2023屆高考一輪復習導與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第1節(jié)　函數(shù)的概念及其表示 學案

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1、 第1節(jié)　函數(shù)的概念及其表示 1.了解構成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域. 2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)圖象的作用. 3.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用. 1.函數(shù)的有關概念 (1)集合A,B及其對應關系f:A→B構成的函數(shù)中,函數(shù)的值域C不是集合B,而是C?B. (2)兩個函數(shù)的值域和對應關系相同,但兩個函數(shù)不一定相同,例如,函數(shù)f(x)=2x2,x∈[0,2]與函數(shù)f(x)=2x2,x∈[-2,0]. 2.函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法.

2、 3.分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的對應關系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數(shù). 分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集. 與x軸垂直的直線與一個函數(shù)的圖象至多有一個公共點. 1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},則下列圖形給出的對應中能構成從A到B的函數(shù)f:A→B的是(　D　) 解析:A中的對應不滿足函數(shù)的存在性,即存在x∈A,但B中無與之對應的y;B,C均不滿足函數(shù)的唯一性,只有D正確.故選D. 2.(必修第一

3、冊P72習題3.1T2改編)下列四組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是(　 　) A.f(x)=x-1·x-1與g(x)=(x-1)2 B.f(x)=x與g(x)=x2x C.f(x)=x2與g(x)=|x| D.f(x)=1,x∈R與g(x)=x0 解析:A選項中函數(shù)f(x)的定義域為[1,+∞),g(x)的定義域為R,定義域不同,不是同一個函數(shù);B選項中函數(shù)f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),定義域不同,不是同一個函數(shù);C選項中函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,對應法則也相同,是同一個函數(shù);D選項中函數(shù)f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為(-∞,0)

4、∪(0,+∞),定義域不同,不是同一個函數(shù).故選C. 3.已知函數(shù)f(x)=x2+1,x>0,-x2+1,x≤0,則f(f(-12))等于(　A　) A.2516 B.716 C.-916 D.916 解析:由x≤0可知f(-12)=-(-12)2+1=34,結合x>0的解析式可知f(34)=(34)2+1=2516.故選A. 4.已知函數(shù)f(x)和g(x)的定義域為{1,2,3,4},其對應關系如表,則f(g(2))的值為(　D　) x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 g(x) 1 1 3 3 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因為g(

5、2)=1,f(1)=4,則f(g(2))=f(1)=4.故選D. 5.(2020·北京卷)函數(shù)f(x)=1x+1+ln x的定義域是　　　　.? 解析:函數(shù)f(x)=1x+1+ln x的自變量滿足x+1≠0,x>0,所以x>0且x≠-1, 即定義域為(0,+∞). 答案:(0,+∞) 函數(shù)的定義域 1.(2021·陜西黃陵高三期中)函數(shù)f(x)=3xx-1+ln(2x-x2)的定義域為(　 　) A.(2,+∞) B.(1,2) C.(0,2) D.[1,2] 解析:要使函數(shù)有意義則x-1>0,2x-x2>0,解得1

6、B. 2.已知函數(shù)f(x)=33x-1ax2+ax-3的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是(　 　) A.(-12,0) B.(-12,0] C.(13,+∞) D.(-∞,13] 解析:因為f(x)=33x-1ax2+ax-3的定義域為R,所以只需分母不為0即可, 所以a=0或a≠0,Δ=a2-4a×(-3)<0,可得-12

7、∞,12)∪(12,1) 4.已知函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),則函數(shù)g(x)=f(1x)+f(x-1)的定義域為　　　　.? 解析:因為f(x)的定義域為(-1,1), 所以要使g(x)有意義,則-1<1x<1,-1

8、3, 所以a+b=-32-3=-92. 答案:-92 (1)若函數(shù)的解析式是由多個基本初等函數(shù)通過四則運算構成,則函數(shù)的定義域是使構成解析式的各部分都有意義的集合的交集. (2)求抽象函數(shù)的定義域 ①若y=f(x)的定義域為(a,b),則解不等式a

9、析式 1.已知f(x)滿足2f(x)+f(1x)=3x,則f(x)=　　　　.? 解析:(解方程組法)因為2f(x)+f(1x)=3x,① 把①中的x換成1x,得2f(1x)+f(x)=3x.② 聯(lián)立①②可得2f(x)+f(1x)=3x,2f(1x)+f(x)=3x, 解此方程組可得f(x)=2x-1x(x≠0). 答案:2x-1x(x≠0) 2.已知在定義域內(nèi)單調遞增的一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4x+6,則f(x)的解析式為　　　　. 解析:設f(x)=ax+b(a>0),則f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有a2=

10、4,ab+b=6,解得a=2,b=2或a=-2,b=-6(舍去),所以f(x)=2x+2. 答案:f(x)=2x+2 3.已知f(1-cos x)=sin2x,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　.? 解析:因為f(1-cos x)=sin2x=1-cos2x, 令1-cos x=t,t∈[0,2],則cos x=1-t, 所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. 答案:f(x)=2x-x2,x∈[0,2] 1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用換元法或配湊法或兩種方法并用,換元法更具有一般性,在使

11、用時一定要注意新元的取值范圍. 2.換元法的一般方法是:令t=g(x),從中求出x=(t),然后代入表達式求出f(t),再將t換成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值 范圍. 分段函數(shù)及其應用 　分段函數(shù)求值 已知f(x)=2x,x>0,f(x+1),x≤0,則f[f(43)]+f(-43)的值等于　　　. 解析:由題意得f(43)=2×43=83,f[f(43)]=f(83)=2×83=163. f(-43)=f(-13)=f(23)=2×23=43, 所以f[f(43)]+f(-43)=163+43=203. 答案:203 求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略 (1

12、)求分段函數(shù)的函數(shù)值時,要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間,然后代入該區(qū)間對應的解析式求值. (2)當出現(xiàn)f(f(a))的形式時,應從內(nèi)到外依次求值. 　分段函數(shù)與方程 (2021·山西太原高三期中)已知函數(shù)f(x)=x2-x,x<0,x,x≥0,若f(a)=2,則實數(shù)a=(　　) A.-1或2 B.2或4 C.-2或4 D.-1或4 解析:法一　當a<0時,由a2-a=2解得a=-1或a=2(舍去); 當a≥0時,由a=2可得a=4.故選D. 法二　結合選項可知a=2時a≠2,因此排除A,B.對于a=-2時, (-2)2-(-2)=6≠2,排除C.故選D. 根據(jù)分段函

13、數(shù)的函數(shù)值求自變量的值或解方程時,應根據(jù)分段函數(shù)各段的定義域分類討論,結合各段的函數(shù)解析式求解,要注意求出的自變量的值應滿足解析式對應的自變量的區(qū)域. 　分段函數(shù)與不等式 函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范圍是　　　　.? 解析:當x>12時,f(x)+f(x-12)=2x+2x-12>2x>2>1; 當02x>1; 當x≤0時,f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+32, 所以f(x)+f(x-12)>1?2x+32>1?x

14、>-14,即-140,ex,x≤0,若F(x)=f(x)+x,x∈R,則F(x)的值域為(　　) A.(-∞,1] B.[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析:當x>0時,F(x)=1x+x≥21x·x=2,當且僅當1x=x,即x=1時取等號;當x≤0時,F(x)=ex+

15、x,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調性得F(x)是增函數(shù),F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域為(-∞,1]∪[2,+∞).故選C. 分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集. [針對訓練] 1.已知函數(shù)f(x)=x+1x-2,x>2,x2+2,x≤2,則f(f(1))=(　　) A.-12 B.2　 C.4 D.11 解析:因為f(1)=12+2=3,所以f(f(1))=f(3)=3+13-2=4.故選C. 2.若函數(shù)f(x)=x-1,x≤0,lgx,x>0,則不等式f(x)+1<0的解集是(　　) A.(-∞,110) B.(-∞,0)∪(0,110) C.(0,11

16、0) D.(-1,0)∪(110,+∞) 解析:由題意x≤0,x-1+1<0或x>0,lgx+1<0, 所以x<0或01的值域為　　　　.? 解析:當x<1時,f(x)=x2-x+1=(x-12)2+34≥34. 當x>1時,f(x)=1x∈(0,1). 綜上可得,f(x)的值域為(0,+∞). 答案:(0,+∞) 4.已知函數(shù)f(x)=ex+1,x<0,2,x≥0,則方程f(1+x2)=f(2x)的解集是

17、　　　　. 解析:因為1+x2≥1,所以f(1+x2)=2.方程f(1+x2)=f(2x),即f(2x)=2. 所以當x<0時,方程e2x+1=2,解得x=0,不成立; 當x≥0時,2=2成立. 所以方程f(1+x2)=f(2x)的解集是{x|x≥0}. 答案:[0,+∞) 設函數(shù)f:R→R滿足f(0)=1,且對任意x,y∈R都有f(xy+1)= f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(2 023)=(　　) A.0 B.1 C.2 024 D.2 025 解析:令x=y=0,則f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1×1-1-0+2=2, 令y=0,則f

18、(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2, 將f(0)=1,f(1)=2代入,可得f(x)=1+x, 所以f(2 023)=2 024.故選C. 已知y=f(x)是定義域為A=x|x=sin kπ4,k∈N*且k≤4,值域為B={π,e,3}的函數(shù),則這樣的函數(shù)共有(　　) A.6個 B.27個 C.64個 D.81個 解析:因為A=0,1,22,B={π,e,3}, 由于函數(shù)的值域中含有3個元素,且定義域中含有3個元素,因此這是定義域與值域之間的一一對應關系構成的函數(shù),因此共能構成3×2 ×1=6個函數(shù).故選A. 已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2

19、f(x+1),當x∈[0,1)時,f(x)=-x2+x,則當x∈[1,2)時,f(x)=(　　) A.-12-x2+3x-2 B.12-x2+3x-2 C.12x2-3x+2 D.-12x2-3x+2 解析:根據(jù)f(x)=2f(x+1)得,f(x-1)=2f(x). 當x∈[1,2)時,x-1∈[0,1),f(x-1)=-(x-1)2+x-1=-x2+3x-2, 所以f(x)=12f(x-1)=12-x2+3x-2.故選B. 如圖,定義在[-1,+∞)上的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成,則f(x)的解析式為　　　　.? 解析:當-1≤x≤0時,設解析式

20、為y=kx+b, 由圖象得-k+b=0,b=1,解得k=1,b=1. 所以y=x+1; 當x>0時,設解析式為y=a(x-2)2-1, 因為圖象過點(4,0), 所以0=a(4-2)2-1,解得a=14. 綜上,函數(shù)f(x)在[-1,+∞)上的解析式為 f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0. 答案:f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0 知識點、方法 基礎鞏固練 綜合運用練 應用創(chuàng)新練 函數(shù)的概念與表示 2,3,6 14 16 函數(shù)的定義域 1,4,5,7 11 分段函數(shù) 8,9,10 12,

21、13 15 1.(2021·江蘇淮安五校高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=1-x+lg(3x-1)的定義域為(　A　) A.(13,1] B.(0,1] C.(-∞,13) D.(0,13) 解析:要使f(x)=1-x+lg(3x-1)有意義,則有1-x≥0,3x-1>0,解得13

22、(1x)=-2x,② 將①乘以x+②得2f(-x)=2x2-2x, 所以f(-x)=x2-1x.所以f(-2)=72.故選C. 法二　根據(jù)題意,函數(shù)f(x)滿足f(1x)+1xf(-x)=2x(x≠0), 令x=2可得f(12)+12f(-2)=4,① 令x=-12可得f(-2)-2f(12)=-1,② 聯(lián)立①②解得f(-2)=72.故選C. 3.(2021·江西贛州高三期中)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2-a,若f[g(1)]=1,則a=(　B　) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析:因為函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2-a,所以f[g(1)]=21-a=

23、1,解得a=1.故選B. 4.(2021·湖北荊州中學高考四模)定義域是一個函數(shù)的三要素之一,已知函數(shù)f(x)的定義域為[211,985],則函數(shù)g(x)=f(2 018x)+ f(2 021x)的定義域為(　A　) A.[2112 018,9852 021] B.[2112 021,9852 018] C.[2112 018,9852 018] D.[2112 021,9852 021] 解析:根據(jù)題意得211≤2 018x≤985,211≤2 021x≤985,解得x∈[2112 018,9852 021].故選A. 5.(2021·天津南開中學高三模擬)下列四個函數(shù):①y=3

24、-x;②y=2x-1(x>0);③y=x2+2x-10; ④y=x,x≤0,1x,x>0,其中定義域與值域相同的函數(shù)的個數(shù)為(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①y=3-x的定義域與值域均為R;②y=2x-1(x>0)的定義域為(0,+∞),值域為(12,+∞);③y=x2+2x-10的定義域為R,值域為[-11,+∞);④y=x,x≤0,1x,x>0的定義域和值域均為R.所以定義域與值域相同的函數(shù)是①④,共有2個.故選B. 6.(多選題)下列函數(shù)中,滿足f(2x)=2f(x)的是(　ABD　) A.f(x)=|2x| B.f(x)=x C.f(x)=x D.f(x)

25、=x-|x| 解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4|x|,2f(x)=4|x|,所以A正確; f(x)=x,滿足f(2x)=2f(x),所以B正確; f(x)=x,f(2x)=2x,2f(x)=2x,不滿足f(2x)=2f(x),所以C不正確; f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正確.故選ABD. 7.(2021·安徽合肥高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域是[12,8],則f(2x)的定義域是　　　　.? 解析:因為函數(shù)f(x)的定義域是[12,8],所以12≤2x≤8,得-1≤x≤3. 所以f(2x)的定義域為[-1,3].

26、 答案:[-1,3] 8.已知函數(shù)f(x)=x+3,x<0,x2+x-1,x≥0,則f(2)=　　　　;不等式f(x)> f(1)的解集為　　　　.? 解析:f(2)=22+2-1=5, f(x)>f(1)等價于x<0,x+3>1或者x≥0,x2+x-1>1, 解得-21. 答案:5　(-2,0)∪(1,+∞) 9.設函數(shù)f(x)=x2-2(x≥2),log2x(x<2),若f(m)=7,則實數(shù)m=　　　　.? 解析:①當m≥2時,f(m)=7,即m2-2=7,解得m=3或m=-3(舍去),則m=3; ②當m<2時,f(m)=7,即log2m=7,解得m=27>

27、2,舍去.綜上可得,實數(shù)m的值為3. 答案:3 10.已知函數(shù)f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,lnx,x≥1的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:由題意知f(x)=ln x(x≥1)的值域為[0,+∞),故要使f(x)的值域為R,則必有f(x)=(1-2a)x+3a為增函數(shù),且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0且a≥-1,解得-1≤a<12,所以實數(shù)a的取值范圍是[-1,12). 答案:[-1,12) 11.設函數(shù)f(x)=lg 3+x3-x,則f(x3)+f(3x)的定義域為(　B　) A.(-9,0)∪(0,9)　 B.(-9,-1)∪(1,9)

28、C.(-3,-1)∪(1,3) D.(-9,-3)∪(3,9) 解析:因為函數(shù)f(x)=lg3+x3-x, 所以3+x3-x>0?-31或x<-1, 所以-9

29、當x為無理數(shù)時,-x為無理數(shù),則f(x)=f(-x)=0,故A正確; 當x為有理數(shù)時,方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)成立;當x為無理數(shù)時,方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解為任意有理數(shù),故B錯誤; 因為f(x)的值域是{0,1},故C正確; 當x為有理數(shù)時,方程f(f(x))=f(1)=1=x,解得x=1;當x為無理數(shù)時,方程f(f(x))=f(0)=1,無解,故D正確.故選ACD. 13.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2,-2≤x<1,-x+2,x≥1,關于函數(shù)f(x)的結論正確的是(　BC　) A.f(x)的定義域為R

30、B.f(x)的值域為(-∞,4] C.若f(x)=2,則x的值是-2 D.f(x)<1的解集為(-1,1) 解析:函數(shù)f(x)的定義域是[-2,1)∪[1,+∞)=[-2,+∞),故A錯誤;當-2≤x<1時f(x)=x2,值域為[0,4],當x≥1時,f(x)=-x+2,值域為(-∞, 1],故f(x)的值域為(-∞,1]∪[0,4]=(-∞,4],故B正確;由函數(shù)值的分布情況可知,f(x)=2在x≥1上無解,故由-2≤x<1,即f(x)=x2=2,得到x=-2,故C正確;當-2≤x<1時,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1),當x≥1時,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+

31、∞),故f(x)<1的解集為(-1,1)∪(1,+∞),故D錯誤.故選BC. 14.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,請寫出一個與函數(shù)y=x2,x∈[0,2]同族的函數(shù):　　　　.? 解析:函數(shù)y=x2,x∈[0,2]的值域為[0,4],因此其同族函數(shù)的函數(shù)解析式可以是y=x2,x∈[-2,t](0≤t≤2),也可以是y=x2,x∈[m,2](-2≤m≤0)中的任意一個. 答案:y=x2,x∈[-2,1](答案不唯一,參考解析中的t,m的值) 15.設函數(shù)f(x)=x(x-1),x≥0,-f(-x),x<0,則滿足f(x)+f(x-1)<2

32、的x的取值范圍是　　　　.? 解析:當x<0時,f(x)=-f(-x)= -[-x(-x-1)]=-x(x+1), ①若x<0,則x-1<-1, 由f(x)+f(x-1)<2得-x(x+1)-(x-1)x<2, 即-2x2<2,即x2>-1,此式恒成立,此時x<0. ②若x≥1,則x-1≥0, 由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)+(x-1)(x-2)<2, 即x2-2x<0,即0

33、等式的解集為(-∞,2). 答案:(-∞,2) 16.(2021·浙江湖州高三期末)設函數(shù)f(x)=x3-3x+3(x∈R).已知a>0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,b∈R,則ab=　　　　.? 解析:因為f(x)=x3-3x+3(x∈R), 所以f(x)-f(a)=x3-3x+3-(a3-3a+3)=x3-a3-3(x-a) =(x-a)(x2+ax+a2)-3(x-a)=(x-a)[x2+ax+a2-3], 因為f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2, 所以(x-a)[x2+ax+a2-3]=(x-b)(x-a)2,對任意的x恒成立, 因為x-a不恒為0,所以x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a). 展開整理可得ax+a2-3=-(a+b)x+ab, 所以a=-(a+b),a2-3=ab,解得a=1,b=-2 或a=-1,b=2(舍去), 所以ab=1×(-2)=-2. 答案:-2