(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(cè)(十八)坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理(重點(diǎn)生含解析)(選修4-4)

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1、專題跟蹤檢測(cè)(十八) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(diǎn)(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點(diǎn). (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程. 解:(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1. 當(dāng)α=時(shí),l與⊙O交于兩點(diǎn). 當(dāng)α≠時(shí),記tan α=k,則l的方程為y=kx-. l與⊙O交于兩點(diǎn)需滿足<1, 解得k<-1或k>1, 即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),<α<).設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP, 則tP=,且tA

2、,tB滿足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù),<α<). 2.(2018·開封模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C2:(x-2)2+y2=4,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程和交點(diǎn)A的坐標(biāo)(非坐標(biāo)原點(diǎn)); (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為B(非坐標(biāo)原點(diǎn)),求△OAB的最大面積. 解:(1)由(t為參數(shù)),得曲線C1的普通方程為y=xtan α,故曲線C

3、1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R).將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-2)2+y2=4,得C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ.故交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4cos α,α)(也可寫出直角坐標(biāo)). (2)由題意知,點(diǎn)B的極坐標(biāo)為. ∴S△OAB== , 當(dāng)sin=-1時(shí),(S△OAB)max=2+2, 故△OAB的最大面積是2+2. 3.(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ,θ∈. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)在曲線C上求一點(diǎn)D,使它到直線l:(t

4、為參數(shù))的距離最短,寫出D點(diǎn)的直角坐標(biāo). 解:(1)由ρ=2sin θ,可得ρ2=2ρsin θ, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0. (2)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去t得l的普通方程為x+y-5=0, 由(1)得曲線C的圓心為(0,1),半徑為1, 又點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為=2>1, 所以曲線C與l相離. 因?yàn)辄c(diǎn)D在曲線C上, 所以可設(shè)D(cos α,1+sin α),則點(diǎn)D到直線l的距離d==, 當(dāng)sin=1時(shí),點(diǎn)D到直線l的距離d最短,此時(shí)α=,故點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為. 4.(2019屆高三·昆明調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知傾斜角為α

5、的直線l過點(diǎn)A(2,1).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ,直線l與曲線C分別交于P,Q兩點(diǎn). (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直線l的斜率k. 解:(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,得t2+(4cos α)t+3=0, 由Δ=(4cos α)2-4×3>0,得cos2α>, 則t1+t2=-4cos α,t1·t2=3, 由參數(shù)的幾何意義知, |AP|=|t1|

6、,|AQ|=|t2|, |PQ|=|t1-t2|, 由題意知,(t1-t2)2=t1·t2, 則(t1+t2)2=5t1·t2,得(-4cos α)2=5×3, 解得cos2α=,滿足cos2α>, 所以sin2α=,tan2α=, 所以直線l的斜率k=tan α=±. 5.已知曲線C:(α為參數(shù))和定點(diǎn)A(0,),F(xiàn)1,F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線AF2的極坐標(biāo)方程; (2)經(jīng)過點(diǎn)F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M,N兩點(diǎn),求||MF1|-|NF1||的值. 解:(1)曲線C:可化為+=1, 故曲

7、線C為橢圓,則焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). 所以經(jīng)過點(diǎn)A(0,)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x+=1,即x+y-=0, 所以直線AF2的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=. (2)由(1)知,直線AF2的斜率為-,因?yàn)閘⊥AF2,所以直線l的斜率為,即傾斜角為30°, 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入橢圓C的方程中,得13t2-12t-36=0. 則t1+t2=. 因?yàn)辄c(diǎn)M,N在點(diǎn)F1的兩側(cè), 所以||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=. 6.(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O

8、為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sin θ(ρ≥0,0≤θ<π). (1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程,并求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo); (2)射線θ=β與曲線C1,C2分別交于點(diǎn)A,B(A,B異于原點(diǎn)),求的取值范圍. 解:(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2+(y-2)2=4, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ, 聯(lián)立得4sin θcos2θ=sin θ,此時(shí)0≤θ<π, ①當(dāng)sin θ=0時(shí),θ=0,ρ=0,得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0,0); ②當(dāng)sin θ≠0時(shí),cos2θ=,得cos θ

9、=±, 當(dāng)cos θ=時(shí),θ=,ρ=2,得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 當(dāng)cos θ=-時(shí),θ=,ρ=2,得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為, ∴C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0,0),,. (2)將θ=β代入C1的極坐標(biāo)方程中,得ρ1=4sin β, 代入C2的極坐標(biāo)方程中,得ρ2=, ∴==4cos2β. ∵≤β≤,∴1≤4cos2β≤3, ∴的取值范圍為[1,3]. 7.(2018·福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(α為參數(shù),t>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l:ρcos=. (1)若l與曲線C沒有公共點(diǎn),求t的取值范圍; (2)若曲線C上存在點(diǎn)到l的

10、距離的最大值為+,求t的值. 解:(1)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρcos=,即ρcos θ+ρsin θ=2, 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=2. 因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),t>0), 所以曲線C的普通方程為+y2=1(t>0), 由消去x,得(1+t2)y2-4y+4-t2=0, 所以Δ=16-4(1+t2)(4-t2)<0, 又t>0,所以0<t<, 故t的取值范圍為(0,). (2)由(1)知直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0, 故曲線C上的點(diǎn)(tcos α,sin α)到l的距離 d=, 故d的最大值為, 由題設(shè)得=+, 解得t=±. 又t>

11、0,所以t=. 8.(2019屆高三·成都診斷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,過極點(diǎn)O的射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A,且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,θ),其中θ∈. (1)求θ的值; (2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B,求|AB|的值. 解:(1)由題意知,曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4, ∵x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4, 即ρ=4sin θ. 由ρ=2,得sin θ=, ∵θ∈,∴θ=. (2)易知直線l的普通方程為x+y-4=0, ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ-4=0. 又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ≥0), 聯(lián)立解得ρ=4. ∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為, ∴|AB|=|ρB-ρA|=4-2=2. 6

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