(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題07 雙曲線(含解析)

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1、專題07雙曲線 【母題來源一】【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中,若雙曲線經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ . 【答案】 【解析】由已知得,解得或, 因為,所以. 因為,所以雙曲線的漸近線方程為. 【名師點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì),往往以小題的形式考查,其難度一般較小,是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的密切相關(guān),事實上,標準方程中化1為0,即得漸近線方程. 【母題來源二】【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中,若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為,則其離心率的值是________________. 【答案】 【解析】因為

2、雙曲線的焦點到漸近線,即的距離為,所以,因此,,. 【母題來源三】【2017年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中,雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點,,其焦點是,則四邊形的面積是_______________. 【答案】 【解析】右準線方程為,漸近線方程為, 設(shè),則,,, 所以四邊形的面積. 【名師點睛】(1)已知雙曲線方程求漸近線:; (2)已知漸近線可設(shè)雙曲線方程為; (3)雙曲線的焦點到漸近線的距離為,垂足為對應(yīng)準線與漸近線的交點. 【命題意圖】 通過了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想考查它的簡單幾何性質(zhì)以及雙曲線的簡單應(yīng)用. 【命題規(guī)律

3、】 雙曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考的熱點,難度中檔,注重對計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的考查.從近幾年江蘇的高考試題來看,主要的命題角度有: (1)對雙曲線定義與方程的考查; (2)對雙曲線簡單幾何性質(zhì)的考查,如求雙曲線的漸近線、準線、離心率等; (3)雙曲線與其他知識的綜合,如平面幾何、向量、直線與圓等. 【方法總結(jié)】 (一)對雙曲線的定義與標準方程必須掌握以下內(nèi)容: (1)在求解雙曲線上的點到焦點的距離d時,一定要注意這一隱含條件. (2)求解雙曲線的標準方程時,先確定雙曲線的類型,也就是確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸,從而設(shè)出相應(yīng)的標準方程的形式,然后利用待定

4、系數(shù)法求出方程中的的值,最后寫出雙曲線的標準方程. (3)在求雙曲線的方程時,若不知道焦點的位置,則進行討論,或可直接設(shè)雙曲線的方程為. (4)常見雙曲線方程的設(shè)法: ①與雙曲線(a>0,b>0)有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為. ②若雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線方程可設(shè)為或. ③與雙曲線(a>0,b>0)共焦點的雙曲線方程可設(shè)為. ④過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設(shè)為. ⑤與橢圓(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為. (二)對于雙曲線的漸近線,有下面兩種考查方式: (1)已知雙曲線的方程求其漸近線方程; (2)給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程,由漸近線方程可確定

5、a,b的關(guān)系,結(jié)合已知條件可解. (三)求雙曲線的離心率一般有兩種方法: (1)由條件尋找滿足的等式或不等式,一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形,即,注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系,在橢圓中,而在雙曲線中. (2)根據(jù)條件列含的齊次方程,利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程,求解可得,注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進行取舍. (四)求解雙曲線的離心率的范圍的方法: 一般是根據(jù)條件,結(jié)合和,得到關(guān)于的不等式,求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍,橢圓離心率的范圍.另外,在建立關(guān)于的不等式時,注意雙曲線上的點到焦點的距離的最值的應(yīng)用. 1.【江蘇省南通市2019屆高

6、三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線,則點到的漸近線的距離為_______. 【答案】 【解析】雙曲線的漸近線方程為:y=±x, 點(4,0)到C的漸近線的距離為:=. 故答案為:. 【名師點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.求出雙曲線的漸近線方程,利用點到直線距離公式得到結(jié)果. 2.【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查(二)數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線C的方程為,則其離心率為_______. 【答案】 【解析】由雙曲線C的方程可得:, 所以,所以. 【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì),考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.求解時,由雙曲線

7、C的方程可求得,,問題得解. 3.【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】若雙曲線的離心率為,則實數(shù)的值為_______. 【答案】1 【解析】因為代表雙曲線, 所以,且,, 所以,解出, 故答案為:1. 【名師點睛】本題考查了雙曲線的離心率,屬于基礎(chǔ)題.求解時,先由雙曲線方程求出,再利用列方程求解. 4.【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的左準線與軸的交點為點,則點到其中一條漸近線的距離為_______. 【答案】 【解析】由題意得,左準線方程為, 所以,又漸近線方程為:, 所以到漸近線的距離為,故填. 【名師點睛】

8、本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),要求能從標準方程中得到,并計算出準線方程、漸近線方程等,此類問題是基礎(chǔ)題.求解時,先求出左準線方程,從而得到的坐標,利用公式可計算它到漸近線的距離. 5.【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標系中,雙曲線的離心率為,則該雙曲線的焦距為_______. 【答案】4 【解析】因為雙曲線的離心率為, 所以,即,解得, 所以該雙曲線的焦距為. 故答案為4. 【名師點睛】本題主要考查求雙曲線的焦距,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可,屬于基礎(chǔ)題型.求解時,先由離心率求出,進而可求出焦距. 6.【江蘇省師大附中2019屆高三年級第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

9、題】在平面直角坐標系xOy中,雙曲線的一條漸近線方程為,則它的離心率為_______. 【答案】 【解析】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x, 又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx, 則有,即a=2b,所以cb, 故該雙曲線的離心率e. 故答案為:. 7.【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標系中,已知雙曲線的右頂點到漸近線的距離為,則b的值為_______. 【答案】2 【解析】由題意得,右頂點為A( 2,0 ),一條漸近線為bx﹣2y=0, 根據(jù)點到直線的距離公式得,可得b=2,

10、 故答案為2. 【名師點睛】本題考查雙曲線的標準方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,熟記雙曲線基本概念,準確計算點線距離是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題. 8.【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為3a,則該雙曲線的漸近線方程為_______. 【答案】 【解析】漸近線方程為:, 由雙曲線對稱性可知,兩焦點到兩漸近線的距離均相等, 取漸近線,焦點, , 漸近線方程為:, 本題正確結(jié)果:. 【名師點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、點到直線距離公式,關(guān)鍵在于利用點到直線距離公式建立的等量關(guān)系,求解得到結(jié)果.求解時,由標準方程可得漸近線方程,利

11、用點到直線的距離構(gòu)造方程,求得的值,從而得到漸近線方程. 8.【江蘇省前黃高級中學(xué)、溧陽中學(xué)2018-2019學(xué)年上學(xué)期第二次階段檢測數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標系中,已知雙曲線的一條漸近線與直線平行,則實數(shù)_______. 【答案】 【解析】在平面直角坐標系xOy中,雙曲線的漸近線方程為y=, ∵漸近線與直線平行,∴. 故答案為:. 【名師點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的標準方程和直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,屬于基礎(chǔ)題. 9.【江蘇省如東中學(xué)2019屆高三年級第二次學(xué)情測試數(shù)學(xué)試卷】已知傾斜角為的直線l的斜率等于雙曲線的離心率,則=_______. 【答案】 【解析】雙

12、曲線的離心率,, 為直線的傾斜角,∴, ,, ∴=sin=2sin=, 故答案為:. 【名師點睛】本題考查的是利用雙曲線的離心率得出tan,再利用三角函數(shù)的倍角公式得出結(jié)果即可,屬于基礎(chǔ)題.由題意知,tan=,=sin,利用三角函數(shù)關(guān)系得出結(jié)果即可. 10.【江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬數(shù)學(xué)試題】若拋物線的焦點到雙曲線C:的漸近線距離等于,則雙曲線C的離心率為_______. 【答案】 【解析】拋物線x2=4y的焦點坐標為(0,1),雙曲線C:(a>0,b>0)的一條漸近線方程為yx, ∴,∴e3, 故答案為:3. 【名師點睛】本題考查了拋物線和雙

13、曲線的簡單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.求解時,先求出拋物線x2=4y的焦點坐標為(0,1),和雙曲線的一條漸近線方程為yx,根據(jù)點到直線的距離公式和離心率公式即可求出. 11.【江蘇省連云港市2019屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一條漸近線被圓C:截得的線段長為,則_______. 【答案】2 【解析】由于雙曲線為等軸雙曲線,故漸近線方程為,不妨設(shè)漸近線為. 圓的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為. 故弦長為,解得. 【名師點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查直線和圓相交所得弦長公式.對于雙曲線,漸近線為,對于雙曲線,漸近線為.直線和圓相交所得弦長的弦

14、長公式為,其中為圓心到直線的距離. 12.【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬(三模)數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標系中,雙曲線 的右頂點到雙曲線的一條漸近線的距離為,則雙曲線的方程為_______. 【答案】 【解析】雙曲線的右頂點為:,漸近線為:, 依題意有:,解得:, 雙曲線的方程為:, 本題正確結(jié)果:. 【名師點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解,關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì),利用點到直線距離構(gòu)造出方程. 13.【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線,過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于兩點,以線段為直徑的圓過右焦點,則雙曲線的離心率為

15、_______. 【答案】 【解析】過原點的傾斜角為的直線方程為, 解方程組:或 則,, 因為以線段為直徑的圓過右焦點,所以, 因此有,結(jié)合, 化簡得,所以有,解得. 【名師點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率,解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造向量式,利用求出雙曲線的離心,考查了數(shù)學(xué)運算能力.其實本題也可以根據(jù)平面幾何圖形的性質(zhì)入手,由雙曲線和直線的對稱性,以線段為直徑的圓過右焦點,顯然,直線的傾斜角為,這樣可以求出的坐標,代入雙曲線方程中,也可以求出雙曲線的離心率. 14.【江蘇省七市(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角

16、坐標系中,雙曲線()的右準線與兩條漸近線分別交于A,B兩點.若△AOB的面積為,則該雙曲線的離心率為_______. 【答案】2 【解析】由題可得:雙曲線()的右準線方程為:, 兩條漸近線方程分別,, 由可得:, 由雙曲線的對稱性可得:, 所以△AOB的面積為, 整理得:,即, 所以該雙曲線的離心率為. 【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),還考查了方程思想及三角形面積公式,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.求解時,由雙曲線的右準線與兩條漸近線分別交于A,B兩點可求得:,再由△AOB的面積為列方程整理得:,問題得解. 15.【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標系中,已知點是拋物線與雙曲線的一個交點.若拋物線的焦點為,且,則雙曲線的漸近線方程為_______. 【答案】 【解析】設(shè)點A(x,y), 因為,所以x?(?1)=5,所以x=4.所以點A(4,±4), 由題得即即 所以雙曲線的漸近線方程為. 故答案為:. 【名師點睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡單幾何性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.求解時,設(shè)點A(x,y),根據(jù)求出點A的坐標,再把點A的坐標代入雙曲線的方程求出,再求雙曲線的漸近線方程. 12

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