(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 專題三 解析幾何 第8講 直線與圓練習

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1、第8講 直線與圓 A級——高考保分練 1.已知直線l1∶x+2ay-1=0,l2:(a+1)x-ay=0,若l1∥l2,則實數(shù)a=________. 解析:由l1∥l2得1×(-a)=2a(a+1),即2a2+3a=0,解得a=0或a=-.經(jīng)檢驗,當a=0或a=-時均有l(wèi)1∥l2. 答案:-或0 2.已知圓(x-2)2+y2=9,則過點M(1,2)的最長弦與最短弦的長之和為________. 解析:圓(x-2)2+y2=9的圓心為(2,0),半徑為3,所以過點M的最長弦的長為6,最短弦的長為2=4,所以過點M的最長弦與最短弦的長之和為10. 答案:10 3.已知直線3

2、x+ay=0(a>0)被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,則a=________. 解析:由已知條件可知,圓的半徑為2,又直線被圓所截得的弦長為2,故圓心到直線的距離為,即=,解得a=. 答案: 4.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關系是________. 解析:圓O1的圓心坐標為(1,0),半徑為r1=1,圓O2的圓心坐標為(0,2),半徑r2=2,故兩圓的圓心距O1O2=,而r2-r1=1,r1+r2=3,則有r2-r1

3、,則圓C的半徑為________. 解析:法一:設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),∵圓C經(jīng)過點(-1,0)和(2,3), ∴∴a+b-2=0.① 又圓C截兩坐標軸所得弦長相等,∴|a|=|b|.② 由①②得a=b=1,∴圓C的半徑為. 法二:∵圓C經(jīng)過點M(-1,0)和N(2,3),∴圓心C在線段MN的垂直平分線y=-x+2上,又圓C截兩坐標軸所得弦長相等,∴圓心C到兩坐標軸的距離相等,∴圓心C在直線y=±x上,∵直線y=-x和直線y=-x+2平行,∴圓心C為直線y=x和直線y=-x+2的交點(1,1),∴圓C的半徑為. 答案: 6.已知a∈R且為常數(shù),

4、圓C:x2+2x+y2-2ay=0,過圓C內(nèi)一點(1,2)的直線l與圓C相交于A,B兩點.當∠ACB最小時,直線l的方程為2x-y=0,則a=________. 解析:圓的方程配方,得(x+1)2+(y-a)2=1+a2,圓心為C(-1,a),當弦AB長度最短時,∠ACB最小,此時圓心C與定點(1,2)的連線和直線2x-y=0垂直,所以×2=-1,解得a=3. 答案:3 7.兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于兩點M,N,則線段MN的長為________. 解析:兩圓方程相減,得直線MN的方程為x-2y+4=0,圓x2+y2+2x-8=0的標準方程為(x+1)

5、2+y2=9,所以圓x2+y2+2x-8=0的圓心為(-1,0),半徑為3,圓心(-1,0)到直線MN的距離d=,所以線段MN的長為2 =. 答案: 8.在平面直角坐標系xOy中,已知A(0,a),B(3,a+4),若圓x2+y2=9上有且僅有四個不同的點C,使得△ABC的面積為5,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析:因為A(0,a),B(3,a+4),所以AB=5,直線AB的方程為y=x+a,因為S△ABC=AB·h=h=5,故h=2,因此,問題轉化為在圓上存在4個點C,使得它到直線AB的距離為2.因為圓的半徑為3,因此,圓心O到直線AB的距離小于1,即<1,解得-

6、 答案: 9.(2019·常州期末)過原點的直線l與圓x2+y2=1交于P,Q兩點,點A是該圓與x軸負半軸的交點,以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點N,且直線AN與直線AP的斜率之積等于1,那么直線l的方程為________. 解析:設P(x0,y0),易知x0≠0,-1,y0≠0,則x+y=1,kPQ=.由AQ為圓的直徑得AN⊥PQ得kAN=-,kAN·kAP=-·=1,得x0=-,y0=±,kPQ==±.所以直線l的方程為y=±x. 答案:y=±x 10.(2019·無錫期末)已知點 P 在圓 M: (x-a)2+(y-a+2)2=1 上, A,B為圓C: x2 +(y-4)2

7、 =4上兩動點,且AB =2, 則 ·的最小值是________. 解析:設弦AB 的中點為D,則=+,=+,所以·=(+)·(+)=2+·(+)+·=2-3,因為CD= =1,所以點D在以C為圓心,1為半徑的圓上, 故PDmin=MCmin-CD-PM=MCmin-2,又因為MC== = ≥3,故PD≥3-2,所以 ·≥(3-2)2-3=19-12. 答案:19-12 11.已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點,且圓心M在x+y-2=0上. (1)求圓M的方程; (2)設P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最

8、小值. 解:(1)設圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 根據(jù)題意得解得 故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-1)2=4. (2)根據(jù)題意畫出示意圖, 并連結PM,由題意知,四邊形PAMB的面積為 S=S△PAM+S△PBM=(AM·PA+BM·PB). 又AM=BM=2,PA=PB,所以S=2PA. 而PA2=2-2=2-4, 即S=2. 因此要求S的最小值,只需求PM的最小值即可, 即在直線3x+4y+8=0上找一點P,使得PM的值最小. 所以(PM)min==3, 所以四邊形PAMB面積的最小值為2=2. 12.已知圓M的方程為x2+(y

9、-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B. (1)若∠APB=60°,求點P的坐標; (2)若P點的坐標為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當CD=時,求直線CD的方程; (3)求證:經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標. 解:(1)設P(2m,m),因為∠APB=60°,AM=1, 所以MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4, 解得m=0或m=, 故所求點P的坐標為P(0,0)或P. (2)易知直線CD的斜率存在, 可設直線CD的方程為y-1=k(x-2), 由題知圓心M到直線CD的

10、距離為, 所以=,解得k=-1或k=-, 故所求直線CD的方程為x+y-3=0或x+7y-9=0. (3)證明:設P(2m,m),MP的中點Q, 因為PA是圓M的切線, 所以經(jīng)過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓, 故其方程為(x-m)2+2=m2+2, 化簡得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關于m的恒等式, 故解得或 所以經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點(0,2)或. B級——難點突破練 1.(2019·南京、鹽城一模)設A={(x,y)|3x+4y≥7},點P∈A,過點P引圓(x+1)2+y2=r2(r>0)的兩條切線PA,PB,若∠APB

11、的最大值為,則r的值為________. 解析:設圓心為C.因為∠APB=2∠APC,所以∠APC的最大值為,所以PC的最小值為2r,則=2=2r,即r=1. 答案:1 2.在平面直角坐標系xOy中,圓O:x2+y2=1,P為直線l:x=上一點,若存在過點P的直線交圓O于點A,B,且B恰為線段AP的中點,則點P縱坐標的取值范圍是________. 解析:設點P的坐標為,A(x,y),則B,因為點A,B均在圓O上,所以有該方程組有解,即圓x2+y2=1與圓2+(y+y0)2=4有公共點,于是1≤≤3,解得-≤y0≤,即點P縱坐標的取值范圍是. 答案: 3.已知圓C:(x-3)2+(y

12、-4)2=4,直線l1過定點A(1,0). (1) 若l1與圓相切,求直線l1的方程; (2) 若l1與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N,判斷AM·AN是否為定值.若是,則求出定值;若不是,請說明理由. 解:(1)若直線l1的斜率不存在,即直線l1的方程為x=1,符合題意; 若直線l1斜率存在,設直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0. 由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2,即=2,解得k=,則l1:3x-4y-3=0. 所求直線l1的方程是x=1或3x-4y-3=0. (2)直線與圓相交,斜率必定存在,

13、且不為0,可設直線l1方程為kx-y-k=0. 由得N. 又因為直線CM與l1垂直, 故可得M. 所以AM·AN=·=·=6,為定值.故AM·AN是定值,且為6. 4.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0),B(1,2). (1)若直線l平行于AB,與圓C相交于M,N兩點,MN=AB,求直線l的方程; (2)在圓C上是否存在點P,使得PA2+PB2=12?若存在,求點P的個數(shù);若不存在,說明理由. 解:(1)因為圓C的標準方程為(x-2)2+y2=4, 所以圓心C(2,0),半徑為2. 因為l∥AB,A(-1,0),B(1,2),

14、 所以直線l的斜率為=1, 設直線l的方程為x-y+m=0, 則圓心C到直線l的距離為d==. 因為MN=AB==2, 而CM2=d2+2,所以4=+2, 解得m=0或m=-4, 故直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0. (2)假設圓C上存在點P,設P(x,y), 則(x-2)2+y2=4, PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12, 即x2+y2-2y-3=0,x2+(y-1)2=4, 因為|2-2|< <2+2, 所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交, 所以點P的個數(shù)為2. - 7 -

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