《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 第四節(jié) 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí) 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 第四節(jié) 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí) 文 新人教A版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四節(jié) 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系
A組 基礎(chǔ)題組
1.已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線(xiàn)ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是( )
A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定
答案 B 因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圓心O到直線(xiàn)ax+by=1的距離d=|a·0+b·0-1|a2+b2=1a2+b2<1.故直線(xiàn)與圓O相交.
2.過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線(xiàn)有且只有一條,則該切線(xiàn)的方程為( )
A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0
答案 B ∵過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(
2、x-1)2+y2=r2的切線(xiàn)有且只有一條,
∴點(diǎn)(3,1)在圓(x-1)2+y2=r2上,
∵圓心與切點(diǎn)連線(xiàn)的斜率k=1-03-1=12,
∴切線(xiàn)的斜率為-2,
則圓的切線(xiàn)方程為y-1=-2(x-3),
即2x+y-7=0.故選B.
3.若直線(xiàn)x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為22,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.-1或3 B.1或3 C.-2或6 D.0或4
答案 D 因?yàn)閳A(x-a)2+y2=4,
所以圓心為(a,0),半徑為2,
圓心到直線(xiàn)的距離d=|a-2|2,
則d2+2222=4,
解得a=4或0.故選D.
4.直線(xiàn)l與圓x2+y2+2x-4y
3、+a=0(a<3)相交于A,B兩點(diǎn),若弦AB的中點(diǎn)為(-2,3),則直線(xiàn)l的方程為( )
A.x+y-3=0 B.x+y-1=0
C.x-y+5=0 D.x-y-5=0
答案 C 由題意知直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k,又弦AB的中點(diǎn)為(-2,3),所以直線(xiàn)l的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圓的圓心坐標(biāo)為(-1,2),所以圓心到直線(xiàn)的距離為2,所以|-k-2+2k+3|k2+1=2,解得k=1,所以直線(xiàn)l的方程為x-y+5=0.
5.(2019四川南充模擬)已知圓O1的方程為x2+(y+1)2=6,圓O2的圓心坐標(biāo)為(2
4、,1).若兩圓相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4,則圓O2的方程為( )
A.(x-2)2+(y-1)2=6
B.(x-2)2+(y-1)2=22
C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22
D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32
答案 C 設(shè)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).因?yàn)閳AO1的方程為x2+(y+1)2=6,所以直線(xiàn)AB的方程為4x+4y+r2-10=0.圓心O1到直線(xiàn)AB的距離d=|r2-14|42,由d2+22=6,得(r2-14)232=2,所以r2-14=±8,r2=6或22.故圓O2
5、的方程為(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
6.過(guò)點(diǎn)A(3,1)的直線(xiàn)l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是 .?
答案 0,π3
解析 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)l的方程是x=3,此時(shí)直線(xiàn)l與圓相離,沒(méi)有公共點(diǎn),不符合題意.
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程為
y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0.
因?yàn)橹本€(xiàn)l和圓有公共點(diǎn),
所以圓心到直線(xiàn)的距離小于或等于半徑,則
|-3k+1|k2+1≤1,解得0≤k≤3,
所以直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是0,π3.
7.若直線(xiàn)l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2
6、x-3=0截得的弦最短,則直線(xiàn)l的方程是 .?
答案 x-y+1=0
解析 直線(xiàn)l:y=kx+1過(guò)定點(diǎn)P(0,1).圓C:x2+y2-2x-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4.故圓心C(1,0),半徑r=2.則易知定點(diǎn)P(0,1)在圓內(nèi),由圓的性質(zhì)可知當(dāng)PC⊥l時(shí),直線(xiàn)l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,因?yàn)閗PC=1-00-1=-1,所以直線(xiàn)l的斜率k=1,則直線(xiàn)l的方程是x-y+1=0.
8.已知直線(xiàn)x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點(diǎn),且AC⊥BC,則實(shí)數(shù)a的值為 .?
答案 0或6
解析 由x
7、2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,
∴圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑為3.
由AC⊥BC,知△ABC為等腰直角三角形,所以C到直線(xiàn)AB的距離d=322,即|-1-2+a|12+(-1)2=322,所以|a-3|=3,即a=0或a=6.
9.已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)若OM·ON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.
解析 (1)由題設(shè),可知直線(xiàn)l的方程為y=kx+1.
因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓C交于兩點(diǎn),所以|2k-3+1|1+k2<1.
解得4-73
8、4+73.
所以k的取值范圍為4-73,4+73.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.
OM·ON=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.
由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,
所以l的方程為y=x+1.
故圓心C在l上,所以|MN|=2.
10.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)y=x2+mx
9、-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí),解答下列問(wèn)題:
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說(shuō)明理由;
(2)證明過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.
解析 (1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下:
設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2滿(mǎn)足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.
又C的坐標(biāo)為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為-1x1·-1x2=-12,所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況.
(2)證明:BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為x22,12,可得BC的中垂線(xiàn)方程為y-12=x2x-x22.
由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂線(xiàn)方程為x=-
10、m2.
聯(lián)立x=-m2,y-12=x2x-x22,得x22+mx2+2y-1=0,
又由x22+mx2-2=0,可得x=-m2,y=-12,
所以過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為-m2,-12,
半徑r=m2+92.
故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2r2-m22=3,即過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.
B組 提升題組
1.已知直線(xiàn)ax+y-1=0與圓C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B兩點(diǎn),且△ABC為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.17或-1 B.-1
C.1或-1 D.1
答案 C 由題意得圓心(1,-a)到直線(xiàn)ax+y-1=0的距離為22
11、,所以|a-a-1|1+a2=22,解得a=±1,故選C.
2.若圓x2+y2=r2(r>0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)x-y-2=0的距離為1,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是( )
A.(2+1,+∞) B.(2-1,2+1)
C.(0,2-1) D.(0,2+1)
答案 A 計(jì)算得圓心到直線(xiàn)l的距離為22=2>1,如圖,直線(xiàn)l:x-y-2=0與圓相交,l1,l2與l平行,且與直線(xiàn)l的距離為1,故可以看出,圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線(xiàn)l2的距離2+1.
3.已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求M的軌跡
12、方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.
解析 (1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.
設(shè)M(x,y),則CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).
由題設(shè)知CM·MP=0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,
2為半徑的圓.
由于|OP|=|OM|,故O在線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)上,又P在圓N上,從而ON⊥PM.
因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為-1
13、3,故l的方程為y=-13x+83.
又|OM|=|OP|=22,O到l的距離為4105,則|PM|=4105,所以△POM的面積為165.
4.如圖,已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),與x軸的正半軸交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且|MN|=3.
(1)求圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)M任作一直線(xiàn)與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),連接AN,BN,求證:kAN+kBN為定值.
解析 (1)因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),所以可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(m,2)(m>0),
則圓C的半徑為m,又|MN|=3,所以m2=4+322=254,解得m=52,所以圓C的方程為x-522
14、+(y-2)2=254.
(2)證明:由(1)知M(1,0),N(4,0),當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率為0時(shí),易知kAN=kBN=0,即kAN+kBN=0.
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不為0時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB:x=1+ty,將x=1+ty代入x2+y2-4=0,并整理得,(t2+1)y2+2ty-3=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
所以y1+y2=-2tt2+1,y1y2=-3t2+1,則kAN+kBN=y1x1-4+y2x2-4=y1ty1-3+y2ty2-3=2ty1y2-3(y1+y2)(ty1-3)(ty2-3)=-6tt2+1+6tt2+1(ty1-3)(ty2-3)=0.
綜上可知,kAN+kBN為定值.
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