《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 文(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 文(含解析)新人教A版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)
夯實(shí)基礎(chǔ) 【p22】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練掌握二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系.
2.了解冪函數(shù)的概念,結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象了解它們的變化情況.
【基礎(chǔ)檢測(cè)】
1.函數(shù)y=-+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(1,2)B.(1,-2)
C.(-1,2)D.(-1,-2)
【解析】∵y=-+2=-+2,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,2).
【答案】C
2.冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),則該冪函數(shù)的解析式為( )
A.y=2xB.
2、y=x2C.y=x+2D.y=2x
【解析】設(shè)f(x)=xα,
∵其圖象過(guò)點(diǎn)(2,4),∴2α=4,α=2,即f(x)=x2.
故選B.
【答案】B
3.已知函數(shù)f=x2-2ax-3在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
【解析】函數(shù)f(x)=x2-2ax-3的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=a,畫(huà)出草圖如圖所示.
由圖象可知,函數(shù)在[a,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)增函數(shù),只需a≤1,從而a∈(-∞,1].故選B.【答案】B
4.若冪函數(shù)f=xm-1在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______
3、.
【解析】由于函數(shù)為冪函數(shù),故m2-m-1=1,解得m=2,m=-1,當(dāng)m=-1時(shí),函數(shù)在為減函數(shù),故m=2.
【答案】2
【知識(shí)要點(diǎn)】
1.五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
特征
性質(zhì)
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
圖象
定義域
R
R
R
__{x|x≥0}__
__{x|x≠0}__
值域
R
__{y|y≥0}__
R
__{y|y≥0}__
__{y|y≠0}__
奇偶性
__奇__
__偶__
__奇__
__非奇非偶__
__奇__
單調(diào)性
__增__
_
4、_(-∞,0)減,
(0,+∞)增__
__增__
__增__
__(-∞,0)和
(0,+∞)減__
公共點(diǎn)
(1,1)
2.二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式:f(x)=__ax2+bx+c(a≠0)__;
(2)頂點(diǎn)式:f(x)=__a(x-m)2+n(a≠0)__;
(3)零點(diǎn)式:f(x)=__a(x-x1)(x-x2)(a≠0)__.
3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
f(x)=ax2+bx+c
a>0
a<0
圖象
定義域
x∈R
值域
單調(diào)性
在
上遞減,
在
上遞增
在
上遞增,
在
5、
上遞減
奇偶性
b=0時(shí)為偶函數(shù),b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
圖象特點(diǎn)
①對(duì)稱(chēng)軸:x=-;
②頂點(diǎn):
典例剖析 【p23】
考點(diǎn)1 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(1)函數(shù)y=的圖象是( )
【解析】函數(shù)y=可化為y=x3,當(dāng)x=時(shí),求得y=<,選項(xiàng)B,D不合題意,可排除選項(xiàng)B,D;當(dāng)x=2時(shí),求得y=8>2,選項(xiàng)A不合題意,可排除選項(xiàng)A,故選C.
【答案】C
(2)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2).若f(m)=3,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.B.±C.±9D.9
【解析】依題意有2=4α,得α=,
6、所以f(x)=x,
當(dāng)f(m)=m=3時(shí),m=9.
【答案】D
(3)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),且f(a+1)10-2a>0,解不等式得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【答案】D
(4)設(shè)a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是________.
【解析】∵y=x(x>0)為增函數(shù),∴a>c.
∵y=(x∈R)為減函數(shù),∴c>b.
∴a>c>b.
【答案】a>c>b
7、
【小結(jié)】(1)冪函數(shù)的形式是y=xα(α∈R),其中只有一個(gè)參數(shù)α,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.
(2)若冪函數(shù)y=xα(α∈R)是偶函數(shù),則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí),一般將其先化為根式,再判斷.
(3)若冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α>0;若在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則α<0.
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的解析式的求法
已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式.
【解析】法一(利用一般式):設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由題意得解得
∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.
8、
法二(利用頂點(diǎn)式):設(shè)f(x)=a(x-m)2+n.
∵f(2)=f(-1),∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x==.
∴m=.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,∴n=8.
∴y=f(x)=a+8.
∵f(2)=-1,∴a+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三(利用零點(diǎn)式):
由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,
故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函數(shù)有最大值ymax=8,即=8.
解得a=-4或a=0(舍).
∴所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.
【小結(jié)】求二次函數(shù)解
9、析式的方法
考點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
已知函數(shù)f=x2-2ax+5.
(1)若f的定義域和值域均是,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若f在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的x∈,都有f≤0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)∵f=x2-2ax+5=+,
∴f在上單調(diào)遞減,又a>1,
∴f在上單調(diào)遞減,
∴∴∴a=2.
(2)∵f在區(qū)間上是減函數(shù),
∴,
∴a≥2.
∴≥,f≥f,
∴x∈時(shí),f=f,
又∵對(duì)任意的x∈,都有f≤0,
∴f≤0,即1-2a+5≤0,∴a≥3.
【小結(jié)】涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)要抓住開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).
考點(diǎn)4 二次函數(shù)的最值求
10、法
已知函數(shù)f=x2+x-3.
(1)當(dāng)a=2,x∈時(shí),求函數(shù)f的值域;
(2)若函數(shù)f在[-1,3]上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.
【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),f=x2+3x-3,x∈,對(duì)稱(chēng)軸x=-∈,
∴f=f=-,f=f=15,
∴函數(shù)f的值域?yàn)?
(2)函數(shù)f的對(duì)稱(chēng)軸為x=-.
①當(dāng)-≤1,即a≥-時(shí),f=f=6a+3,
∴6a+3=1,即a=-,滿(mǎn)足題意;
②當(dāng)->1,即a<-時(shí),f=f=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1,滿(mǎn)足題意.
綜上可知a=-或a=-1.
【小結(jié)】二次函數(shù)最值問(wèn)題的三種類(lèi)型及解題思路:
(1)類(lèi)型:①對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間都是給定的;②對(duì)稱(chēng)
11、軸動(dòng)、區(qū)間固定;③對(duì)稱(chēng)軸定、區(qū)間變動(dòng).
(2)思路:抓“三點(diǎn)一軸”,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸.
考點(diǎn)5 三個(gè)二次的綜合應(yīng)用
已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集為(-1,2).
(1)若方程f(x)+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最小值不大于-3a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】∵f(x)<2x的解集為(-1,2),
∴ax2+(b-2)x+c<0的解集為(-1,2),
∴a>0,且方程ax2+(b-2)x+c=0的兩根為-1和2,
即
∴f(x)=ax2+(2-a)x-
12、2a(a>0).
(1)∵方程f(x)+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,即ax2+(2-a)x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,
∴Δ=(2-a)2-4a2=03a2+4a-4=0,
∴a=-2(舍)或a=,
∵a>0,∴a=,∴f(x)=x2+x-.
(2)f(x)=ax2+(2-a)x-2a
=a+,
∵a>0,∴f(x)的最小值為,
則≤-3a,3a2+4a-4≤0,
解得-2≤a≤,
∵a>0,∴0
13、方面分析:
①開(kāi)口方向;
②對(duì)稱(chēng)軸位置;
③判別式;
④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).
【能力提升】
已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.
(1)若當(dāng)x∈R時(shí),不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求函數(shù)h(x)=|f(x)|+g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.
【解析】(1)不等式f(x)≥g(x)對(duì)任意x∈R恒成立,
即x2-1≥a|x-1|(*)對(duì)任意x∈R恒成立.
①當(dāng)x=1時(shí),(*)顯然成立,此時(shí)a∈R;
②當(dāng)x≠1時(shí),(*)可變形為a≤,
令φ(x)==
因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),φ(x)>2,當(dāng)x<1時(shí),φ(x)>-2,
所以φ(x)
14、>-2,故此時(shí)a≤-2.
綜合①②,得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2].
(2)h(x)=
①當(dāng)-≤0,即a≥0時(shí),(-x2-ax+a+1)max=h(0)=a+1,
(x2+ax-a-1)max=h(2)=a+3.
此時(shí),h(x)max=a+3.
②當(dāng)0<-≤1,即-2≤a<0時(shí),(-x2-ax+a+1)max=h=+a+1,(x2+ax-a-1)max=h(2)=a+3.
此時(shí)h(x)max=a+3.
③當(dāng)1<-≤2,即-4≤a<-2時(shí),(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0,
(x2+ax-a-1)max=max{h(1),h(2)}=max{0,3+a}=
15、
此時(shí)h(x)max=
④當(dāng)->2,即a<-4時(shí),(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0,
(x2+ax-a-1)max=h(1)=0.
此時(shí)h(x)max=0.
綜上,h(x)max=
方法總結(jié) 【p24】
1.二次函數(shù)、一元二次不等式和一元二次方程是一個(gè)有機(jī)的整體,要深刻理解它們之間的關(guān)系,運(yùn)用函數(shù)方程的思想、方法將它們進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,這是準(zhǔn)確迅速解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.
2.對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的研究是本講內(nèi)容的重點(diǎn),對(duì)如下結(jié)論必須熟練掌握:
(1)當(dāng)x=-∈[m,n]時(shí),是它的一個(gè)最值,另一個(gè)最值在區(qū)間端點(diǎn)取得.
(2)當(dāng)
16、x=-[m,n]時(shí),最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得.
(3)二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問(wèn)題的處理,常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類(lèi)討論的思想.
3.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)a>0且Δ<0時(shí)f(x)>0恒成立;當(dāng)a<0且Δ<0時(shí)f(x)<0恒成立.
4.二次函數(shù)問(wèn)題大多通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解,同時(shí)注意分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化.
走進(jìn)高考 【p24】
1.(2017·浙江)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m( )
A.與a有關(guān),且與b有關(guān)
B.與a有關(guān),但與b無(wú)關(guān)
C.與a無(wú)關(guān),且與b無(wú)關(guān)
D.與a無(wú)關(guān),但與b有關(guān)
【解析】因?yàn)樽钪翟趂(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定與b無(wú)關(guān),選B.
【答案】B
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