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1、46分大題保分練(五)
(建議用時：40分鐘)
17．(12分)(2019·長沙模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝2log2an－11，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的最小值及取得最小值時n的值．
[解] (1)當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，
所以an＝2an－1，
所以{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以an＝2n.
(2)bn＝2log2an－11＝2log22n－11＝
2、2n－11，
所以{bn}為等差數(shù)列，
所以Tn＝＝＝n2－10n，
所以當(dāng)n＝5時，Tn有最小值T5＝－25.
18．(12分)(2019·鄭州模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，點E為AB的中點．將△ADE沿DE折起，使點A到達P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P-EBCD，點M為棱PB的中點．
圖1 圖2
(1)求證：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱錐M-BCE的體積．
[解] (1)在題圖1中，
因為BE＝AB＝CD且BE∥CD，
所以四邊形EBCD是平行四邊
3、形．
如圖，連接BD，交CE于點O，連接OM，
所以點O是BD的中點，
又點M為棱PB的中點，
所以O(shè)M∥PD，
因為PD?平面MCE，OM?平面MCE，
所以PD∥平面MCE.
(2)在題圖2中，
因為EBCD是平行四邊形，所以DE＝BC，
因為四邊形ABCD是等腰梯形，
所以AD＝BC，所以AD＝DE，
因為∠BAD＝45°，
所以AD⊥DE.
所以PD⊥DE，
又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，
所以PD⊥平面EBCD.
由(1)知OM∥PD，所以O(shè)M⊥平面EBCD，
在等腰直角三角形ADE中，因為AE＝2，所以AD＝DE＝，
4、
所以O(shè)M＝PD＝AD＝，S△BCE＝S△ADE＝1，
所以V三棱錐M-BCE＝S△BCE·OM＝.
19．(12分)某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，該款凈水器為三級過濾，每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)．在使用過程中，一級濾芯需要不定期更換，其中每更換3個一級濾芯就需要更換1個二級濾芯，三級濾芯無需更換．其中一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元．記一臺凈水器在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯的個數(shù)構(gòu)成的集合為M.如圖是根據(jù)100臺該款凈水器在十年使用期內(nèi)更換的一級濾芯的個數(shù)制成的柱狀圖．
(1)結(jié)合柱狀圖，寫出集合M；
(2)根據(jù)以上信息，求一臺凈水器在使用期內(nèi)更
5、換二級濾芯的費用大于1 200元的概率(以100臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替1臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率)；
(3)若在購買凈水器的同時購買濾芯，則濾芯可享受5折優(yōu)惠(使用過程中如需再購買無優(yōu)惠)．假設(shè)上述100臺凈水器在購機的同時，每臺均購買a個一級濾芯、b個二級濾芯作為備用濾芯(其中b∈M，a＋b＝14)，計算這100臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費用的平均數(shù)，并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為14，則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應(yīng)分別是多少？
[解] (1)由題意可知，當(dāng)一級濾芯更換9,10,11個時，二級濾芯需要更換3個，當(dāng)一級濾芯更換12個
6、時，二級濾芯需要更換4個，
所以M＝{3,4}．
(2)由題意可知，
二級濾芯更換3個，需1 200元，二級濾芯更換4個，需1 600元，
在100臺凈水器中，二級濾芯需要更換3個的凈水器共70臺，
二級濾芯需要更換4個的凈水器共30臺，
設(shè)“一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費用大于1 200元”為事件A，
則P(A)＝＝0.3.
(3)a＋b＝14，b∈M，
①若a＝10，b＝4，
則這100臺凈水器更換濾芯所需費用的平均數(shù)為
＝2 000.
②若a＝11，b＝3，
則這100臺凈水器更換濾芯所需費用的平均數(shù)為
＝1 880.
所以如果客戶購買凈水器的
7、同時購買備用濾芯的總數(shù)為14，客戶應(yīng)該購買一級濾芯11個，二級濾芯3個．
選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
22．(10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤β＜π)，以坐標(biāo)原點O為頂點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；
(2)已知直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|OA|－|OB|＝2，求β.
[解] (1)由曲線C的參數(shù)方程可得普通方程為(x－2)2＋y2＝3，
即x2＋y2－4x＋1＝0，
所以曲
8、線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＋1＝0.
(2)由直線l的參數(shù)方程可得直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝β(ρ∈R)．
因為直線l與曲線C相交于A，B兩點，所以設(shè)A(ρ1，β)，B(ρ2，β)(ρ1＞ρ2)，
聯(lián)立可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，
因為Δ＝16cos2β－4＞0，所以cos2β＞，
所以|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2＝＝＝2，
解得cos β＝±，所以β＝或.
23．(10分)[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；
(2)當(dāng)x≠0，x∈R時，證明：f(－x)＋f≥4.
[解] (1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等價于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，
等價于或或
解得x≤－1或x≥1，
所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)當(dāng)x≠0，x∈R時，f(－x)＋f＝|－2x－1|＋，
因為|－2x－1|＋≥＝2|x|＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝±1時等號成立，
所以f(－x)＋f≥4.
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