（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 小題分類練 小題分類練（六） 數(shù)學文化類（含解析）

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1、小題分類練(六)　數(shù)學文化類 一、選擇題 1．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜求積術”．設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積術”為S＝.若c2sin A＝4sin C，B＝，則用“三斜求積術”求得△ABC的面積為(　　) A. B. C. D. 2．(2019·懷化模擬)《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1 200個．若在這座樓閣的燈球中，隨機選取1個燈球，則這

2、個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為(　　) A. B. C. D. 3．素數(shù)也叫質數(shù)，法國數(shù)學家馬林·梅森是研究素數(shù)的數(shù)學家中成就很高的一位，因此后人將“2n－1”形式(n是素數(shù))的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第20個梅森素數(shù)為P＝24 423－1，第19個梅森素數(shù)為Q＝24 253－1，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(　　) (參考數(shù)據，lg 2≈0.3) A．1045 B．1051 C．1056 D．1059 4．由國家公安部提出，國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗標準》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式實施．車輛駕駛人

3、員飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經過反復試驗，一般情況下，某人喝1瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)＝則該人喝1瓶啤酒后至少經過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)？(參考數(shù)據：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)(　　) 車輛駕駛人員血液酒精含量閾值 駕駛行為類型 閾值(mg/100 mL) 飲酒后駕車 ≥20，<80 醉酒后駕車 ≥80 A．5 h B．6 h C．7 h D．8 h 5．(2019·漳州質檢)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“諸葛亮領八員將，每將又分八個營，

4、每營里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個，每個旗頭八隊成，每隊更該八個甲，每個甲頭八個兵．”則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有(　　) A.(87－8)人 B.(89－8)人 C.人 D.人 6．《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種質量單位)在這個問題中，戊所得為(　　) A.錢 B.錢 C.錢 D.錢 7.洛書，古稱龜

5、書，是陰陽五行術數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)，其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15.如圖，若從4個陰數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，則能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率是(　　) A. B. C. D. 8．(2019·合肥質量檢測)我國古代名著《張丘建算經》中記載：今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭，令上方六尺，問亭方幾何？大致意思：有一個正四棱錐下底邊長為二丈，高三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺狀方亭，且正四棱臺的上底邊長為六尺，則該正四棱臺的體積是(注：1丈＝10尺)(

6、　　) A．1 946立方尺 B．3 892立方尺 C．7 784立方尺 D．11 676立方尺 9．(2019·鄭州模擬)數(shù)學家歐拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，重心是三角形三條中線的交點，垂心是三角形三條高線的交點)依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，則△ABC的歐拉線方程為(　　) A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0 C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0 10．據《孫子算經》中記

7、載，中國古代諸侯的等級從低到高分為男、子、伯、侯、公共五級．現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分m個(m為正整數(shù))，若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是(　　) A. B. C. D. 11．(多選)(2019·四川資陽模擬)空氣質量指數(shù)AQI是反映空氣質量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表： AQI指數(shù)值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空氣質量 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴重污染 如圖是某市10月1

8、日～20日AQI指數(shù)變化趨勢： 下列敘述正確的是(　　) A．這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100 B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占 C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好 D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好 12．(多選)(2019·湖北八校聯(lián)考)太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖形．如果一個函數(shù)的圖象能夠將圓的面積和周長分成兩個相等的部分，我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”．下列命題中錯誤的命題為(　　) A．對于任意一個圓，其對應的“太極函數(shù)”不唯一 B．如果一個函數(shù)是兩個圓的“太極函數(shù)”，那么這兩個圓為同心圓 C．圓(x－1)2＋(y－

9、1)2＝4的一個“太極函數(shù)”為f(x)＝x3－3x2＋3x D．圓的“太極函數(shù)”的圖象均是中心對稱圖形 13．(多選)如圖1，直線EF將矩形紙ABCD分為兩個直角梯形ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面說法不正確的是(　　) A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立 D．在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF恒成立 二、填空題 14．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，表中記錄了該車相鄰兩次加油時的情況． 加油時間 加油

10、量(升) 加油時累計 里程(千米) 2018年10月1日 12 35 000 2018年10月15日 60 35 600 (注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程)在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為________升． 15．魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”．劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為π∶4.若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為________． 16．小菲在學校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后

11、一個月的有關數(shù)據，繪制圖象，擬合了記憶保持量f(x)與時間x(天)之間的函數(shù)關系f(x)＝ 某同學根據小菲擬合后的信息得到以下結論： ①隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低； ②9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%； ③26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%. 其中正確結論的序號有________．(注：請寫出所有正確結論的序號) 17.我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述：“芻蕘(chú ráo)：倍下長，加上長，以廣乘之，又以高乘，用六歸之．如屋脊：上斜下平．”劉徽注曰：止斬方亭兩邊，合之即“芻甍”之形也．即將方臺的兩邊切下來合在一起就是“芻甍”，是

12、一種五面體(如圖)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為________，體積為________． 小題分類練(六)　數(shù)學文化類 1．解析：選A.根據正弦定理，由c2sin A＝4sin C，可得ac＝4.結合B＝，可得a2＋c2－b2＝4，則S△ABC＝＝，故選A. 2．解析：選B.設大燈下綴2個小燈有x個，大燈下綴4個小燈有y個，根據題意可得解得x＝120，y＝240，則燈球的總數(shù)為x＋y＝360，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為＝，故選B. 3．解析：選B.由題知＝≈2170

13、，令2170＝k，則lg 2170＝lg k．所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以與最接近的數(shù)為1051.故選B. 4．解析：選B.由題意可知當酒精含量閾值低于20時才可以開車，結合分段函數(shù)建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整數(shù)，故為6個小時，故選B. 5．解析：選D.由題意可得將官、營、陣、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項為8，公比也是8，所以將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)(人)，故選D. 6．解析：選B.依題意設甲、乙、丙、

14、丁、戊所得分別為(a－2d)錢，(a－d)錢，a錢，(a＋d)錢，(a＋2d)錢．由甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，得a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d.又五人分五錢，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，所以a＝1，則a＋2d＝a＋2×(－)＝＝.故選B. 7．解析：選D.從4個陰數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，共有6種取法，其中滿足題意的取法有兩種；4，6和2，8，所以能使這2個數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率P＝＝.故選D. 8．解析：選B.由題意可知正四棱錐的高為30，所截得正四棱臺的下底面邊長為20，上底面邊長為6.設棱臺的高OO1＝h，由△

15、PA1O1∽△PAO可得＝，解得h＝21，可得正四棱臺體積V＝×21×(62＋202＋6×20)＝3 892(立方尺)，故選B. 9．解析：選D.因為B(－1，0)，C(0，2)，所以線段BC的中點坐標為(－，1)，線段BC所在直線的斜率kBC＝2，則線段BC的垂直平分線的方程為y－1＝－×(x＋)，即2x＋4y－3＝0，因為AB＝AC，所以△ABC的外心、重心、垂心都在線段BC的垂直平分線上，所以△ABC的歐拉線方程為2x＋4y－3＝0.故選D. 10．解析：選B.由題意可知等級從低到高的5個諸侯所分的橘子個數(shù)組成公差為m的等差數(shù)列，設“男”分得的橘子個數(shù)為a1，其前n項和為Sn，則S5

16、＝5a1＋m＝80，即a1＋2m＝16，且a1，m均為正整數(shù)，若a1＝2，則m＝7，此時a5＝30，若a1＝4，m＝6，此時a5＝28，若a1＝6，m＝5，此時a5＝26，若a1＝8，m＝4，此時a5＝24，若a1＝10，m＝3，此時a5＝22，若a1＝12，m＝2，此時a5＝20，若a1＝14，m＝1，此時a5＝18，所以“公”恰好分得30個橘子的概率為.故選B. 11．解析：選ABD.對于A，20天中AQI指數(shù)值有10個低于100，10個高于100，其中位數(shù)略高于100，正確； 對于B，20天中AQI指數(shù)值高于150的天數(shù)為5，即占總天數(shù)的，正確； 對于C，該市10月的前4天的空氣質

17、量越來越好，從第5天到第15天，空氣質量越來越差，錯誤； 對于D，總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量要好些，D正確． 12．解析：選BD.對于A，圓的對稱軸有無數(shù)條，因此它對應的“太極函數(shù)”也有無數(shù)個，故A正確； 對于B，當兩圓的圓心在同一條直線上時，該直線對應的函數(shù)為這兩個圓的“太極函數(shù)”，故B錯誤； 對于C，因為f(x)＝x3－3x2＋3x＝(x－1)3＋1，所以函數(shù)f(x)的圖象關于點(1，1)成中心對稱，又圓(x－1)2＋(y－1)2＝4關于點(1，1)成中心對稱，故函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋3x是圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的一個“太極函數(shù)”，故C正確；

18、 對于D，如圖，過圓心C的“太極函數(shù)”的圖象不是中心對稱圖形，故D錯誤． 13．解析：選ABD.在A中，因為四邊形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD與EF相交，所以CD與平面ABFE相交，故A錯誤； 在B中，因為四邊形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE與EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B錯誤； 在C中，因為四邊形ABFE是梯形，AE∥BF，BF?平面ADE，AE?平面ADE，所以在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正確； 在D中，因為四邊形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF與FE不垂直，在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D錯誤．

19、 14．解析：因為第二次加滿油箱時加油量為60升，所以從第一次加油到第二次加油共用油60升，行駛了600千米，所以在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為＝10(升)． 答案：10 15．解析：若正方體的棱長為2，則內切球的半徑r＝1，所以正方體的內切球的體積V球＝π×13＝π.又已知＝，所以V牟合方蓋＝×π＝. 答案： 16．解析：由函數(shù)解析式可知f(x)隨著x的增加而減少，故①正確；當1，故③錯誤． 答案：①② 17．解析：由題意知該五面

20、體的表面積S＝S矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2××2×＋2××(2＋4)×＝8＋8. 過F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點P，連接PF，過F作FQ⊥AB，垂足為Q，連接OQ. 因為△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，所以OP＝(AB－EF)＝1，PF＝＝，OQ＝BC＝1，所以OF＝＝， 采用分割的方法，分別過點F，E作與平面ABCD垂直的平面，這兩個平面把幾何體分割成三部分， 如圖，包含一個三棱柱EMN-FQH，兩個全等的四棱錐：E-AMND，F(xiàn)-QBCH， 所以這個幾何體的體積V＝VEMN-FQH＋2VF-QBCH＝S△QFH×MQ＋2×S矩形QBCH×FO＝×2××2＋2××1×2×＝. 答案：8＋8　 - 9 -