（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 單科標(biāo)準(zhǔn)練4 理

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1、單科標(biāo)準(zhǔn)練(四) (滿分：150分　時間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{x|y＝}，則A∩B＝(　　) A．[0,2]　　　　　 B．[－2,0] C．(0,2] D．[－2,0) C　[由A中的函數(shù)y＝lg x，得到x＞0，即A＝{x|y＝lg x}＝(0，＋∞)．B＝{x|y＝}＝[－2,2]，則A∩B＝(0,2]，故選C.] 2．設(shè)z＝i3－，則z的虛部是(　　) A．－1 B．－ C．－2i D．－2 D　[z＝i3－＝－i

2、－＝－i－＝－i－i＝－2i，則z的虛部為－2，故選D.] 3．下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2019年上半年全國居民消費價格指數(shù)(CPI)數(shù)據(jù)折線圖，(注：同比是今年第n個月與去年第n個月之比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計周期和上一個統(tǒng)計周期之比) 下列說法錯誤的是(　　) A．2019年6月CPI環(huán)比下降0.1%，同比上漲1.9% B．2019年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲2.1% C．2019年2月CPI環(huán)比上漲0.6%，同比上漲1.4% D．2019年6月CPI同比漲幅比上月略微擴大0.1個百分點 C　[觀察表中數(shù)據(jù)知A，B，D正確，對選項C,2019年2月CPI環(huán)比上漲1.2%

3、，同比上漲2.9%，故C錯誤，故選C.] 4．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝，且其虛軸長為8，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 B　[雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝，且其虛軸長為8， 由得可得－＝1.故選B.] 5．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)脫貧”的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派4位專家對3個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派1位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為(　　) A. B. C. D. A　[4個專家分為3組，每組至少1人，分法為：2,1,1，共有C種，再排到3個縣區(qū)，故基本事件

4、的總數(shù)有C·A＝36種. “甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)”事件的方法數(shù)為A＝6種，故“甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率” 為＝.] 6.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 C　[在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面是一個對角線分別為正方體體對角線和面對角線的菱形，如圖所示： 則EF＝2，A1C＝2，EF⊥A1C，則截面的面積S＝EF·A1C＝2，故選C.] 7．若兩個非零

5、向量a，b滿足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，則a，b的夾角是(　　) A. B. C. D．π D　[根據(jù)題意，設(shè)a，b的夾角是θ， 又由|b|＝2|a|＝2，且|a＋2b|＝3， 則(a＋2b)＝a2＋4a·b＋4b2＝9， 即1＋4(1×2cos θ)＋16＝9， 解得cos θ＝－1，則θ＝π，故選D.] 8．函數(shù)f(x)＝xcos x－x3的大致圖象為(　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D B　[函數(shù)f(－x)＝－xcos(－x)－(－x)3＝－xcos x＋x3＝－f(x)， 則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點

6、對稱，排除C，D，f＝cos－＝－＜0，排除A，故選B.] 9．執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的S值為－20，則條件框內(nèi)應(yīng)填寫(　　) A．i＞3? B．i＜4? C．i＞4? D．i＜5? D　[模擬執(zhí)行程序，可得：i＝1，S＝10，滿足判斷框內(nèi)的條件，第1次執(zhí)行循環(huán)體，S＝10－21＝8，i＝2，滿足判斷框內(nèi)的條件，第2次執(zhí)行循環(huán)體， S＝8－22＝4，i＝3，滿足判斷框內(nèi)的條件，第3次執(zhí)行循環(huán)體，S＝4－23＝－4，i＝4，滿足判斷框內(nèi)的條件，第4次執(zhí)行循環(huán)體，S＝－4－24＝－20，i＝5，此時，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出的S值為－20，則條件框內(nèi)應(yīng)填寫：i＜5

7、？故選D.] 10．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若△ABC的面積為(c2－a2－b2)，則內(nèi)角C的余弦值等于(　　) A．－ B. C．－ D．－ A　[∵△ABC的面積為(c2－a2－b2)＝absin C， ∴sin C＝＝＝－2cos C， ∴tan C＝－2，∴C∈， ∴cos C＝－＝－.故選A.] 11．設(shè)a＝log0.20.4，b＝1－，則(　　) A．a(chǎn)＋b＜0＜ab B．a(chǎn)＋b＜ab＜0 C．a(chǎn)b＜a＋b＜0 D．a(chǎn)b＜0＜a＋b C　[a＝log0.20.4＞0，b＝1－＝log4 4－log4 10 ＝log4 0.4＜0

8、， ∴＋＝log0.40.2＋log0.44＝log0.40.8∈(0,1)， ∴0＜＜1.∵ab＜0，∴ab＜a＋b＜0.故選C.] 12.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，矩形的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，且球的表面積為16π，點P在球面上，則四棱錐P-ABCD體積的最大值為(　　) A．8 B. C．16 D. D　[因為球O的表面積是16π，所以S＝4πR2＝16π，解得R＝2.如圖，四棱錐 P-ABCD底面為矩形且矩形的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，設(shè)矩形的長寬為x，y，則x2＋y2＝(2R)2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時上式取

9、等號，即底面為正方形時，底面面積最大，此時S正方形ABCD＝2R2＝8.點P在球面上，當(dāng)PO⊥底面ABCD時，PO＝R，即hmax＝R，則四棱錐P-ABCD體積的最大值為.故選D.] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．函數(shù)f(x)＝3sin x＋cos x的最大值為________． 2　[由題意可知f(x)＝3sin x＋cos x＝2＝2sin≤2，故函數(shù)f(x)＝3sin x＋cos x最大值為2. ] 14．甲、乙、丙三人

10、中，只有一個會彈鋼琴．甲說：“我會”，乙說：“我不會”，丙說：“甲不會”．如果這三句話只有一句是真的，那么會彈鋼琴的是________． 乙　[①設(shè)會彈鋼琴的是甲，則甲、乙說的是真話，與題設(shè)矛盾，故會彈鋼琴的不是甲；②設(shè)會彈鋼琴的是乙，則丙說的是真話，與題設(shè)相符，故會彈鋼琴的是乙；③設(shè)會彈鋼琴的是丙，則乙、丙說的是真話，與題設(shè)矛盾，故會彈鋼琴的不是丙；綜合①②③得：會彈鋼琴的是乙．] 15．已知函數(shù)f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的偶函數(shù)，且f(x－1)為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝1－x3，則f＝________. －　[根據(jù)題意，f(x－1)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(

11、1,0)對稱，則有f(－x)＝－f(2＋x)，又由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)，則有f(x)＝－f(x＋2)，變形可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f＝f＝f＝f＝－f＝－＝－.] 16．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，過其焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若＝3，且拋物線C上存在點M與x軸上一點N(7,0)關(guān)于直線l對稱，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為________． 6　[拋物線C：y2＝2px(p＞0)，過其焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若＝3，可得直線l的斜率為，如圖．拋物線C上存在點M與x軸上一點N

12、(7,0)關(guān)于直線l對稱，可得M(－，)，M在拋物線上，所以＝2p，解得p＝6.] 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知{an}是遞增的等比數(shù)列，a2＋a3＝4，a1a4＝3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為a2＋a3＝4，a1a4＝a2a3＝3， 所以a2，a3是方程x2－4x＋3＝0的兩個根． 解得或 因為{an}是遞增的等比數(shù)列， 所以a2＝1，a2＝3，則q＝3. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an

13、＝3n－2. (2)由(1)知bn＝n×3n－2. 則Sn＝1×3－1＋2×30＋3×31＋…＋n×3n－2 ，① 在①式兩邊同時乘以3得， 3Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1，② ①－②得－2Sn＝3－1＋30＋31＋…＋3n－2－n×3n－1， 即－2Sn＝－n×3n－1， 所以Sn＝(2n－1)×3n－1＋. 18．(本小題滿分12分)如圖所示的幾何體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，AB＝2a，∠ABC＝120°，AC與BD相交于O點，四邊形BDEF為直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝2BF＝2a，平面BDEF⊥底面ABCD. (1)證明：

14、平面AEF⊥平面AFC； (2)求二面角E-AC-F的余弦值． [解]　(1)因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又平面BDEF⊥底面ABCD， 平面BDEF∩平面ABCD＝BD，因此AC⊥平面BDEF，從而AC⊥EF，AC⊥DE，又BD⊥DE， 所以DE⊥平面ABCD， 由AB＝2a，DE＝2BF＝2a，∠ABC＝120°，可知AF＝＝a，BD＝2a， EF＝＝a，AE＝＝2a.從而AF2＋FE2＝AE2，故EF⊥AF. 又AF∩AC＝A，所以EF⊥平面AFC. 又EF?平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC. (2)取EF中點G，由題可知OG∥DE，所以O(shè)G⊥平面AB

15、CD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，所以分別以，，的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖所示)， 則O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(－a,0,0)，E(0，－a，2a)，F(xiàn)(0，a，a)， 所以＝(0，－a,2a)－(a,0,0) ＝(－a，－a,2a)， ＝(－a,0,0)－(a,0,0)＝(－2a,0,0)， ＝(0，a，a)－(0，－a,2a)＝(0,2a，－a)． 由(1)可知EF⊥平面AFC，所以平面AFC的法向量可取為＝(0,2a，－a)． 設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)， 則即即令z＝，得y＝4，所以n＝(0,4，)．

16、從而cos〈n，〉＝＝＝. 故所求的二面角E-AC-F的余弦值為. 19．(本小題滿分12分)港珠澳大橋是中國建設(shè)史上里程最長，投資最多，難度最大的跨海橋梁項目，大橋建設(shè)需要許多橋梁構(gòu)件．從某企業(yè)生產(chǎn)的橋梁構(gòu)件中抽取100件，測量這些橋梁構(gòu)件的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)，[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1. (1)求這些橋梁構(gòu)件質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率； (2)若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種橋梁構(gòu)件中隨機抽取3件，記這3件橋梁構(gòu)件中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[45,75)內(nèi)的橋梁構(gòu)件件數(shù)為X

17、，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)設(shè)區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x，則區(qū)間[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為 4x和2x. 依題意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05. 所以這些橋梁構(gòu)件質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.05. (2)從該企業(yè)生產(chǎn)的該種橋梁構(gòu)件中隨機抽取3件，相當(dāng)于進行了3次獨立重復(fù)實驗， 所以X服從二項分布B(n，p)，其中n＝3. 由(1)得，區(qū)間[45,75]內(nèi)的頻率為0.3＋0.2＋0.1＝0.6， 將頻率視為概率得p＝0.6.因為X的所有可能取值為0,1,2,3.

18、且P(X＝0)＝C×0.60×0.43＝0.064， P(X＝1)＝C×0.61×0.42＝0.288， P(X＝2)＝C×0.62×0.41＝0.432， P(X＝3)＝C×0.63×0.40＝0.216. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 X服從二項分布B(n，p)， 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×0.6＝1.8. 20．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P是橢圓C上的動點，且△PF1F2面積的最大值為2. (1)求橢圓C的方程及

19、離心率； (2)若A，B是橢圓C的左、右頂點，直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當(dāng)點P在橢圓上運動時，求證：以BD為直徑的圓與直線PF2恒相切． [解]　(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c,0)．由題意知 解得b＝2，c＝1，a＝3. 所以橢圓C的方程為＋＝1，離心率為e＝＝. (2)證明：由題意可設(shè)直線AP的方程為y＝k(x＋3)(k≠0)， 則點D坐標(biāo)為(3,6k)，BD中點E的坐標(biāo)為(3,3k)． 由得(8＋9k2)x2＋54k2x＋81k2－72＝0. 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則－3x0＝，所以x0＝，y0＝k(x0＋3)＝. 因為點

20、F2坐標(biāo)為(1,0)，當(dāng)k＝±時，點P的坐標(biāo)為， 直線PF2⊥x軸，點D的坐標(biāo)為(3，±4)， 此時以BD為直徑的圓(x－3)2＋(y±2)2＝4與直線PF2相切． 當(dāng)k≠±時，則直線PF2的斜率為kPF2＝＝， 所以直線PF2的方程為y＝(x－1)， 點E到直線PF2的距離為 d＝＝3|k|. 又因為|BD|＝6|k|，所以d＝|BD|，故以BD為直徑的圓與直線PF2相切． 綜上，當(dāng)點P在橢圓上運動時，以BD為直徑的圓與直線PF2恒相切． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋xln x，g(x)＝. (1)記h(x)＝f(x)－g(x)，試判斷h(x)在區(qū)間

21、(1,2)內(nèi)零點個數(shù)并說明理由； (2)記(1)中的h(x)在(1,2)內(nèi)的零點為x0，φ(x)＝，若φ(x)＝t(t∈R)在(1，＋∞)有兩個不等實根x1，x2(x1＜x2)，判斷x1＋x2與2x0的大小，并給出對應(yīng)的證明． [解]　(1)由題意h(x)＝f(x)－g(x)， 那么h(x)＝x2＋xln x－，定義域為x∈(0，＋∞)． h′(x)＝x＋1＋ln x＋，由題設(shè)x∈(1,2)， 故h′(x)＞0，即h(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)． 那么：h(1)＝＋ln 1－＝－＜0，h(2)＝＋2ln 2－＞0，并且h(x)在(1,2)上連續(xù)的，故根據(jù)零點定理，有h(x)在

22、區(qū)間(1,2)有且僅有唯一實根，即一個零點． (2)φ(x)＝， 當(dāng)1＜x＜x0時，φ′(x)＝f′(x)＝x＋1＋ln x恒大于0， 所以當(dāng)1＜x＜x0時，φ(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x＞x0時，φ′(x)＝g′(x)＝恒小于0，φ(x)是減函數(shù)． φ(x)＝t(t∈R)在(1，＋∞)有兩個不等實根x1，x2(x1＜x2)， 則x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，顯然：當(dāng)x2→＋∞時，x1＋x2＞2x0. 要證明x1＋x2＞2x0，即可證明x2＞2x0－x1＞x0， 而φ(x)在x＞x0時是減函數(shù)，故證φ(x2)＜φ(2x0－x1)． 又由φ(x1)＝φ(x2)，即可證：φ

23、(x1)＜φ(2x0－x1)． 即x＋x1ln x1＜，(構(gòu)造思想)， 即x＋x1ln x1＋＜0，令s(x)＝x2＋xln x＋(1＜x＜x0)，由(1)可知：s(x0)＝0， 那么：s′(x)＝x＋ln x＋1＋－， 記P(x)＝，則P′(x)＝.當(dāng)x∈(0,1)時，P′(x)＞0；當(dāng)x＞1時，P′(x)＜0；故P(x)max＝； 而P(x)＞0，故＞P(x)＞0，而2x0－x＞0，從而有：－＜－＜0； 因此：s′(x)＝x＋ln x＋1＋－＞0，即s(x)單調(diào)遞增，從而1＜x＜x0時，s(x)＜s(x0)＝0， 即x＋x1ln x1＜成立，故得：x1＋x2＞2x0. 請考

24、生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的方程為y＝kx，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)曲線C與直線l交于A，B兩點，若|OA|＋|OB|＝2，求k的值． [解]　(1)∵∴x2－4x＋y2＋1＝0. 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＋1＝0. (2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝θ1(ρ∈R，θ1∈[0，π))，其中θ1為直線l的傾斜角，代入曲線C得ρ2－4ρcos θ

25、1＋1＝0，設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2. ρ1＋ρ2＝4cos θ1，ρ1ρ2＝1＞0，Δ＝(4cos θ1)2－4＞0， ∴|OA|＋|OB|＝|ρ1|＋|ρ2|＝|ρ1＋ρ2|＝2， ∴cos θ1＝±滿足Δ＞0，∴θ1＝或， ∴l(xiāng)的傾斜角為或， 則k＝tan θ1＝或－ . 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] 已知a，b均為實數(shù)，且|3a＋4b|＝10. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若|x＋3|－|x－2|≤a2＋b2對任意的a，b∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． [解]　(1)因為102＝(3a＋4b)2≤(32＋42)(a2＋b2) ＝25(a2＋b2)， 所以a2＋b2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即或時取等號， 即a2＋b2的最小值為4. (2)由(1)知|x＋3|－|x－2|≤a2＋b2對任意的a，b∈R恒成立 ?|x＋3|－|x－2|≤4 ?，或，或 ?x＜－3或－3≤x≤?x≤. 所以實數(shù)x的取值范圍為. - 12 -