(京津魯瓊專(zhuān)用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 小題分類(lèi)練 小題分類(lèi)練(六) 數(shù)學(xué)文化類(lèi)(含解析)

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1、小題分類(lèi)練(六) 數(shù)學(xué)文化類(lèi) 一、選擇題 1.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜求積術(shù)”.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積術(shù)”為S=.若c2sin A=4sin C,B=,則用“三斜求積術(shù)”求得△ABC的面積為(  ) A. B. C. D. 2.(2019·懷化模擬)《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長(zhǎng)篇小說(shuō),書(shū)中有這樣一個(gè)情節(jié):一座樓閣到處掛滿(mǎn)了五彩繽紛的大小燈球,燈球有兩種,一種是大燈下綴2個(gè)小燈,另一種是大燈下綴4個(gè)小燈,大燈共360個(gè),小燈共1 200個(gè).若在這座樓閣的燈球中,隨機(jī)選取1個(gè)燈球,則這

2、個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為(  ) A. B. C. D. 3.素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù),法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位,因此后人將“2n-1”形式(n是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù).已知第20個(gè)梅森素?cái)?shù)為P=24 423-1,第19個(gè)梅森素?cái)?shù)為Q=24 253-1,則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(  ) (參考數(shù)據(jù),lg 2≈0.3) A.1045 B.1051 C.1056 D.1059 4.由國(guó)家公安部提出,國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局發(fā)布的《車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T19522-2010)于2011年7月1日正式實(shí)施.車(chē)輛駕駛?cè)?/p>

3、員飲酒后或者醉酒后駕車(chē)血液中的酒精含量閾值見(jiàn)表.經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn),一般情況下,某人喝1瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖所示,且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)=則該人喝1瓶啤酒后至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才可以駕車(chē)(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)?(參考數(shù)據(jù):ln 15≈2.71,ln 30≈3.40)(  ) 車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值 駕駛行為類(lèi)型 閾值(mg/100 mL) 飲酒后駕車(chē) ≥20,<80 醉酒后駕車(chē) ≥80 A.5 h B.6 h C.7 h D.8 h 5.(2019·漳州質(zhì)檢)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“諸葛亮領(lǐng)八員將,每將又分八個(gè)營(yíng),

4、每營(yíng)里面排八陣,每陣先鋒有八人,每人旗頭俱八個(gè),每個(gè)旗頭八隊(duì)成,每隊(duì)更該八個(gè)甲,每個(gè)甲頭八個(gè)兵.”則該問(wèn)題中將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有(  ) A.(87-8)人 B.(89-8)人 C.人 D.人 6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有五人分五錢(qián),令上二人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián),甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問(wèn)五人各得多少錢(qián)?”(“錢(qián)”是古代的一種質(zhì)量單位)在這個(gè)問(wèn)題中,戊所得為(  ) A.錢(qián) B.錢(qián) C.錢(qián) D.錢(qián) 7.洛書(shū),古稱(chēng)龜

5、書(shū),是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四隅黑點(diǎn)為陰數(shù),其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15.如圖,若從4個(gè)陰數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù),則能使這兩數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率是(  ) A. B. C. D. 8.(2019·合肥質(zhì)量檢測(cè))我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭,令上方六尺,問(wèn)亭方幾何?大致意思:有一個(gè)正四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈,高三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺,則該正四棱臺(tái)的體積是(注:1丈=10尺)(

6、  ) A.1 946立方尺 B.3 892立方尺 C.7 784立方尺 D.11 676立方尺 9.(2019·鄭州模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理,三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),重心是三角形三條中線的交點(diǎn),垂心是三角形三條高線的交點(diǎn))依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)B(-1,0),C(0,2),AB=AC,則△ABC的歐拉線方程為(  ) A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0 C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=0 10.據(jù)《孫子算經(jīng)》中記

7、載,中國(guó)古代諸侯的等級(jí)從低到高分為男、子、伯、侯、公共五級(jí).現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人,共五人要把80個(gè)橘子分完且每人都要分到橘子,級(jí)別每高一級(jí)就多分m個(gè)(m為正整數(shù)),若按這種方法分橘子,“公”恰好分得30個(gè)橘子的概率是(  ) A. B. C. D. 11.(多選)(2019·四川資陽(yáng)模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表: AQI指數(shù)值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染 如圖是某市10月1

8、日~20日AQI指數(shù)變化趨勢(shì): 下列敘述正確的是(  ) A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100 B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占 C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好 D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好 12.(多選)(2019·湖北八校聯(lián)考)太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱(chēng)圖形.如果一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)A的面積和周長(zhǎng)分成兩個(gè)相等的部分,我們稱(chēng)這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中錯(cuò)誤的命題為(  ) A.對(duì)于任意一個(gè)圓,其對(duì)應(yīng)的“太極函數(shù)”不唯一 B.如果一個(gè)函數(shù)是兩個(gè)圓的“太極函數(shù)”,那么這兩個(gè)圓為同心圓 C.圓(x-1)2+(y-

9、1)2=4的一個(gè)“太極函數(shù)”為f(x)=x3-3x2+3x D.圓的“太極函數(shù)”的圖象均是中心對(duì)稱(chēng)圖形 13.(多選)如圖1,直線EF將矩形紙ABCD分為兩個(gè)直角梯形ABFE和CDEF,將梯形CDEF沿邊EF翻折,如圖2,在翻折的過(guò)程中(平面ABFE和平面CDEF不重合),下面說(shuō)法不正確的是(  ) A.存在某一位置,使得CD∥平面ABFE B.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE C.在翻折的過(guò)程中,BF∥平面ADE恒成立 D.在翻折的過(guò)程中,BF⊥平面CDEF恒成立 二、填空題 14.某輛汽車(chē)每次加油都把油箱加滿(mǎn),表中記錄了該車(chē)相鄰兩次加油時(shí)的情況. 加油時(shí)間 加油

10、量(升) 加油時(shí)累計(jì) 里程(千米) 2018年10月1日 12 35 000 2018年10月15日 60 35 600 (注:“累計(jì)里程”指汽車(chē)從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程)在這段時(shí)間內(nèi),該車(chē)每100千米平均耗油量為_(kāi)_______升. 15.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中,稱(chēng)一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”.劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4.若正方體的棱長(zhǎng)為2,則“牟合方蓋”的體積為_(kāi)_______. 16.小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線,為了解自己記憶一組單詞的情況,她記錄了隨后

11、一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù),繪制圖象,擬合了記憶保持量f(x)與時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系f(x)= 某同學(xué)根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論: ①隨著時(shí)間的增加,小菲的單詞記憶保持量降低; ②9天后,小菲的單詞記憶保持量低于40%; ③26天后,小菲的單詞記憶保持量不足20%. 其中正確結(jié)論的序號(hào)有________.(注:請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 17.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述:“芻蕘(chú ráo):倍下長(zhǎng),加上長(zhǎng),以廣乘之,又以高乘,用六歸之.如屋脊:上斜下平.”劉徽注曰:止斬方亭兩邊,合之即“芻甍”之形也.即將方臺(tái)的兩邊切下來(lái)合在一起就是“芻甍”,是

12、一種五面體(如圖):矩形ABCD,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,則此幾何體的表面積為_(kāi)_______,體積為_(kāi)_______. 小題分類(lèi)練(六) 數(shù)學(xué)文化類(lèi) 1.解析:選A.根據(jù)正弦定理,由c2sin A=4sin C,可得ac=4.結(jié)合B=,可得a2+c2-b2=4,則S△ABC==,故選A. 2.解析:選B.設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈有x個(gè),大燈下綴4個(gè)小燈有y個(gè),根據(jù)題意可得解得x=120,y=240,則燈球的總數(shù)為x+y=360,故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為=,故選B. 3.解析:選B.由題知=≈2170

13、,令2170=k,則lg 2170=lg k.所以170lg 2=lg k.又lg 2≈0.3,所以51=lg k,即k=1051,所以與最接近的數(shù)為1051.故選B. 4.解析:選B.由題意可知當(dāng)酒精含量閾值低于20時(shí)才可以開(kāi)車(chē),結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e-0.5x+14<20,解得x>5.42,取整數(shù),故為6個(gè)小時(shí),故選B. 5.解析:選D.由題意可得將官、營(yíng)、陣、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列,且首項(xiàng)為8,公比也是8,所以將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共8+84+85+86+87+88=8+=8+(89-84)(人),故選D. 6.解析:選B.依題意設(shè)甲、乙、丙、

14、丁、戊所得分別為(a-2d)錢(qián),(a-d)錢(qián),a錢(qián),(a+d)錢(qián),(a+2d)錢(qián).由甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等,得a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.又五人分五錢(qián),則a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,則a+2d=a+2×(-)==.故選B. 7.解析:選D.從4個(gè)陰數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù),共有6種取法,其中滿(mǎn)足題意的取法有兩種;4,6和2,8,所以能使這2個(gè)數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率P==.故選D. 8.解析:選B.由題意可知正四棱錐的高為30,所截得正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為20,上底面邊長(zhǎng)為6.設(shè)棱臺(tái)的高OO1=h,由△

15、PA1O1∽△PAO可得=,解得h=21,可得正四棱臺(tái)體積V=×21×(62+202+6×20)=3 892(立方尺),故選B. 9.解析:選D.因?yàn)锽(-1,0),C(0,2),所以線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,1),線段BC所在直線的斜率kBC=2,則線段BC的垂直平分線的方程為y-1=-×(x+),即2x+4y-3=0,因?yàn)锳B=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都在線段BC的垂直平分線上,所以△ABC的歐拉線方程為2x+4y-3=0.故選D. 10.解析:選B.由題意可知等級(jí)從低到高的5個(gè)諸侯所分的橘子個(gè)數(shù)組成公差為m的等差數(shù)列,設(shè)“男”分得的橘子個(gè)數(shù)為a1,其前n項(xiàng)和為Sn,則S5

16、=5a1+m=80,即a1+2m=16,且a1,m均為正整數(shù),若a1=2,則m=7,此時(shí)a5=30,若a1=4,m=6,此時(shí)a5=28,若a1=6,m=5,此時(shí)a5=26,若a1=8,m=4,此時(shí)a5=24,若a1=10,m=3,此時(shí)a5=22,若a1=12,m=2,此時(shí)a5=20,若a1=14,m=1,此時(shí)a5=18,所以“公”恰好分得30個(gè)橘子的概率為.故選B. 11.解析:選ABD.對(duì)于A,20天中AQI指數(shù)值有10個(gè)低于100,10個(gè)高于100,其中位數(shù)略高于100,正確; 對(duì)于B,20天中AQI指數(shù)值高于150的天數(shù)為5,即占總天數(shù)的,正確; 對(duì)于C,該市10月的前4天的空氣質(zhì)

17、量越來(lái)越好,從第5天到第15天,空氣質(zhì)量越來(lái)越差,錯(cuò)誤; 對(duì)于D,總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量要好些,D正確. 12.解析:選BD.對(duì)于A,圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條,因此它對(duì)應(yīng)的“太極函數(shù)”也有無(wú)數(shù)個(gè),故A正確; 對(duì)于B,當(dāng)兩圓的圓心在同一條直線上時(shí),該直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為這兩個(gè)圓的“太極函數(shù)”,故B錯(cuò)誤; 對(duì)于C,因?yàn)閒(x)=x3-3x2+3x=(x-1)3+1,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱(chēng),又圓(x-1)2+(y-1)2=4關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱(chēng),故函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x是圓(x-1)2+(y-1)2=4的一個(gè)“太極函數(shù)”,故C正確;

18、 對(duì)于D,如圖,過(guò)圓心C的“太極函數(shù)”的圖象不是中心對(duì)稱(chēng)圖形,故D錯(cuò)誤. 13.解析:選ABD.在A中,因?yàn)樗倪呅蜠EFC是梯形,DE∥CF,所以CD與EF相交,所以CD與平面ABFE相交,故A錯(cuò)誤; 在B中,因?yàn)樗倪呅蜠EFC是梯形,DE⊥CD,所以DE與EF不垂直,所以不存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE,故B錯(cuò)誤; 在C中,因?yàn)樗倪呅蜛BFE是梯形,AE∥BF,BF?平面ADE,AE?平面ADE,所以在翻折的過(guò)程中,BF∥平面ADE恒成立,故C正確; 在D中,因?yàn)樗倪呅蜛BFE是梯形,AB⊥BF,所以BF與FE不垂直,在翻折的過(guò)程中,BF⊥平面CDEF不成立,故D錯(cuò)誤.

19、 14.解析:因?yàn)榈诙渭訚M(mǎn)油箱時(shí)加油量為60升,所以從第一次加油到第二次加油共用油60升,行駛了600千米,所以在這段時(shí)間內(nèi),該車(chē)每100千米平均耗油量為=10(升). 答案:10 15.解析:若正方體的棱長(zhǎng)為2,則內(nèi)切球的半徑r=1,所以正方體的內(nèi)切球的體積V球=π×13=π.又已知=,所以V牟合方蓋=×π=. 答案: 16.解析:由函數(shù)解析式可知f(x)隨著x的增加而減少,故①正確;當(dāng)1,故③錯(cuò)誤. 答案:①② 17.解析:由題意知該五面

20、體的表面積S=S矩形ABCD+2S△ADE+2S梯形ABFE=2×4+2××2×+2××(2+4)×=8+8. 過(guò)F作FO⊥平面ABCD,垂足為O,取BC的中點(diǎn)P,連接PF,過(guò)F作FQ⊥AB,垂足為Q,連接OQ. 因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以O(shè)P=(AB-EF)=1,PF==,OQ=BC=1,所以O(shè)F==, 采用分割的方法,分別過(guò)點(diǎn)F,E作與平面ABCD垂直的平面,這兩個(gè)平面把幾何體分割成三部分, 如圖,包含一個(gè)三棱柱EMN-FQH,兩個(gè)全等的四棱錐:E-AMND,F(xiàn)-QBCH, 所以這個(gè)幾何體的體積V=VEMN-FQH+2VF-QBCH=S△QFH×MQ+2×S矩形QBCH×FO=×2××2+2××1×2×=. 答案:8+8  - 9 -

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