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1、第三章 正弦交流電路,教學重點 1了解正弦交流電的產(chǎn)生。 2掌握表征正弦交流電的三要素：振幅、角頻率、初相位。 3理解交流電的周期、頻率、有效值、相位與相位差等概念。 4掌握正弦交流電流、電壓的表示法(解析式、波形圖、矢量圖等)。,第3章 正弦交流電,3.1 正弦交流電的基本知識,3.2 單相交流電路,3.3 三相交流電路,3.4 安全用電,如果電流的大小及方向都隨時間做周期性變化，并且在一個周期內的平均值為零的電流稱為交流電。,一、正弦交流電的產(chǎn)生,3.1 正弦交流電的基本知識,二、正弦交流電的三要素,大小及方向均隨時間按正弦規(guī)律做周期性變化的電流、電壓、電動勢稱為正弦交流電流、電壓、電動勢
2、，在某一時刻 t 的瞬時值可用三角函數(shù)式(解析式)來表示，即,i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0),i ( t ) = Imsin( t i0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0),式中，Im、Um、Em 分別稱為交流電流、電壓、電動勢的振幅(也稱為峰值或最大值)，電流的單位為A (安)，電壓和電動勢的單位為 V(伏)； 稱為交流電的角頻率，單位為rad/s (弧度/秒)，它表征正弦交流電流每秒內變化的電角度；i0、u0、e0 分別稱為電
3、流、電壓、電動勢的初相位或初相，單位為 rad（弧度） 或 (度)，它表示初始時刻(t = 0 時)正弦交流電所處的電角度。,振幅、角頻率、初相這三個參數(shù)稱為正弦交流電的三要素。任何正弦量都具備三要素。,1周期 正弦交流電完成一次循環(huán)變化所用的時間稱為周期，用字母 T 表示，單位為s（秒） 。顯然正弦交流電流或電壓相鄰的兩個最大值(或相鄰的兩個最小值)之間的時間間隔即為周期，由三角函數(shù)知識可知,（一）周期與頻率,2頻率, = 2 f,交流電周期的倒數(shù)稱為頻率(用符號 f 表示)，即,它表示正弦交流電流在單位時間內作周期性循環(huán)變化的次數(shù)，即表征交流電交替變化的速率(快慢)。頻率的國際單位制是Hz
4、 (赫) 。角頻率與頻率之間的關系為,在電工技術中，有時并不需要知道交流電的瞬時值，而規(guī)定一個能夠表征其大小的特定值有效值，其依據(jù)是交流電流和直流電流通過電阻時，電阻都要消耗電能(熱效應)。,設正弦交流電流 i( t ) 在一個周期 T 時間內，使一電阻R 消耗的電能為 WR ，另有一相應的直流電流 I 在時間 T 內也使該電阻 R 消耗相同的電能，即 WR = I2RT 。,（二） 有效值,就平均對電阻作功的能力來說，這兩個電流(i 與 I)是等效的，則該直流電流 I 的數(shù)值可以表示交流電流 i(t) 的大小，于是把這一特定的數(shù)值 I 稱為交流電流的有效值。理論與實驗均可證明，正弦交流電流
5、i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 0.707 倍，即,正弦交流電壓的有效值,正弦交流電動勢的有效值,例如正弦交流電流 i = 2sin( t30) A 的有效值 I = 20.707 A= 1.414 A，如果通過 R = 10 的電阻時，在一秒時間內電阻消耗的電能(又稱為平均功率)為 P = I2R = 20 W，即與 I = 1.414 A 的直流電流通過該電阻時產(chǎn)生相同的電功率。,我國工業(yè)和民用交流電源的有效值為 220 V，頻率為50 Hz，因而通常將這一交流電壓簡稱為工頻電壓。,因為正弦交流電的有效值與最大值(振幅值)之間有確定的比例系數(shù)，所以有效值、頻率、初相這三個參
6、數(shù)也可以合在一起稱為正弦交流電的三要素。,（三）相位和相位差,任意一個正弦量 y = Asin( t + 0 )的相位為( t + 0 )，本章只涉及兩個同頻率正弦量的相位差(與時間 t 無關)。設第一個正弦量的初相為 01 ，第二個正弦量的初相為 02 ，則這兩個正弦量的相位差為 12 = 01 02,并規(guī)定 |12| 180 或 |12| ,在討論兩個正弦量的相位關系時：,(1)當 12 0 時，稱第一個正弦量比第二個正弦量越前(或超前) 12 ；,(2)當 12 0 時，稱第一個正弦量比第二個正弦量滯后(或落后) | 12 | ；,(3)當 12 = 0 時，稱第一個正弦量與第二個正弦量
7、同相，如圖 3-1(a)；,(4)當 12 = 或 180 時，稱第一個正弦量與第二個正弦量反相，如圖 3-1(b)；,(5)當 12 = 或 90 時，稱第一個正弦量與第二個正弦量正交。,圖3-1 相位差的同相與反相波形,例如已知 u = 311sin(314t 30) V，i = 5sin(314t 60) A，則 u 與 i的相位差為 ui = (30) ( 60) = 90，即 u 比 i滯后 90，或 i比 u 超前90。,1、解析式表示法,i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0),例如已知某正弦交流電流的
8、最大值是 2 A，頻率為 100 Hz，設初相位為 60 ，則該電流的瞬時表達式為,i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A,三、正弦交流電的表示法,2、波形圖表示法,圖3-2 正弦交流電的波形圖舉例,3、矢量圖表示法,正弦量可以用最大值矢量或有效值矢量表示，但通常用有效值矢量表示。,圖 3-3 正弦量的振幅矢量圖舉例,（1）振幅矢量表示法 最大值矢量表示法是用正弦量的最大值作為矢量的模(大小)，用初相角作為矢量的幅角，例如有三個正弦量 e = 60 sin( t60 ) V u = 30 sin( t30 ) V i = 5 s
9、in( t30) A 則它們的最大值矢量圖如圖3-3所示。,（2）有效值矢量表示法,有效值矢量表示法是用正弦量的有效值作為矢量的模(長度大小)，仍用初相角作為矢量的幅角，例如,則它們的有效值矢量圖如圖 3-4 所示。,圖 3-4 正弦量的有效值矢量圖舉例,交流電路:負載接到交流電源上。 單相交流電路只有一個交變電動勢，三相交流電路有三個交變電動勢。 負載元件: 電路分析：,一、概述,3.2 單相交流電路,二、純電阻電路,1、電壓、電流的瞬時值關系,2、電壓、電流的有效值關系,3、相位關系,只含有電阻元件的交流電路稱為純電阻電路，如含有白熾燈、電爐、電烙鐵等的電路。,1、電壓、電流的瞬時值關系,
10、電阻與電壓、電流的瞬時值之間的關系服從歐姆定律。設加在電阻 R 上的正弦交流電壓瞬時值 u = Umsin( t)，則通過該電阻的電流瞬時值,其中,是正弦交流電流的最大值。這說明，正弦交流電壓和電流的最大值之間滿足歐姆定律。,2、電壓、電流的有效值關系,電壓、電流的有效值關系又稱為大小關系。,由于純電阻電路中正弦交流電壓和電流的最大值之間滿足歐姆定律，因此把等式兩邊同時除以 ，即得到有效值關系，即,這說明，正弦交流電壓和電流的有效值之間也滿足歐姆定律。,3、相位關系,電阻兩端的電壓 u 與通過它的電流 i 同相，其波形圖和矢量圖如圖 3-5所示。,圖3-5 電阻兩端的電壓 u 與電流 i 的波
11、形圖和矢量圖,【例 1】在純電阻電路中，已知電阻 R = 44 ，交流電壓 u = 311sin(314t + 30) V，求通過該電阻的電流大小，并寫出電流的解析式。,解：解析式 sin(314t + 30) A，大小(有效值)為,三、純電感電路,1、電感對交流電的阻礙作用,2、電感電流與電壓的關系,純電感電路中通過正弦交流電流的時候，所呈現(xiàn)的感抗 XL=L=2fL,式中，自感系數(shù)L的國際單位制單位是H (亨)，常用的單位還有mH (毫亨) 、 H (微亨) 、 nH (納亨 ) 等，它們與H 的換算關系為 1 mH = 103 H，1 H = 106 H ，1 nH = 109 H。,如果
12、線圈中不含有導磁介質，則稱為空心電感或線性電感，線性電感 L 在電路中是一常數(shù)，與外加電壓或通電電流無關。,如果線圈中含有導磁介質時，則電感 L 將不是常數(shù)，而是與外加電壓或通電電流有關的量，這樣的電感稱為非線性電感，例如鐵心電感。,1、電感對交流電的阻礙作用,線圈在電路中的作用 用于“通直流、阻交流”的電感線圈稱為低頻扼流圈，用于“通低頻、阻高頻”的電感線圈稱為高頻扼流圈。,顯然，感抗與電阻的單位相同，都是 (歐)。,（1）電感電流與電壓的大小關系,電感電流與電壓的大小關系,2、電感電流與電壓的關系,（2）電感電流與電壓的相位關系,電感電壓比電流超前90(或 /2)，即電感電流比電壓滯后 9
13、0 ，如圖 3-6 所示。,圖 3-6 電感電壓與電流的波形圖與矢量圖,解：(1) 電路中的感抗 XL = L = 314 0.08 25 ,(2),(3) 電感電流 iL 比電壓 uL 滯后 90，則,【例2】 已知一電感 L = 80 mH，外加電壓 uL = 50 sin(314t 65) V。試求：(1) 感抗 XL ；(2) 電感中的電流 IL；(3) 電流瞬時值 iL。,四、純電容電路,1、電容對交流電的阻礙作用,2、電流與電壓的關系,1、電容對交流電的阻礙作用,（1）容抗的概念,反映電容對交流電流阻礙作用程度的參數(shù)稱為容抗。容抗按下式計算,容抗和電阻、電感的單位一樣，也是 (歐)
14、。,（2）電容在電路中的作用,在電路中，用于“通交流、隔直流”的電容器稱為隔直電容器；用于“通高頻、阻低頻”將高頻電流成分濾除的電容器稱為高頻旁路電容器。,（1）電容電流與電壓的大小關系,電容電流與電壓的大小關系為,2、電流與電壓的關系,（2）電容電流與電壓的相位關系,電容電流比電壓超前 90(或 /2)，即電容電壓比電流滯后 90 ，如圖3-7所示。,圖3-7 電容電壓與電流的波形圖與矢量圖,解：(1) (2) (3) 電容電流比電壓超前90，則,【例3】已知一電容 C = 127 F，外加正弦交流電壓 。試求：(1) 容抗 XC；(2) 電流大小 IC；(3) 電流瞬時值。,五、電阻、電感
15、、電容的串聯(lián)電路,1、RLC 串聯(lián)電路的電壓關系,2、RLC 串聯(lián)電路的阻抗,3、RLC 串聯(lián)電路的性質,1、RLC 串聯(lián)電路的電壓關系,由電阻、電感、電容相串聯(lián)構成的電路稱為 RLC 串聯(lián)電路。,圖 3-8 RLC 串聯(lián)電路,設電路中電流為 i = Imsin( t)，則根據(jù) R、L、C 的基本特性可得各元件的兩端電壓： uR =RImsin( t)， uL=XLImsin( t 90)， uC =XCImsin( t 90),根據(jù)基爾霍夫電壓定律 (KVL) ，在任一時刻總電壓u 的瞬時值 u = uR uL uC,作出矢量圖，如圖 3-9 所示，并得到各電壓之間的大小關系為,上式又稱為電
16、壓三角形關系式。,圖 3-9 RLC 串聯(lián)電路的矢量圖,由于 UR = RI，UL = XLI，UC = XCI，可得,令,上式稱為阻抗三角形關系式，|Z| 稱為 RLC 串聯(lián)電路的阻抗，其中 X = XL XC 稱為電抗。阻抗和電抗的單位均是 (歐)。,2、RLC 串聯(lián)電路的阻抗,阻抗三角形的關系如圖 3-10 所示。,由矢量圖可以看出總電壓與電流的相位差,上式中 稱為阻抗角。,圖 3-10 RLC 串聯(lián)電路的阻抗三角形,根據(jù)總電壓與電流的相位差(即阻抗角 )為正、負、零三種情況，將電路分為三種性質。,1. 感性電路：當 X 0 時，即 X L X C， 0，電壓 u 比電流i超前 ，稱電路
17、呈感性； 2. 容性電路：當 X 0 時，即 X L X C， 0，電壓 u 比電流i滯后 | ，稱電路呈容性； 3. 諧振電路：當 X = 0 時，即 X L = X C， = 0，電壓 u 與電流 i 同相，稱電路呈電阻性，電路處于這種狀態(tài)時，稱為諧振狀態(tài)。,3、RLC 串聯(lián)電路的性質,【例4】 在 RLC 串聯(lián)電路中，交流電源電壓 U = 220 V，頻率 f = 50 Hz，R = 30 ，L = 445 mH，C = 32 F。試求：(1) 電路中的電流大小 I ；(2) 總電壓與電流的相位差 ；(3) 各元件上的電壓 UR、UL、UC 。,解：(1) XL = 2fL 140 ，X
18、C = 100 ，,則,(2),即總電壓比電流超前 53.1 ，電路呈感性。,(3) UR = RI = 132 V，UL = X LI = 616 V，UC = X CI = 440 V。,本例題中電感電壓、電容電壓都比電源電壓大，在交流電路中各元件上的電壓可以比總電壓大，這是交流電路與直流電路特性不同之處。,六、交流電路的功率,1、正弦交流電路功率的基本概念,2、電阻、電感、電容電路的功率,3、功率因數(shù)的提高,1、正弦交流電路功率的基本概念,（1）瞬時功率 p,設正弦交流電路的總電壓 u 與總電流i的相位差(即阻抗角)為 ，則電壓與電流的瞬時值表達式為,u = Umsin( t )，i =
19、 Imsin( t),瞬時功率為,p = ui = UmImsin( t )sin( t),利用三角函數(shù)關系式 sin( t )= sin( t)cos cos(t)sin 可得,式中 為電壓有效值， 為電流有效值。,（2）有功功率 P 與功率因數(shù) ,瞬時功率在一個周期內的平均值稱為平均功率，它反映了交流電路中實際消耗的功率，所以又稱為有功功率，用 P表示，單位是W (瓦)。,在瞬時功率 P = UIcos1 cos(2 t) UIsin sin(2 t)中，第一項與電壓和電流相位差 的余弦值 cos 有關，在一個周期內的平均值為 UI cos ；第二項與電壓和電流相位差 的正弦值 sin 有
20、關，在一個周期內的平均值為零。則瞬時功率在一個周期內的平均值(即有功功率) P = UI cos = UI 其中 = cos 稱為正弦交流電路的功率因數(shù)。,（3）視在功率 S,定義：在交流電路中，電源電壓有效值與總電流有效值的乘積(UI)稱為視在功率，用 S 表示，即 S =UI ，單位是VA (伏安)。,S 代表了交流電源可以向電路提供的最大功率，又稱為電源的功率容量。于是交流電路的功率因數(shù)等于有功功率與視在功率的比值，即,所以電路的功率因數(shù)能夠表示出電路實際消耗功率占電源功率容量的百分比。,（4）無功功率 Q,在瞬時功率 p = UIcos1 cos(2 t) UI sin sin(2 t
21、)中，第二項表示交流電路與電源之間進行能量交換的瞬時功率，|UIsin | 是這種能量交換的最大功率，并不代表電路實際消耗的功率。,定義： Q = UI sin 把它稱為交流電路的無功功率，用 Q 表示，單位是乏爾，簡稱乏(var)。,圖 8-7 功率三角形,當 0 時，Q 0，電路呈感性；當 0 時，Q 0，電路呈容性；當 = 0 時，Q = 0，電路呈電阻性。,顯然，有功功率 P、無功功率 Q 和視在功率 S 三者之間成三角形關系，即,這一關系稱為功率三角形，如圖 8-7 所示。,2、電阻、電感、電容電路的功率,（1）純電阻電路的功率,在純電阻電路中，由于電壓與電流同相，即相位差 = 0，
22、則瞬時功率 pR = UIcos1 cos(2t) UI sin sin(2 t) = UIcos1 cos(2 t),有功功率 PR = UI cos = UI = I2R =,無功功率 QR = UI sin = 0,視在功率,即純電阻電路消耗功率(能量)。,（2) 純電感電路的功率,在純電感電路中，由于電壓比電流超前 90 ，即電壓與電流的相位差 = 90，則瞬時功率,pL = UIcos1 cos(2 t) UI sin sin(2 t) = UI sin(2 t),有功功率 PL = UI cos = 0,無功功率 QL = UI = I2XL =,視在功率,即純電感電路不消耗功率(
23、能量)，電感與電源之間進行著可逆的能量轉換。,（）純電容電路的功率,在純電容電路中，由于電壓比電流滯后 90，即電壓與電流的相位差 = 90，則瞬時功率,pC = UIcos1 cos(2 t) UI sin sin(2 t)= UI sin(2 t),有功功率 PC = UIcos = 0,無功功率 QC = UI = I2XC =,視在功率,即純電容電路也不消耗功率(能量)，電容與電源之間進行著可逆的能量轉換。,RLC 元件的特性,二、RLC 串聯(lián)電路,說明：,(1) RL 串聯(lián)電路：只需將 RLC 串聯(lián)電路中的電容 C 短路去掉，即令 XC = 0，UC = 0，則表中有關串聯(lián)電路的公式完全適用于 RL 串聯(lián)情況。,(2) RC 串聯(lián)電路：只需將 RLC 串聯(lián)電路中的電感 L 短路去掉，即令 XL = 0，UL = 0，則表中有關串聯(lián)電路的公式完全適用于 RC 串聯(lián)情況。,(3) RL 并聯(lián)電路：只需將 RLC 并聯(lián)電路中的電容 C 開路去掉，即令 XC = ，IC = 0 ，則表中有關并聯(lián)電路的公式完全適用于 R-L 并聯(lián)情況。,(4) RC 并聯(lián)電路：只需將 RLC 并聯(lián)電路中的電感 L 開路去掉，即令 XL=，IL = 0 ，則表中有關并聯(lián)電路的公式完全適用于 RC 并聯(lián)情況。,
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