（全國通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測（二十四）不等式選講

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1、專題檢測（二十四） 不等式選講 大題專攻強化練 1．(2019·昆明市質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4； (2)當(dāng)x≠0，x∈R時，證明：f(－x)＋f≥4. 解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等價于|2x－1|＋|2x＋1|≥4， 等價于或或 解得x≤－1或x≥1， 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)證明：當(dāng)x≠0，x∈R時，f(－x)＋f＝|－2x－1|＋， 因為|－2x－1|＋≥＝2|x|＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)即x＝±1時等號成立， 所以f(－x)＋f≥4. 2．(2019·沈陽市質(zhì)量

2、監(jiān)測(一))設(shè)a>b>0，且ab＝2，記的最小值為M. (1)求M的值，并寫出此時a，b的值； (2)解關(guān)于x的不等式：|3x＋3|＋|x－2|>M. 解：(1)因為a>b>0，所以a－b>0，>0， 根據(jù)基本不等式有＝＝a－b＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號， 所以M的值為4，此時a＝＋1，b＝－1. (2)當(dāng)x≤－1時，原不等式等價于－(3x＋3)＋(2－x)>4，解得x<－； 當(dāng)－14，解得－4，解得x≥2. 綜上所述，原不等式的解集為∪.　 3．已知函數(shù)

3、f(x)＝|x－2|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥5. (2)若|a|>1，且f(ab)>|a|·f，證明：|b|>2. 解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥5等價于|x－2|＋|x－1|≥5， 當(dāng)x>2時，(x－2)＋(x－1)≥5，x≥4； 當(dāng)1≤x≤2時，(2－x)＋(x－1)≥5，1≥5，無解； 當(dāng)x<1時，(2－x)＋(1－x)≥5，x≤－1. 綜上，不等式的解集為{x|x≥4或x≤－1}． (2)證明：f(ab)>|a|·f ?|ab－2|>|a|· ?|ab－2|>|b－2a| ?(ab－2)2>(b－2a)2 ?a2b2＋4－b2－4a2

4、>0 ?(a2－1)(b2－4)>0. 因為|a|>1，所以a2－1>0， 所以b2－4>0，|b|>2. 4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2. (1)求＋的最小值； (2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式|x－1|＋|2x－3|≥＋成立，求實數(shù)x的取值范圍． 解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1， 又因為＋＝(a＋2b)＝＋＋4， 由a，b∈(0，＋∞)可知＋＋4≥2 ＋4＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取等號，所以＋的最小值為8. (2)由(1)及題意知不等式等價于|x－1|＋|2x－3|≥8， ①所以x≤－. ②無解， ③所以x≥4. 綜上，實

5、數(shù)x的取值范圍為∪[4，＋∞)． 5．(2019·濟南市模擬考試)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|2x－1|. (1)求不等式f(x)≤3的解集； (2)若不等式f(x)≤ax的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)法一：由題意f(x)＝ 當(dāng)x≤時，f(x)＝－3x＋3≤3，解得x≥0，即0≤x≤， 當(dāng)

6、象，不等式的解集為[0，2]． (2)由(1)可知，f(x)的圖象如圖所示， 不等式f(x)≤ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為f(x)>ax對任意x∈R恒成立， 即函數(shù)y＝ax的圖象始終在函數(shù)y＝f(x)的圖象的下方， 當(dāng)直線y＝ax過點A(2，3)以及與直線y＝－3x＋3平行時為臨界情況， 所以－3≤a<，即實數(shù)a的取值范圍為. 6．(2019·廣州市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時，解不等式＋f(x)≥1； (2)設(shè)不等式＋f(x)≤x的解集為M，若?M，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝2時，原不等式可化為|3x－1|＋|x－2|≥3

7、， ①當(dāng)x≤時，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0； ②當(dāng)＜x＜2時，3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2； ③當(dāng)x≥2時，3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2. 綜上所述，當(dāng)a＝2時，不等式的解集為. (2)不等式＋f(x)≤x可化為|3x－1|＋|x－a|≤3x， 依題意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈上恒成立， 所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，即a－1≤x≤a＋1， 所以解得－≤a≤， 故實數(shù)a的取值范圍是. 7．(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(

8、z＋1)2的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1. 解：(1)因為[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2 ＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝－，z＝－時等號成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為. (2)證明：因為[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2 ＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－

9、a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)] ≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]， 所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝時等號成立． 所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為. 由題設(shè)知≥，解得a≤－3或a≥－1. 8．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|，若f(x)的最小值為1. (1)求實數(shù)a的值； (2)若a＞0，m，n均為正實數(shù)，且滿足m＋n＝，求m2＋n2的最小值． 解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|， ①當(dāng)

10、a＞3，即－1＞－時，f(x)＝ ∵f(－1)－f＝－＝＞0， ∴f(－1)＞f， 則當(dāng)x＝－時，f(x)min＝－4－1－a＝1， ∴a＝6. ②當(dāng)a＜3，即－1＜－時， f(x)＝ ∵f(－1)－f＝(3－a)－＝＞0， ∴f(－1)＞f， 則當(dāng)x＝－時，f(x)min＝4＋1＋a＝1， ∴a＝0. ③當(dāng)a＝3，即－1＝－時，f(x)＝4|x＋1|， 當(dāng)x＝－1時，f(x)min＝0不滿足題意． 綜上，a＝0或a＝6. (2)由題意知，m＋n＝3.∵m＞0，n＞0， ∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤(m2＋n2)＋(m2＋n2)＝2(m2＋n2)， 即m2＋n2≥(m＋n)2， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時取“＝”． ∵m2＋n2≥，∴m2＋n2的最小值為. - 7 -