(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題07 雙曲線(含解析)
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1、專題07雙曲線 【母題來(lái)源一】【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ . 【答案】 【解析】由已知得,解得或, 因?yàn)?,所? 因?yàn)椋噪p曲線的漸近線方程為. 【名師點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),往往以小題的形式考查,其難度一般較小,是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān),事實(shí)上,標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0,即得漸近線方程. 【母題來(lái)源二】【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為,則其離心率的值是________________. 【答案】 【解析】因?yàn)?/p>
2、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線,即的距離為,所以,因此,,. 【母題來(lái)源三】【2017年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn),,其焦點(diǎn)是,則四邊形的面積是_______________. 【答案】 【解析】右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為, 設(shè),則,,, 所以四邊形的面積. 【名師點(diǎn)睛】(1)已知雙曲線方程求漸近線:; (2)已知漸近線可設(shè)雙曲線方程為; (3)雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,垂足為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn). 【命題意圖】 通過了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想考查它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 【命題規(guī)律
3、】 雙曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考的熱點(diǎn),難度中檔,注重對(duì)計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的考查.從近幾年江蘇的高考試題來(lái)看,主要的命題角度有: (1)對(duì)雙曲線定義與方程的考查; (2)對(duì)雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的考查,如求雙曲線的漸近線、準(zhǔn)線、離心率等; (3)雙曲線與其他知識(shí)的綜合,如平面幾何、向量、直線與圓等. 【方法總結(jié)】 (一)對(duì)雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程必須掌握以下內(nèi)容: (1)在求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d時(shí),一定要注意這一隱含條件. (2)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),先確定雙曲線的類型,也就是確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸,從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后利用待定
4、系數(shù)法求出方程中的的值,最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (3)在求雙曲線的方程時(shí),若不知道焦點(diǎn)的位置,則進(jìn)行討論,或可直接設(shè)雙曲線的方程為. (4)常見雙曲線方程的設(shè)法: ①與雙曲線(a>0,b>0)有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為. ②若雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線方程可設(shè)為或. ③與雙曲線(a>0,b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為. ④過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為. ⑤與橢圓(a>b>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為. (二)對(duì)于雙曲線的漸近線,有下面兩種考查方式: (1)已知雙曲線的方程求其漸近線方程; (2)給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程,由漸近線方程可確定
5、a,b的關(guān)系,結(jié)合已知條件可解. (三)求雙曲線的離心率一般有兩種方法: (1)由條件尋找滿足的等式或不等式,一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形,即,注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系,在橢圓中,而在雙曲線中. (2)根據(jù)條件列含的齊次方程,利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程,求解可得,注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對(duì)解進(jìn)行取舍. (四)求解雙曲線的離心率的范圍的方法: 一般是根據(jù)條件,結(jié)合和,得到關(guān)于的不等式,求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍,橢圓離心率的范圍.另外,在建立關(guān)于的不等式時(shí),注意雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最值的應(yīng)用. 1.【江蘇省南通市2019屆高
6、三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線,則點(diǎn)到的漸近線的距離為_______. 【答案】 【解析】雙曲線的漸近線方程為:y=±x, 點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為:=. 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.求出雙曲線的漸近線方程,利用點(diǎn)到直線距離公式得到結(jié)果. 2.【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查(二)數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線C的方程為,則其離心率為_______. 【答案】 【解析】由雙曲線C的方程可得:, 所以,所以. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),由雙曲線
7、C的方程可求得,,問題得解. 3.【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】若雙曲線的離心率為,則實(shí)數(shù)的值為_______. 【答案】1 【解析】因?yàn)榇黼p曲線, 所以,且,, 所以,解出, 故答案為:1. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率,屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),先由雙曲線方程求出,再利用列方程求解. 4.【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),則點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為_______. 【答案】 【解析】由題意得,左準(zhǔn)線方程為, 所以,又漸近線方程為:, 所以到漸近線的距離為,故填. 【名師點(diǎn)睛】
8、本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),要求能從標(biāo)準(zhǔn)方程中得到,并計(jì)算出準(zhǔn)線方程、漸近線方程等,此類問題是基礎(chǔ)題.求解時(shí),先求出左準(zhǔn)線方程,從而得到的坐標(biāo),利用公式可計(jì)算它到漸近線的距離. 5.【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的離心率為,則該雙曲線的焦距為_______. 【答案】4 【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為, 所以,即,解得, 所以該雙曲線的焦距為. 故答案為4. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的焦距,熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可,屬于基礎(chǔ)題型.求解時(shí),先由離心率求出,進(jìn)而可求出焦距. 6.【江蘇省師大附中2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試
9、題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線的一條漸近線方程為,則它的離心率為_______. 【答案】 【解析】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x, 又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx, 則有,即a=2b,所以cb, 故該雙曲線的離心率e. 故答案為:. 7.【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則b的值為_______. 【答案】2 【解析】由題意得,右頂點(diǎn)為A( 2,0 ),一條漸近線為bx﹣2y=0, 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得,可得b=2,
10、 故答案為2. 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,熟記雙曲線基本概念,準(zhǔn)確計(jì)算點(diǎn)線距離是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題. 8.【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3a,則該雙曲線的漸近線方程為_______. 【答案】 【解析】漸近線方程為:, 由雙曲線對(duì)稱性可知,兩焦點(diǎn)到兩漸近線的距離均相等, 取漸近線,焦點(diǎn), , 漸近線方程為:, 本題正確結(jié)果:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式,關(guān)鍵在于利用點(diǎn)到直線距離公式建立的等量關(guān)系,求解得到結(jié)果.求解時(shí),由標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程,利
11、用點(diǎn)到直線的距離構(gòu)造方程,求得的值,從而得到漸近線方程. 8.【江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)、溧陽(yáng)中學(xué)2018-2019學(xué)年上學(xué)期第二次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線的一條漸近線與直線平行,則實(shí)數(shù)_______. 【答案】 【解析】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線的漸近線方程為y=, ∵漸近線與直線平行,∴. 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題. 9.【江蘇省如東中學(xué)2019屆高三年級(jí)第二次學(xué)情測(cè)試數(shù)學(xué)試卷】已知傾斜角為的直線l的斜率等于雙曲線的離心率,則=_______. 【答案】 【解析】雙
12、曲線的離心率,, 為直線的傾斜角,∴, ,, ∴=sin=2sin=, 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查的是利用雙曲線的離心率得出tan,再利用三角函數(shù)的倍角公式得出結(jié)果即可,屬于基礎(chǔ)題.由題意知,tan=,=sin,利用三角函數(shù)關(guān)系得出結(jié)果即可. 10.【江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬數(shù)學(xué)試題】若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線C:的漸近線距離等于,則雙曲線C的離心率為_______. 【答案】 【解析】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),雙曲線C:(a>0,b>0)的一條漸近線方程為yx, ∴,∴e3, 故答案為:3. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和雙
13、曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí),先求出拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),和雙曲線的一條漸近線方程為yx,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式即可求出. 11.【江蘇省連云港市2019屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一條漸近線被圓C:截得的線段長(zhǎng)為,則_______. 【答案】2 【解析】由于雙曲線為等軸雙曲線,故漸近線方程為,不妨設(shè)漸近線為. 圓的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為. 故弦長(zhǎng)為,解得. 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查直線和圓相交所得弦長(zhǎng)公式.對(duì)于雙曲線,漸近線為,對(duì)于雙曲線,漸近線為.直線和圓相交所得弦長(zhǎng)的弦
14、長(zhǎng)公式為,其中為圓心到直線的距離. 12.【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬(三模)數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線 的右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為,則雙曲線的方程為_______. 【答案】 【解析】雙曲線的右頂點(diǎn)為:,漸近線為:, 依題意有:,解得:, 雙曲線的方程為:, 本題正確結(jié)果:. 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì),利用點(diǎn)到直線距離構(gòu)造出方程. 13.【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線,過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn),以線段為直徑的圓過右焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為
15、_______. 【答案】 【解析】過原點(diǎn)的傾斜角為的直線方程為, 解方程組:或 則,, 因?yàn)橐跃€段為直徑的圓過右焦點(diǎn),所以, 因此有,結(jié)合, 化簡(jiǎn)得,所以有,解得. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率,解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造向量式,利用求出雙曲線的離心,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.其實(shí)本題也可以根據(jù)平面幾何圖形的性質(zhì)入手,由雙曲線和直線的對(duì)稱性,以線段為直徑的圓過右焦點(diǎn),顯然,直線的傾斜角為,這樣可以求出的坐標(biāo),代入雙曲線方程中,也可以求出雙曲線的離心率. 14.【江蘇省七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角
16、坐標(biāo)系中,雙曲線()的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若△AOB的面積為,則該雙曲線的離心率為_______. 【答案】2 【解析】由題可得:雙曲線()的右準(zhǔn)線方程為:, 兩條漸近線方程分別,, 由可得:, 由雙曲線的對(duì)稱性可得:, 所以△AOB的面積為, 整理得:,即, 所以該雙曲線的離心率為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),還考查了方程思想及三角形面積公式,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.求解時(shí),由雙曲線的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)可求得:,再由△AOB的面積為列方程整理得:,問題得解. 15.【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn).若拋物線的焦點(diǎn)為,且,則雙曲線的漸近線方程為_______. 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)A(x,y), 因?yàn)?,所以x?(?1)=5,所以x=4.所以點(diǎn)A(4,±4), 由題得即即 所以雙曲線的漸近線方程為. 故答案為:. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.求解時(shí),設(shè)點(diǎn)A(x,y),根據(jù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo),再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求出,再求雙曲線的漸近線方程. 12
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