2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 學(xué)案

《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 學(xué)案（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù). 2.通過具體實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點. 3.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1). 1.對數(shù) 概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù) 性質(zhì) 對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?x=logaN, loga1=0,logaa=1,alogaN=N 運(yùn)

2、算 法則 loga(MN)=logaM+logaN a>0,且a≠1, M>0,N>0 logaMN=logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 換底 公式 logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1) 2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 01時,y>0; 當(dāng)01時,y<0; 當(dāng)00 在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù) 在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù) 3.

3、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系 一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的定義域與值域正好互換,圖象關(guān)于直線y=x 對稱. 1.換底公式及其推論 (1)logab·logba=1,即logab=1logba(a,b均大于0且不等于1); (2)logambn=nmlogab; (3)logab·logbc·logcd=logad. 2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖,作直線y=1,則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的 底數(shù), 故0

4、數(shù)逐漸增大. 1.log63·log96等于(　D　) A.13 B.3 C.2 D.12 解析:log63·log96=log63·12log36=12.故選D. 2.(必修第一冊P131練習(xí)T1改編)函數(shù)f(x)=ln(x-1)的定義域是(　D　) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:要使函數(shù)f(x)=ln(x-1)有意義,只需ln(x-1)≥0,x-1>0,即x-1≥1,x-1>0,解得x≥2,所以函數(shù)f(x)的定義域為[2,+∞).故選D. 3.已知函數(shù)f(x)=2x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則g(1

5、2)的值為(　A　) A.-1 B.1 C.12 D.2 解析:法一　由y=f(x)=2x,得x=log2y,所以函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)=log2x, 則g(12)=log212=-1.故選A. 法二　設(shè)g(12)=t0,則函數(shù)y=g(x)過點(12,t0),由于函數(shù)f(x)=2x的反函數(shù)為y=g(x),因此有2t0=12,故t0=-1.故選A. 4.(必修第一冊P127習(xí)題T3改編)化簡2lg 5+lg 4-5log52的結(jié)果為(　A　) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:因為2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2.又5log52

6、=2,所以2lg 5+lg 4-5log52=2-2=0.故選A. 5.若函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),請寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式:　　　　.? 解析:由函數(shù)滿足f(xy)=f(x)+f(y)可知,函數(shù)是對數(shù)函數(shù),且是增函數(shù),因此只要是滿足底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)即可. 答案:f(x)=log3x(答案不唯一,只要底數(shù)大于1即可) 對數(shù)式的化簡與求值 1.(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)alog34=2,則4-a等于(　B　) A.116 B.19 C.18 D.16 解析:法一　因為alog34=2,所以log34a=2

7、,則有4a=32=9,所以4-a=14a=19.故選B. 法二　因為alog34=2,所以-alog34=-2,所以log34-a=-2, 所以4-a=3-2=132=19.故選B. 法三　因為alog34=2,所以a2=1log34=log43,所以4a2=3,兩邊同時平方得4a=9,所以4-a=14a=19.故選B. 法四　因為alog34=2,所以a=2log34=log39log34=log49,所以4-a=14a=19.故選B. 法五　令4-a=t(t>0),兩邊同時取對數(shù)得log34-a=log3t,即alog34=-log3t=log31t.因為alog34=2,所以l

8、og31t=2,所以1t=32=9,所以t=19,即4-a=19.故選B. 法六　令4-a=t(t>0),所以-a=log4t,即a=-log4t=log41t.由alog34=2,得a=2log34=log39log34=log49,所以log41t=log49,所以1t=9,t=19,即4-a=19.故選B. 2.若2a=3b=6,則1a+1b等于(　D　) A.2 B.3 C.12 D.1 解析:法一　因為2a=3b=6,所以a=log26,1a=log62,b=log36,1b=log63,則1a+1b=log62+log63=log66=1.故選D. 法二　因為2a=6,所

9、以2=61a,因為3b=6,所以3=61b,所以2×3=61a·61b,所以6=61a+1b,所以1a+1b=1.故選D. 3.設(shè)a=log36,b=log520,則log215等于(　D　) A.a+b-3(a-1)(b-1) B.a+b-2(a-1)(b-1) C.a+2b-3(a-1)(b-1) D.2a+b-3(a-1)(b-1) 解析:因為a=log36=1+log32,b=1+2log52,所以log23=1a-1,log25=2b-1,則log215=log23+log25=1a-1+2b-1=2a+b-3(a-1)(b-1).故選D. 4.計算:(1-log63)2+

10、log62·log618log64=　　　　.? 解析:原式=(log62)2+log62·log618log64 =log62·(log62+log618)log64=2log622log62=1. 答案:1 1.利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡對數(shù)式主要有以下兩種方法: 一是“正向”利用對數(shù)的運(yùn)算法則,把各對數(shù)分成更為基本的一系列對數(shù)的代數(shù)和;二是“逆向”運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則,把同底的各對數(shù)合并成一個對數(shù). 2.利用已知對數(shù)式表示不同底數(shù)的對數(shù)式時,可以將待求式中的底數(shù)利用換底公式化為已知對數(shù)式的底數(shù)表示. 對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 　對數(shù)函數(shù)的圖象 在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y

11、=1ax,y=loga(x+12)(a>0,且a≠1)的圖象可能是(　　) 解析:法一　當(dāng)a>1時,函數(shù)y=ax的圖象過定點(0,1),在R上單調(diào)遞增,于是函數(shù)y=1ax的圖象過定點(0,1),在R上單調(diào)遞減,函數(shù)y=loga(x+12)的圖象過定點(12,0),在(-12,+∞)上單調(diào)遞增.顯然A,B,C,D四個選項都不符合. 當(dāng)0

12、　易知a與1a必有1個大于1,1個小于1,則f(x)=1ax與g(x)=loga(x+12)在各自定義域內(nèi)單調(diào)性相反,可排除B;由g(12)=0可排除A,C.故選D. 1.求解形如y=loga(x±b)型對數(shù)函數(shù)的圖象問題,首先應(yīng)明確基本的對數(shù)函數(shù)的圖象(即明確當(dāng)a>1時與0

13、析:令f(x)=ln(2-|x|),易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|-21或0

14、2-logmx在(0,12)上恒有f(x)<0成立,則有x2

15、y=a-x即為函數(shù)y=(1a)x,其底數(shù)大于1,是增函數(shù),又y=logax,當(dāng)0

16、14]上成立,則014, 解得116b>c B.b>a>c C.c>b

17、>a D.c>a>b 解析:(1)a=log36=1+log32, b=log510=1+log52, c=log714=1+log72,且log32>log52>log72,故c1,b=ln 2∈(0,1),c=log1213=log23>log2e=a>1,所以c>a>b.故選D. 法二　log1213=log23,如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x,y=ln x的圖象,由圖知c>a>b.故選D. 比較對數(shù)式大小的類型及相應(yīng)的方法 (1)若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷;若底

18、數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論. (2)若底數(shù)不同,真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較,或利用圖象數(shù)形結(jié)合求解. (3)若底數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較. (4)若不能夠使用以上三種方法比較大小,則需要將已知的對數(shù)式變形或利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)確定對數(shù)值的取值范圍,或利用作差(或作商)比較法以及利用結(jié)論logn+1(n+2)1的解集為　　　　.? 解析:函數(shù)的定義域滿足2-x>0,2+x>0?-2

19、<2, 由f(x)>1?log2(2-x)-log2(2+x)>1? log22-x2+x>log22,所以2-x2+x>2,-21進(jìn)行分類討論. 　對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域與值域 若函數(shù)f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域

20、為R,則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.[0,1] D.(1,+∞) 解析:由題意問題可以轉(zhuǎn)化為g(x)=ax2-2x+a的值域能取到(0,+∞)內(nèi)的任意實數(shù),當(dāng)a=0時,g(x)=-2x,函數(shù)g(x)的值域為R,滿足題意; 當(dāng)a≠0時,要使g(x)的值域能取到(0,+∞)內(nèi)的任意實數(shù),則滿足a>0,Δ=(-2)2-4a2≥0,解得0

21、域是R,則說明f(x)>0在R上恒成立. [針對訓(xùn)練] 1.已知x=lg 2,y=ln 3,z=log23,則(　　) A.x1,z=log23>1,所以x最小.又因為y=lg3lge,z=lg3lg2,而lg e>lg 2>0,所以x

22、, 則f(x)=2ex-1,所以g(x)=2ex-1,x<2,log3(x-1),x≥2. ①當(dāng)x<2時,2ex-1<2,即ex-1<1,解得x<1; ②當(dāng)x≥2時,log3(x-1)<2,即log3(x-1)

23、-2ax+3>0恒成立,所以Δ=4a2-12<0,解得-30對任意的x∈(-3,3]恒成立, 因為x+3>0,則ax+6>0對任意的x∈(-

24、3,3]恒成立,則-3a+6≥0,3a+6>0,得-20,可得a<2.綜上所述,-2

25、2-x)]=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1]. 令t=-(x-1)2+1,結(jié)合函數(shù)的定義域(0,2)可知,函數(shù)t在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,由y=ln t在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增可知,函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,因此A,B錯誤; 由題意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,C正確,D錯誤.故選C. 已知函數(shù)f(x)=ax-ln(ex+1)(a∈R)為偶函數(shù),則a等于(　　) A.1 B.2 C.12 D.3 解析:法

26、一(定義法)　由f(-x)=f(x)得, -ax-ln(ex+1ex)=ax-ln(ex+1), ln(ex+1)-ln(ex+1ex)=2ax, 即ln ex=2ax,a=12.故選C. 法二(特值法)　由于f(x)為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),即-a-ln(e-1+1)=a-ln(e+1),所以2a=ln(e+1)-ln(e-1+1)=ln e+1e-1+1=ln e=1,所以a=12.故選C. 設(shè)方程ex=|ln(-x)|的兩個根分別為x1,x2,則(　　) A.x1x2<0 B.x1x2=0 C.x1x2>1 D.0

27、(-x)|的大致圖象,如圖. 顯然x1<0,x2<0. 不妨設(shè)x1

28、 解析:log225·log522=log252·log5232=2×32×log25×log52=3.故選A. 2.若lg 2=a,lg 3=b,則log524等于(　C　) A.3a+b1+a B.a+3b1+a C.3a+b1-a D.a+3b1-a 解析:因為lg 2=a,lg 3=b,所以log524=lg24lg5=lg3+3lg21-lg2=3a+b1-a.故選C. 3.(2021·四川成都高三零模)已知函數(shù)f(x)=log2(2-x),x<1,ex,x≥1,則f(-2)+f(ln 4)等于(　C　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:f(-2)=log24

29、=2,f(ln 4)=eln 4=4,故f(-2)+f(ln 4)=6.故選C. 4.(2021·陜西寶雞高考模擬)很多關(guān)于大數(shù)的故事里(例如“棋盤上的學(xué)問”“64片金片在三根金針上移動”)都涉及264這個數(shù).請你估算264這個數(shù)大致所在的范圍是(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　B　) A.(1012,1013) B.(1019,1020) C.(1020,1021) D.(1030,1031) 解析:設(shè)264=N,兩邊同時取常用對數(shù)得lg 264=lg N,所以64lg 2=lg N,所以lg N≈64×0.30=19.2,所以N≈1019.2.故選B. 5

30、.(2021·江西吉安高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=log4(x+k)的圖象如圖所示,則2f(2)+2-f(2)等于(　C　) A.23 　　　　B.2 C.433 　　　　D.52 解析:由圖象可知,f(0)=0,即log4k=0,所以k=1,則f(x)=log4(x+1),所以f(2)=log43,則2f(2)+2-f(2)=2log43+2-log43=2log23+2-log23 =2log23+2log213=3+13=433.故選C. 6.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=log12(x2+x+1)的說法中,正確的是(　A　) A.有最大值2-log23,在(-∞,-12)上為增函

31、數(shù) B.有最大值2-log23,在(-∞,-12)上為減函數(shù) C.有最小值2-log23,在(-12,+∞)上為增函數(shù) D.有最小值2-log23,在(-12,+∞)上為減函數(shù) 解析:令u=x2+x+1=(x+12)2+34≥34,所以log12(x2+x+1)≤log1234=2-log23,故f(x)有最大值2-log23.又f(x)=log12(x2+x+1)是由函數(shù)y=log12u與u=x2+x+1復(fù)合而成,且u=x2+x+1在(-∞,-12)上為減函數(shù),在(-12,+∞)上為增函數(shù),y=log12u在(0,+∞)上為減函數(shù),所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)在(-∞,-1

32、2)上為增函數(shù),在(-12,+∞)上為減函數(shù).故選A. 7.若函數(shù)f(x)=log12(-x2+4x+5)在區(qū)間(3m-2,m+2)上單調(diào)遞增,則實數(shù)m的取值范圍為(　A　) A.[43,2) B.[43,2] C.[43,3] D.[43,3) 解析:令t=-x2+4x+5>0,解得-10).而t=-x2+4x+5在(-1,2)上單調(diào)遞增,在(2,5)上單調(diào)遞減,且y=log12t在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 所以f(x)=log12(-x2+4x+5)在(-1,2)上單調(diào)遞減,在(2,5)上單調(diào)遞增,又因為函數(shù)f(x)=log12(-x2+4x+5

33、)在區(qū)間(3m-2,m+2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以2≤3m-23的解集為　　　　.? 解析:設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=logax(a>0,a≠1),由函數(shù)的圖象過點(4,-2)可得-2=loga4,即a-2=4,則a=12.由f(x-1)-f(x+1)>3,可得f(x-1)>3+f(x+1),即log12(x-1)>log1218+log12(x+1)=log12[18(x+1)],所以原不等式等價于x-1>0,x-1<18(x+1),x+1>0,解得1

34、. 答案:(1,97) 9.若函數(shù)f(x)=log2(x2-3ax+2a2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,a2),則a=　　　　.? 解析:x2-3ax+2a2=(x-a)(x-2a),當(dāng)a=0時,顯然符合題意;當(dāng)a<0時,因為2a0時,因為2a>a,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (-∞,a),由a2=a,得a=0(舍去)或1.綜上,a=0或1. 答案:0或1 10.已知函數(shù)f(x)=loga(x+ax-4)(a>0,a≠1)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是　 .? 解析:

35、f(x)=loga(x+ax-4)(a>0,a≠1)的值域為R, 設(shè)t=x+ax-4,所以t可以取遍(0,+∞)中任意一個數(shù),所以tmin=2a-4≤0?a≤4, 所以實數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪(1,4]. 答案:(0,1)∪(1,4] 11.設(shè)函數(shù)f(x)=ln|3x+2|-ln|3x-2|,則f(x)(　B　) A.是偶函數(shù),在(23,+∞)上單調(diào)遞減 B.是奇函數(shù),在(-23,23)上單調(diào)遞增 C.是偶函數(shù),在(-∞,-23)上單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù),在(23,+∞)上單調(diào)遞增 解析:由f(x)=ln|3x+2|-ln|3x-2|得f(x)的定義域為{xx≠±2

36、3},關(guān)于坐標(biāo)原點對稱. 又f(-x)=ln|2-3x|-ln|-3x-2|=ln|3x-2|-ln|3x+2|=-f(x), 所以f(x)為定義域上的奇函數(shù),可排除A,C; 當(dāng)x∈(-23,23)時,f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x), 因為y=ln(3x+2)在(-23,23)上單調(diào)遞增,y=ln(2-3x)在(-23,23)上單調(diào)遞減,所以f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x)在(-23,23)上單調(diào)遞增,故B正確;當(dāng)x∈(23,+∞)時,f(x)=ln(3x+2)-ln(3x-2)=ln 3x+23x-2=ln(1+43x-2), 因為μ=1+43x-2在(2

37、3,+∞)上單調(diào)遞減,f(μ)=ln μ在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)在(23,+∞)上單調(diào)遞減,故D錯誤.故選B. 12.(2021·高三百校聯(lián)考)已知a=log43,b=log53,c=log45,則(　A　) A.b0,所以01,所以b

38、下列關(guān)系中正確的是(　D　) A.4x<3y<2z B.2z<4x<3y C.3y<2z<4x D.2z<3y<4x 解析:設(shè)31x=41y=51z=t,所以x=logt3,y=logt4,z=logt5,由已知得t>1,所以函數(shù)y=logtx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且4x=4logt3=logt81,3y= 3logt4=logt64,2z=2logt5=logt25,所以2z<3y<4x.故選D. 14.已知函數(shù)f(x)=loga2-x2+mx(a>0且a≠1)是奇函數(shù),則實數(shù)m的值為　　　　;滿足不等式f(27)<1的實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:由題意2-x2+mx

39、>0的解集關(guān)于原點對稱,因為x=2是2-x=0的根,所以x=-2是2+mx=0的根,所以m=1. 當(dāng)m=1時,f(x)=loga2-x2+x的定義域為(-2,2),且滿足f(-x)=-f(x),符合題意,故m=1. 由f(x)=loga2-x2+x,及f(27)<1, 可知loga2-272+27=loga34<1. 當(dāng)a>1時,loga34<0,不等式恒成立; 當(dāng)01. 答案:1　{a01} 15.(多選題)已知函數(shù)f(x)=log2(mx2+4x+8),m∈R,則下列說法正確的是(

40、　AC　) A.若函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞),則實數(shù)m的取值范圍是(12,+∞) B.若函數(shù)f(x)的值域為[2,+∞),則實數(shù)m=2 C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是(49,23] D.若m=0,則不等式f(x)<15的解集為{x|x<-32} 解析:對于A,由題意知mx2+4x+8>0對x∈R恒成立,當(dāng)m=0時,不等式4x+8>0不恒成立,所以m≠0,當(dāng)m≠0時,由m>0,Δ=16-32m<0,解得m>12,所以A正確; 對于B,若函數(shù)f(x)的值域為[2,+∞),則f(x)min=2,顯然m不為0,則函數(shù)y=mx2+4x+8的最小值為4,當(dāng)x=-2m時,ymin=m·(-2m)2+4×(-2m)+ 8=4,解得m=1,所以B錯誤; 對于C,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,+∞)上為增函數(shù),則y=mx2+4x+8在[-3,+∞)上為增函數(shù),且在[-3,+∞)內(nèi)的函數(shù)值為正, 所以m>0,-2m≤-3,m·(-3)2+4×(-3)+8>0, 解得49