6、
答案:
9.(2019·常州期末)過原點的直線l與圓x2+y2=1交于P,Q兩點,點A是該圓與x軸負(fù)半軸的交點,以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點N,且直線AN與直線AP的斜率之積等于1,那么直線l的方程為________.
解析:設(shè)P(x0,y0),易知x0≠0,-1,y0≠0,則x+y=1,kPQ=.由AQ為圓的直徑得AN⊥PQ得kAN=-,kAN·kAP=-·=1,得x0=-,y0=±,kPQ==±.所以直線l的方程為y=±x.
答案:y=±x
10.(2019·無錫期末)已知點 P 在圓 M: (x-a)2+(y-a+2)2=1 上, A,B為圓C: x2 +(y-4)2
7、 =4上兩動點,且AB =2, 則 ·的最小值是________.
解析:設(shè)弦AB 的中點為D,則=+,=+,所以·=(+)·(+)=2+·(+)+·=2-3,因為CD= =1,所以點D在以C為圓心,1為半徑的圓上,
故PDmin=MCmin-CD-PM=MCmin-2,又因為MC== = ≥3,故PD≥3-2,所以 ·≥(3-2)2-3=19-12.
答案:19-12
11.已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點,且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最
8、小值.
解:(1)設(shè)圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根據(jù)題意得解得
故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)根據(jù)題意畫出示意圖,
并連結(jié)PM,由題意知,四邊形PAMB的面積為
S=S△PAM+S△PBM=(AM·PA+BM·PB).
又AM=BM=2,PA=PB,所以S=2PA.
而PA2=2-2=2-4,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求PM的最小值即可,
即在直線3x+4y+8=0上找一點P,使得PM的值最?。?
所以(PM)min==3,
所以四邊形PAMB面積的最小值為2=2.
12.已知圓M的方程為x2+(y
9、-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若∠APB=60°,求點P的坐標(biāo);
(2)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=時,求直線CD的方程;
(3)求證:經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標(biāo).
解:(1)設(shè)P(2m,m),因為∠APB=60°,AM=1,
所以MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4,
解得m=0或m=,
故所求點P的坐標(biāo)為P(0,0)或P.
(2)易知直線CD的斜率存在,
可設(shè)直線CD的方程為y-1=k(x-2),
由題知圓心M到直線CD的
10、距離為,
所以=,解得k=-1或k=-,
故所求直線CD的方程為x+y-3=0或x+7y-9=0.
(3)證明:設(shè)P(2m,m),MP的中點Q,
因為PA是圓M的切線,
所以經(jīng)過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓,
故其方程為(x-m)2+2=m2+2,
化簡得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關(guān)于m的恒等式,
故解得或
所以經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點(0,2)或.
B級——難點突破練
1.(2019·南京、鹽城一模)設(shè)A={(x,y)|3x+4y≥7},點P∈A,過點P引圓(x+1)2+y2=r2(r>0)的兩條切線PA,PB,若∠APB
11、的最大值為,則r的值為________.
解析:設(shè)圓心為C.因為∠APB=2∠APC,所以∠APC的最大值為,所以PC的最小值為2r,則=2=2r,即r=1.
答案:1
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=1,P為直線l:x=上一點,若存在過點P的直線交圓O于點A,B,且B恰為線段AP的中點,則點P縱坐標(biāo)的取值范圍是________.
解析:設(shè)點P的坐標(biāo)為,A(x,y),則B,因為點A,B均在圓O上,所以有該方程組有解,即圓x2+y2=1與圓2+(y+y0)2=4有公共點,于是1≤≤3,解得-≤y0≤,即點P縱坐標(biāo)的取值范圍是.
答案:
3.已知圓C:(x-3)2+(y
12、-4)2=4,直線l1過定點A(1,0).
(1) 若l1與圓相切,求直線l1的方程;
(2) 若l1與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N,判斷AM·AN是否為定值.若是,則求出定值;若不是,請說明理由.
解:(1)若直線l1的斜率不存在,即直線l1的方程為x=1,符合題意;
若直線l1斜率存在,設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2,即=2,解得k=,則l1:3x-4y-3=0.
所求直線l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)直線與圓相交,斜率必定存在,
13、且不為0,可設(shè)直線l1方程為kx-y-k=0.
由得N.
又因為直線CM與l1垂直,
故可得M.
所以AM·AN=·=·=6,為定值.故AM·AN是定值,且為6.
4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0),B(1,2).
(1)若直線l平行于AB,與圓C相交于M,N兩點,MN=AB,求直線l的方程;
(2)在圓C上是否存在點P,使得PA2+PB2=12?若存在,求點P的個數(shù);若不存在,說明理由.
解:(1)因為圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4,
所以圓心C(2,0),半徑為2.
因為l∥AB,A(-1,0),B(1,2),
14、
所以直線l的斜率為=1,
設(shè)直線l的方程為x-y+m=0,
則圓心C到直線l的距離為d==.
因為MN=AB==2,
而CM2=d2+2,所以4=+2,
解得m=0或m=-4,
故直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0.
(2)假設(shè)圓C上存在點P,設(shè)P(x,y),
則(x-2)2+y2=4,
PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,
即x2+y2-2y-3=0,x2+(y-1)2=4,
因為|2-2|< <2+2,
所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交,
所以點P的個數(shù)為2.
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