（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 專題跟蹤檢測（十八）坐標系與參數(shù)方程 理（重點生含解析）（選修4-4）

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1、專題跟蹤檢測（十八） 坐標系與參數(shù)方程 1．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－. l與⊙O交于兩點需滿足<1， 解得k<－1或k>1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，<α<）.設(shè)A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA

2、，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 （α為參數(shù)，<α<）. 2．(2018·開封模擬)在直角坐標系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程和交點A的坐標(非坐標原點)； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為B(非坐標原點)，求△OAB的最大面積． 解：(1)由(t為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為y＝xtan α，故曲線C

3、1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)．將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ.故交點A的坐標為(4cos α，α)(也可寫出直角坐標)． (2)由題意知，點B的極坐標為. ∴S△OAB＝＝ ， 當sin＝－1時，(S△OAB)max＝2＋2， 故△OAB的最大面積是2＋2. 3．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，θ∈. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)在曲線C上求一點D，使它到直線l：(t

4、為參數(shù))的距離最短，寫出D點的直角坐標． 解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0. (2)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t得l的普通方程為x＋y－5＝0， 由(1)得曲線C的圓心為(0,1)，半徑為1， 又點(0,1)到直線l的距離為＝2＞1， 所以曲線C與l相離． 因為點D在曲線C上， 所以可設(shè)D(cos α，1＋sin α)，則點D到直線l的距離d＝＝， 當sin＝1時，點D到直線l的距離d最短，此時α＝，故點D的直角坐標為. 4．(2019屆高三·昆明調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α

5、的直線l過點A(2,1)．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點． (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k. 解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos2α＞， 則t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3， 由參數(shù)的幾何意義知， |AP|＝|t1|

6、，|AQ|＝|t2|， |PQ|＝|t1－t2|， 由題意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 則(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos2α＝，滿足cos2α＞， 所以sin2α＝，tan2α＝， 所以直線l的斜率k＝tan α＝±. 5．已知曲線C：(α為參數(shù))和定點A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點，以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求直線AF2的極坐標方程； (2)經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點，求||MF1|－|NF1||的值． 解：(1)曲線C：可化為＋＝1， 故曲

7、線C為橢圓，則焦點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 所以經(jīng)過點A(0，)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x＋＝1，即x＋y－＝0， 所以直線AF2的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝. (2)由(1)知，直線AF2的斜率為－，因為l⊥AF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30°， 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入橢圓C的方程中，得13t2－12t－36＝0. 則t1＋t2＝. 因為點M，N在點F1的兩側(cè)， 所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 6．(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點O

8、為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)． (1)寫出曲線C1的極坐標方程，并求C1與C2交點的極坐標； (2)射線θ＝β與曲線C1，C2分別交于點A，B(A，B異于原點)，求的取值范圍． 解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ， 聯(lián)立得4sin θcos2θ＝sin θ，此時0≤θ＜π， ①當sin θ＝0時，θ＝0，ρ＝0，得交點的極坐標為(0,0)； ②當sin θ≠0時，cos2θ＝，得cos θ

9、＝±， 當cos θ＝時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為， 當cos θ＝－時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為， ∴C1與C2交點的極坐標為(0,0)，，. (2)將θ＝β代入C1的極坐標方程中，得ρ1＝4sin β， 代入C2的極坐標方程中，得ρ2＝， ∴＝＝4cos2β. ∵≤β≤，∴1≤4cos2β≤3， ∴的取值范圍為[1,3]． 7．(2018·福州模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數(shù)，t＞0)．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρcos＝. (1)若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍； (2)若曲線C上存在點到l的

10、距離的最大值為＋，求t的值． 解：(1)因為直線l的極坐標方程為ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直線l的直角坐標方程為x＋y＝2. 因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，t＞0)， 所以曲線C的普通方程為＋y2＝1(t＞0)， 由消去x，得(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0， 所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)＜0， 又t＞0，所以0＜t＜， 故t的取值范圍為(0，)． (2)由(1)知直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0， 故曲線C上的點(tcos α，sin α)到l的距離 d＝， 故d的最大值為， 由題設(shè)得＝＋， 解得t＝±. 又t＞

11、0，所以t＝. 8．(2019屆高三·成都診斷)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標方程為(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立解得ρ＝4. ∴點B的極坐標為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. 6