（名師導學）2020版高考數學總復習 第二章 函數 第9講 二次函數與冪函數練習 文（含解析）新人教A版

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1、第9講　二次函數與冪函數 夯實基礎　【p22】 【學習目標】 1．熟練掌握二次函數的概念、圖象、性質及其與一元二次方程、一元二次不等式的聯系． 2．了解冪函數的概念，結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象了解它們的變化情況． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函數y＝－＋2的頂點坐標是(　　) A．(1，2)B．(1，－2) C．(－1，2)D．(－1，－2) 【解析】∵y＝－＋2＝－＋2， ∴頂點坐標是(－1，2)． 【答案】C 2．冪函數y＝f(x)的圖象經過點(2，4)，則該冪函數的解析式為(　　) A．y＝2xB．

2、y＝x2C．y＝x＋2D．y＝2x 【解析】設f(x)＝xα， ∵其圖象過點(2，4)，∴2α＝4，α＝2，即f(x)＝x2. 故選B. 【答案】B 3．已知函數f＝x2－2ax－3在區(qū)間上是單調增函數，則實數a的取值范圍為(　　) A.B. C.D. 【解析】函數f(x)＝x2－2ax－3的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝a，畫出草圖如圖所示． 由圖象可知，函數在[a，＋∞)上是單調增函數，因此要使函數f(x)在區(qū)間[1，2]上是單調增函數，只需a≤1，從而a∈(－∞，1]．故選B.【答案】B 4．若冪函數f＝xm－1在區(qū)間上是增函數，則實數m的值為________

3、． 【解析】由于函數為冪函數，故m2－m－1＝1，解得m＝2，m＝－1，當m＝－1時，函數在為減函數，故m＝2. 【答案】2 【知識要點】 1．五種常見冪函數的圖象與性質 　　　　　函數 特征 性質　　　　 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R __{x|x≥0}__ __{x|x≠0}__ 值域 R __{y|y≥0}__ R __{y|y≥0}__ __{y|y≠0}__ 奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__ __非奇非偶__ __奇__ 單調性 __增__ _

4、_(－∞，0)減， (0，＋∞)增__ __增__ __增__ __(－∞，0)和 (0，＋∞)減__ 公共點 (1，1) 　　2.二次函數解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__； (2)頂點式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__； (3)零點式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__． 3．二次函數的圖象和性質 f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 圖象 定義域 x∈R 值域 單調性 在 上遞減， 在 上遞增 在 上遞增， 在

5、 上遞減 奇偶性 b＝0時為偶函數，b≠0時既不是奇函數也不是偶函數 圖象特點 ①對稱軸：x＝－； ②頂點： 典例剖析　【p23】 考點1　冪函數的圖象與性質 (1)函數y＝的圖象是(　　) 【解析】函數y＝可化為y＝x3，當x＝時，求得y＝<，選項B，D不合題意，可排除選項B，D；當x＝2時，求得y＝8>2，選項A不合題意，可排除選項A，故選C. 【答案】C (2)已知冪函數f(x)＝xα的圖象過點(4，2)．若f(m)＝3，則實數m的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B．±C．±9D．9 【解析】依題意有2＝4α，得α＝，

6、所以f(x)＝x， 當f(m)＝m＝3時，m＝9. 【答案】D (3)已知冪函數y＝f(x)的圖象經過點，且f(a＋1)10－2a>0，解不等式得實數a的取值范圍是. 【答案】D (4)設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是________． 【解析】∵y＝x(x>0)為增函數，∴a>c. ∵y＝(x∈R)為減函數，∴c>b. ∴a>c>b. 【答案】a>c>b

7、 【小結】(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式． (2)若冪函數y＝xα(α∈R)是偶函數，則α必為偶數．當α是分數時，一般將其先化為根式，再判斷． (3)若冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，則α>0；若在(0，＋∞)上單調遞減，則α<0. 考點2　二次函數的解析式的求法 已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數的解析式． 【解析】法一(利用一般式)：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 ∴所求二次函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.

8、 法二(利用頂點式)：設f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據題意函數有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a＋8. ∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍)． ∴所求函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【小結】求二次函數解

9、析式的方法 考點3　二次函數的圖象與性質 已知函數f＝x2－2ax＋5. (1)若f的定義域和值域均是，求實數a的值； (2)若f在區(qū)間上是減函數，且對任意的x∈，都有f≤0，求實數a的取值范圍． 【解析】(1)∵f＝x2－2ax＋5＝＋， ∴f在上單調遞減，又a>1， ∴f在上單調遞減， ∴∴∴a＝2. (2)∵f在區(qū)間上是減函數， ∴， ∴a≥2. ∴≥，f≥f， ∴x∈時，f＝f， 又∵對任意的x∈，都有f≤0， ∴f≤0，即1－2a＋5≤0，∴a≥3. 【小結】涉及二次函數的圖象與性質要抓住開口、對稱軸、與坐標軸的交點． 考點4　二次函數的最值求

10、法 已知函數f＝x2＋x－3. (1)當a＝2，x∈時，求函數f的值域； (2)若函數f在[－1，3]上的最大值為1，求實數a的值． 【解析】(1)當a＝2時，f＝x2＋3x－3，x∈，對稱軸x＝－∈， ∴f＝f＝－，f＝f＝15， ∴函數f的值域為. (2)函數f的對稱軸為x＝－. ①當－≤1，即a≥－時，f＝f＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，滿足題意； ②當－>1，即a<－時，f＝f＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意． 綜上可知a＝－或a＝－1. 【小結】二次函數最值問題的三種類型及解題思路： (1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱

11、軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動． (2)思路：抓“三點一軸”，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸． 考點5　三個二次的綜合應用 已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且不等式f(x)<2x的解集為(－1，2)． (1)若方程f(x)＋3a＝0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最小值不大于－3a，求實數a的取值范圍． 【解析】∵f(x)<2x的解集為(－1，2)， ∴ax2＋(b－2)x＋c<0的解集為(－1，2)， ∴a>0，且方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的兩根為－1和2， 即 ∴f(x)＝ax2＋(2－a)x－

12、2a(a>0)． (1)∵方程f(x)＋3a＝0有兩個相等的實根，即ax2＋(2－a)x＋a＝0有兩個相等的實根， ∴Δ＝(2－a)2－4a2＝03a2＋4a－4＝0, ∴a＝－2(舍)或a＝， ∵a>0，∴a＝，∴f(x)＝x2＋x－. (2)f(x)＝ax2＋(2－a)x－2a ＝a＋， ∵a>0，∴f(x)的最小值為， 則≤－3a，3a2＋4a－4≤0， 解得－2≤a≤， ∵a>0，∴0

13、方面分析： ①開口方向； ②對稱軸位置； ③判別式； ④端點函數值符號． 【能力提升】 已知函數f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|. (1)若當x∈R時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍； (2)求函數h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值． 【解析】(1)不等式f(x)≥g(x)對任意x∈R恒成立， 即x2－1≥a|x－1|(*)對任意x∈R恒成立． ①當x＝1時，(*)顯然成立，此時a∈R； ②當x≠1時，(*)可變形為a≤， 令φ(x)＝＝ 因為當x>1時，φ(x)>2，當x<1時，φ(x)>－2， 所以φ(x)

14、>－2，故此時a≤－2. 綜合①②，得所求實數a的取值范圍是(－∞，－2]． (2)h(x)＝ ①當－≤0，即a≥0時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時，h(x)max＝a＋3. ②當0<－≤1，即－2≤a<0時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時h(x)max＝a＋3. ③當1<－≤2，即－4≤a<－2時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0，3＋a}＝

15、 此時h(x)max＝ ④當－>2，即a<－4時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0. 此時h(x)max＝0. 綜上，h(x)max＝ 方法總結　【p24】 1．二次函數、一元二次不等式和一元二次方程是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的關系，運用函數方程的思想、方法將它們進行適當的轉化，這是準確迅速解決此類問題的關鍵． 2．對二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在[m，n]上的最值的研究是本講內容的重點，對如下結論必須熟練掌握： (1)當x＝－∈[m，n]時，是它的一個最值，另一個最值在區(qū)間端點取得． (2)當

16、x＝－[m，n]時，最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個端點處取得． (3)二次函數在某個區(qū)間上的最值問題的處理，常常要利用數形結合的思想和分類討論的思想． 3．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當a＞0且Δ＜0時f(x)＞0恒成立；當a＜0且Δ＜0時f(x)＜0恒成立． 4．二次函數問題大多通過數形結合求解，同時注意分類討論和等價轉化． 走進高考　　【p24】 1．(2017·浙江)若函數f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關 C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關 【解析】因為最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定與b無關，選B. 【答案】B - 9 -