.
[綜合題組練]
1．(2019·沈陽質(zhì)量檢測(一))在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C2的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4.以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l的極坐標方程為θ＝α，0<α<π.
(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；
(2)設A，B分別為射線l與曲線C1，C2除原點之外的交點，求|AB|的最大值．
解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)t得x2＋(y
6、－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，
所以曲線C1的極坐標方程為ρ＝2sin θ.
由曲線C2的直角坐標方程x2＋(y－2)2＝4，得x2＋y2－4y＝0，
所以曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(2)聯(lián)立得A(2sin α，α)，所以|OA|＝2sin α，
聯(lián)立得B(4sin α，α)，所以|OB|＝4sin α，
所以|AB|＝|OB|－|OA|＝2sin α，
因為0<α<π，所以當α＝時，|AB|有最大值，最大值為2.
2．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知曲線C的極坐標方程為ρ2＝，以極點為平面直角坐標系的原點O，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．
(1
7、)求曲線C的直角坐標方程；
(2)A，B為曲線C上兩點，若OA⊥OB，求＋的值．
解：(1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，
將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲線C的直角坐標方程是＋y2＝1.
(2)因為ρ2＝，所以＝＋sin2θ，
由OA⊥OB，設A(ρ1，α)，則點B的坐標可設為，
所以＋＝＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝＋1＝.
3．(綜合型)(2019·河南名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，圓C的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝5
8、.
(1)求圓C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；
(2)在圓上找一點A，使它到直線l的距離最小，并求點A的極坐標．
解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，
因為ρ＝x2＋y2，ρsin θ＝y(tǒng)，
所以圓C的極坐標方程為ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.
ρ(cos θ＋sin θ)＝5即ρcos θ＋ρsin θ＝5，因為ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，
所以直線l的直角坐標方程為y＝－x＋5.
(2)曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓．
設圓上點A(x0，y0)到直線l：y＝－x＋5的距離最短，所以圓C在點A
9、處的切線與直線l：y＝－x＋5平行．
即直線CA與l的斜率的乘積等于－1，即×(－)＝－1.①
因為點A在圓上，所以x＋(y0－1)2＝1，②
聯(lián)立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.
所以點A的坐標為或.
又由于圓上點A到直線l：y＝－x＋5的距離最小，
所以點A的坐標為，
點A的極徑為 ＝，極角θ滿足tan θ＝且θ為第一象限角，則可取θ＝.
所以點A的極坐標為.
4．(2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2
10、的直角坐標方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓．
由題設知，C1是過點B(0，2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．
當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點；當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點．
綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2.
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